2020年秋浙教版八年级数学上册第1章三角形的初步认识单元培优测试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.在下列四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A. 2，2，5 B. 3，7，10 C. 3，5，9 D. 4，5，7 2.下列图形中与最右边图形全等的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.下列命题是真命题的是（ ）
A. 内错角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 同位角相等，两直线平行 D. 一个角的补角大于这个角
4.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( ) A. a=－3 B. a=－1 C. a=1 D. a=3 5.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 已知：如图， ∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵+∠𝐶 ． 求证： 𝐴𝐵//𝐶𝐷 ．
证明：延长BE交 ※ 于点F ，
则 ∠𝐵𝐸𝐶= ◎ +∠𝐶 （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又 ∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵+∠𝐶 ，得 ∠𝐵= ▲ ． 故 𝐴𝐵//𝐶𝐷 （ @ 相等，两直线平行）．
则回答正确的是（ ）
A. ◎代表 ∠𝐹𝐸𝐶 B. @代表同位角 C. ▲代表 ∠𝐸𝐹𝐶 D. ※代表AB
6.如图，以△ABD的顶点B为圆心， 以BD为半径作弧交边AD于点E， 分别以点D、点E为圆心，BD长为半径作弧，两弧相交于不同于点B的另一点F，再过点B和点F作直线BF，则作出的直线是( )
A. 线段AD的垂线但不一定平分线段AD B. 线段AD的垂直平分线 C. ∠ABD的平分线 D. △ABD的中线
7.如图，已知 𝐴𝐵=𝐷𝐶,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵 ．能直接判断 △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵 的方法是（ ）
A. 𝑆𝐴𝑆 B. 𝐴𝐴𝑆 C. 𝑆𝑆𝑆 D. 𝐴𝑆𝐴
8.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. AD⊥BC B. OC+OD＝AD C. OA＝OB D. ∠ACO＝∠BOF 9.下列各组条件中，能判定ΔABC≌ΔDEF的是( )
A. AB=DE ， BC=EF ， ∠A=∠D B. ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， AC=EF
C. ∠A=∠D ， ∠B=∠E ， ∠C=∠F D. AB=DE ， BC=EF ， ΔABC的周长＝ΔDEF的周长 10.在折纸活动中，小明制作了一张三角形ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将三角形ABC沿着DE折叠压平，点A落在点A'处(如图)。若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A. 140° B. 130° C. 110° D. 70°
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，在ΔABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2=235°，则∠A=________度.
12.如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2＝40°，则∠1的度数是________.
13.一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∥CD ． 则∠1＋∠2＝________．
14.用一个a的值说明命题“若 𝑎2>1 ，则 𝑎>1 ”是假命题，这个值可以是 𝑎= ________． 15.如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=________。
16.如图，点 𝐸 ， 𝐶 在线段 𝐵𝐹 上， 𝐴𝐵//𝐷𝐸 ， 𝐵𝐸=𝐶𝐹 .若要使 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≌ 𝛥𝐷𝐸𝐹 ，可以添加的条件是：________.
17.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是________(写出一个即可)， 18.如图，已知a∥b，∠1+∠4＝70°，∠2﹣∠3＝20°则∠1＝________.
三、解答题（共7题；共46分）
19.已知 𝑎,𝑏,𝑐 为三角形三边的长， 化简： |𝑎+𝑏−𝑐|+|𝑏−𝑐−𝑎|−|𝑐−𝑎−𝑏| .
20.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．
21.如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的
长．
22.如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD.求证：BC＝DE.
23.如图， 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 ， 𝐷𝐶⊥𝐸𝐶 ， 𝐴𝐶=𝐵𝐶 . 𝐷𝐶=𝐸𝐶 ， 𝐴𝐸 与 𝐵𝐷 交于点 𝐹 .
（1）求证： 𝐴𝐸=𝐵𝐷 ； （2）求 ∠𝐴𝐹𝐷 的度数.
24.已知：CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上． 如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE________CF；
（2）如图2，若0°＜∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想：________
25.如图，在△ABC中，BC=7，高线AD、BE相交于点O，且AE=BE.
（1）∠ACB与∠AOB的数量关系是________ （2）试说明：△AEO≌△BEC；
（3）点F是直线AC上的一点且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动。设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值：若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题
1.解：A、∵2+2=4＜5，不能组成三角形，故A不符合题意； B、3+7=10，不能组成三角形，故B不符合题意； C、3+5=8＜9，不能组成三角形，故C不符合题意； D、4+5=9＜7，能组成三角形，故D符合题意； 故答案为：D.
