冀教版六年级数学上册全册知识点汇总

冀教版六年级数学上册知识手册

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一 圆 和 扇 形

一、认识生活中圆形物品的面 1.生活中有些物品的面是圆形的,如硬币的面、钟表的面、圆桌的面等等。 2.圆形物体在滚动时平稳。 3.圆是由曲线围成的封闭图形。 二、圆的对称性 1.圆是轴对称图形,圆的对称轴是圆的直径所在的直线。 2.任意一个圆都有无数条对称轴。 3.半圆只有一条对称轴。 4.圆的所有对称轴都相交于圆中心的一点。 三、认识圆心、圆的直径和圆的半径 1.把圆对折时,折痕的交点就是圆的圆心。一般用字母O表示。 2.通过圆心并且两端都在圆上的线段是圆的直径,直径一般用字母d表示。 3.连接圆心和圆上任意一点的线段都是圆的半径,半径一般用字母r表示。 4.任何一个圆都只有一个圆心。 5.直径是圆中最长的线段。 6.用直尺量出圆中最长的线段,这条线段就是圆的直径。这条线段的中点就是这个圆的圆心。 四、圆的半径和直径的特征和它们之间的关系 1.任意一个圆都有无数条半径和无数条直径。 2.在同圆或等圆中,直径是半径的2倍,即要点提示: 圆形物品的面的边缘是由曲线围成的。 易错点: 1.错误地以为直径是圆的对称轴。 2.错误地以为半圆也有无数条对称轴。 易混点:圆的半径和直径都是一条线段。 易错点:错误地以为通过圆心的线段是直径。 重点:直径是圆中最长的线段。 易混点: 1.直径和半径的关系是在同圆或等圆中进行研究和探讨的。 2.只有在同圆或等圆中,直径才是半径的2倍,半径才是直径的一半。 易错点:画圆的半径或直径 d=2r,r=。 五、画出圆的半径和直径 时,一般要标出字母r或d以及圆1.画圆的半径时,连接圆心和圆上的任意一点即心O。 可。 2.画圆的直径时,连接圆上的任意两点并且要通过圆心。 六、用圆规画圆的方法和步骤 1.画圆的步骤: (1)把圆规的两脚分开,定好两脚之间的距离(半径); (2)把有针尖的一只脚固定在一点即圆心上; (3)把有铅笔尖的一只脚旋转一周就画出一个圆。 2.通过画圆得出结论:圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。 3.我国古代劳动人民使用“规”来画圆,使用“矩”画长方形、正方形、直角等。 4.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长;在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。 七、图案设计 用圆规和直尺可以设计出许多美丽的图案。 要点提示: 1.画圆时两固定一旋转。 2.画圆时,如果两个圆的圆心相同,则这两个圆是同心圆。 易混点:设计图案时,体现圆的对称美。 八、扇形的认识 1.扇形是由两条半径和圆上的一段曲线围成的,如下图: 易错点: 1.扇形是由两条半径组成的。 2.圆心角的顶点是圆心,两 2.下图中,圆上A、B两点之间的部分叫做弧,读作:弧AB。顶点在圆心,两条半径组成的角叫做圆心角。 边是半径。 3.弧线是一段曲线。 4.扇形的对称轴是扇形圆心角的平分线。 3.扇形只有一个角,角的顶点是圆心,这个角就是圆心角。 4.扇形的圆心角越大,扇形张开的角度就越大,所以扇形的大小与它的圆心角和半径的大小有关。 5.扇形是轴对称图形。扇形有且只有一条对称轴。这条对称轴就是圆心角的平分线。

二 比 和 比 例

一、比的认识、比的各个部分的名称和读写 1.比表示两个数相除,如2∶4=2÷4。 易混点: 比和比值的区别:比值2.两个数相除的结果叫做比值,如2∶4=2÷4=。 是一个数,通常用分数、小数或整数来表示,比表示两个数的关系,不能用小数或3.在比中,“∶”是比号,“∶”前面的数叫做比的前项,“∶”后面的数叫做比的后项(比的后项不能是0),比的前项 除以比的后项所得的商叫做比值。 整数表示。 易错点:比的后项不能 2 ∶ 4 = ︙ ︙ ︙ ︙ 前项 比号 后项 比值 是0。 要点提示: 4. 5∶10读作“5比10”;4比5写作“4∶5”。 二、比的各个部分和除法、分数的各个部分之间的关系 联系(相当于) 比 比的前项 区别 比值 一种关系 一种运算 0) a∶b==a÷b(b≠易混点: 1.比和比值都可以用分数的形式来表示,但是读法不一样。 2.比值是没有单位名称的。 重点: 最简整数比的前项和∶比号 比的后项 除法 被除数 ÷除号 除数 —分数线 商 分数 分子 分母 分数值 一种数 三、求比值的方法 1.求比值时,用比的前项除以比的后项所得的商,就是比后项是互质数。 要点提示: 值。如5∶7=5÷7=。 1.体育比赛两队的分2.求比值是一种运算,结果是一个数,可以是整数也可以数比是2∶0,这只是记分形是小数,还可以是分数。 四、比的基本性质与化简比 1.比的前项、后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。这叫做比的基本性质。 2.利用比的基本性质可以把一个比化成最简单的整数比。 3.化简比的方法: (1)两个整数的比:用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 如9∶12=(9÷3)∶(12÷3)=3∶4 式,不是相除关系,不能化简。 2.化简比时,如果比的后项是1,是不能省略的。 易错点: 判断两个比能否组成比例还可以化简比。 易混点: 比的形式是式子,比例的形式是等式。 (2)两个分数的比:用前项、后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简(也可以用前项除以后项,但最后一定要写成比)。 易错点: 1.化简比的结果必须是个比;求比值的结果是个数。 如∶=(×15)∶(×15)=10∶6=5∶3 2.比值是一个数,化简(3)两个小数的比:比的前、后项都扩大相同的倍数,先化比表示两个数之间的关系。 成整数比,再化简。 如0.4∶0.06=(0.4×100)∶(0.06×100)=40∶6=20∶3 4.化简带单位的两个同类量的比时,先统一单位,再化简。 如0.5千米∶200米=500∶200=5∶2 五