2.解：与右边图形的全等的图形为B选项。 故答案为：B。
3.解：由内错角的定义可得A不符合题意，是假命题，
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得B不符合题意，是假命题， 同位角相等，两直线平行，是正确的，是真命题，所以C符合题意， 一个角的补角不一定大于这个角，所以D不符合题意，是假命题， 故答案为：C．
4.若a= -3则 𝑎2 = (−3)2 =9，9>1,但-3<1,符合题意， 若a=－1则 𝑎2 =1，，不符合题意， 若a=1,则 𝑎2 =1，不符合题意，
若a=3，则 𝑎2 =9，9>1,a>1,但不是反例，不符合题意， 故答案为：A.
5.解：延长BE交CD于点F，则※代表CD，故D不符合题意
则 ∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐸𝐹𝐶+∠𝐶 （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和），则◎代表 ∠𝐸𝐹𝐶 ，故A不符合题意
又 ∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵+∠𝐶 ，得 ∠𝐵=∠𝐸𝐹𝐶 ，则▲代表 ∠𝐸𝐹𝐶 ，故C符合题意 故 𝐴𝐵//𝐶𝐷 （内错角相等，两直线平行）则@代表内错角，故B不符合题意 故答案为：C．
6.由作图知BD=BE，BF垂直平分DE，
∴BF⊥AD，BF是∠EBD的平分线，△BED的中线， 故答案为：A.
7.在△ABC和△DCB中， 𝐴𝐵=𝐷𝐶
{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵 ,
𝐵𝐶=𝐶𝐵∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵 (SAS), 故答案为：A.
8.解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC，故①不合题意， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，
∴AD＝AO+OD＝CO+OD，故②不合题意， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， 又∵AB＝AC，AO＝AO， ∴△AOC≌△AOB（SAS） ∴OB＝OC，
∴OA＝OB，故③不合题意；
∵∠COF＝∠CEO+∠OCE＝∠COB+∠BOF，且∠COB不一定为90°， ∴∠ACO不一定等于∠BOF， 故④符合题意， 故答案为：D.
9.解：A、两边一角，不满足角为夹角，不能判定全等，此选项错误； B、AC=EF不是对应边，不能判定全等，此选项错误；
C、三组角相等，只能得到相似，不能判定全等，此选项错误；
D、周长相等结合两组边相等可以得到另一组边相等，符合边边边，能判定全等，此选项正确. 故答案为：D. 10.解：∵∠A=70°， ∴∠ADE+∠AED=110°.
根据折叠的性质可得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED， ∴∠A′DE+∠A′ED=110°，
∴∠1+∠2=180°+180°-110°-110°=140°. 故答案为：A. 二、填空题
11.解：∵∠1+∠2=235°，∠1+∠2+∠AEF+∠AFE=360°， ∴∠AEF+∠AFE=360°-235°=125°，
∴∠A=180°-（∠AEF+∠AFE）=180°-125°=55°. 故答案为：55.
12.解：∵AB∥CD，∠2＝40°， ∴∠EDF＝∠2＝40°， ∵FE⊥DB， ∴∠FED＝90°，
∠1＝180°﹣∠FED﹣∠EDF＝180°﹣90°﹣40°＝50°. 故答案为：50°. 13.解：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°， ∵∠BAG=30°，∠ECD=60°， ∴∠EAC+∠ACE=180°-30°-60°=90°， ∵∠CED=60°，
∴∠GEF=180°-90°-60°=30°，
同理∠EGF=180°-∠1-90°=90°-∠1，∠GFE=180°-45°-∠2=135°-∠2，
∵∠GEF+∠EGF+∠GFE=180°，即30°+90°-∠1+135°-∠2=180°，解得∠1+∠2=75°． 故答案为75°．
14解：当a＝﹣2时， 𝑎2=4>1 ， 此时a＜1，
∴命题“若 𝑎2>1 ，则 𝑎>1 ”是不符合题意， 当a＝﹣3时， 𝑎2=9>1 ， 此时a＜1，
∴命题“若 𝑎2>1 ，则 𝑎>1 ”是不符合题意， 故答案不唯一，如-2． 15.解：∵ △ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE， ∴∠BAD=∠EAC=25°. 故答案为：25°.
16.∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF. ∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF.
𝐴𝐵=𝐷𝐸
①若添加AB=DE.在△ABC和△DEF中，∵ {∠𝐵=∠𝐷𝐸𝐹 ，∴△ABC≌△DEF（SAS）；
𝐶𝐵=𝐸𝐹
②若添加∠A=∠D.在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠DEF，∠A=∠D，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS）； ③若添加∠ACB=∠F.在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠DEF，BC=EF，∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）. 故答案为：AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠F. 17.解：根据三角形的三边关系，得： 第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9， 故第三边的长度3＜x＜9．
故答案为：4（答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可）． 18.解：延长AB交b于D，延长BA交a于C，
∵a∥b， ∴∠6＝∠5，
∵∠1+∠5＝∠2，∠4+∠6＝∠3，∠2﹣∠3＝20°， ∴∠1+∠5﹣（∠4+∠6）＝20°， 则∠1﹣∠4＝20°， ∵∠1+∠4＝70°， ∴∠1＝45°， 故答案为：45°. 三、解答题
19. 解：∵a、b、c为三角形三边的长， ∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式= |(𝑎+𝑏)−𝑐|+|𝑏−(𝑐+𝑎)|−|𝑐−(𝑎+𝑏)| =a+b-c-b+c+a+c-a-b = 𝑎+𝑐−𝑏 . 20.解：结论：DF=AE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF，
∴CF=BE，∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE， ∴DF=AE．
21.解：∵CF∥AB， ∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F， 在△ADE和△FCE中
∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD=CF=4， ∵AB=6，
∴DB=AB﹣AD=6﹣4=2
22. 证明：∵AC是∠BAE的平分线， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠C＝∠E，AB＝AD.
∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴BC＝DE.
23. （1）证明：∵ 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 ， 𝐷𝐶⊥𝐸𝐶 ， ∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD
又 𝐴𝐶=𝐵𝐶 . 𝐷𝐶=𝐸𝐶 ∴△ACE≌△BCD ∴ 𝐴𝐸=𝐵𝐷
（2）解：∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故 ∠𝐴𝐹𝐷 =180°-∠BFO=90° 24. （1）=
（2）∠α与∠BCA关系：∠BCA=180°-∠α， 当∠BCA=180°-∠α时，①中结论仍然成立； 理由是：如图
2， ∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠ACB=180°，即∠BEC+∠BCE+∠ACF=180°, 而
∠𝐵𝐸𝐶＝∠𝐶𝐹𝐴
∠CBE+∠BEC+∠BCE=180°， ∴∠CBE=∠ACF， 在△BCE和△CAF中 {∠𝐶𝐵𝐸＝∠𝐴𝐶𝐹 ，
𝐵𝐶＝𝐴𝐶
∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE=CF； 故答案为：∠BCA=180°-∠α； （3）EF＝BE＋AF
（1）①∵∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=∠α=90° ∴∠BCE+∠ACF=90°，∠FCA+∠FAC=90°， ∴∠BCE=∠FAC，（同角的余角相等）
∵∠BEC=∠CFA，CA=CB， ∴Rt△BCE≌Rt△CAF（AAS）， ∴BE=CF；
故答案为：“=”；（3）EF、BE、AF的数量关系：EF=BE+AF， 理由是：如图3
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°， ∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF， ∴∠EBC=∠ACF， 在△BEC和△CFA中，
∠𝐸𝐵𝐶＝∠𝐹𝐶𝐴
{∠𝐵𝐸𝐶＝∠𝐶𝐹𝐴 ，
𝐵𝐶＝𝐶𝐴
∴△BEC≌△CFA（AAS）， ∴AF=CE，BE=CF， ∵EF=CE+CF， ∴EF=BE+AF．
25. （1）解：∠ACB+∠AOB=180°
（2）解：如图1（原卷没图），∵BE是高， ∴∠AEB=∠BEC=90°
由(1)得：∠AOB+∠ACB=180°， ∵∠AOB+∠AOE=180°， ∴∠AOE=∠ACB， 在△AEO和△BEC中，
∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐵𝐸𝐶
∵ {∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐵𝐶𝐸
𝐴𝐸=𝐵𝐸
∴△AEO≌△BEC(AAS)
（3）解：存在， 如答图2 t= 5
7
②如答图3 t= 3
7
注：(3)问解题过程 由题意得：OP=t，BQ=4t， ∵OB=CF，∠BOP=∠QCF，
①当Q在边BC上时，如图2，△BOP≌△FCQ
∴OP=CQ， 即t=7-4t，
t= 5
②当Q在BC延长线上时，如图3，△BOP≌△FCQ，
7
∴OP=CQ， 那t=4t-7， t= 3
综上所述，当t= 5 秒或 3 秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等。
7
7
7
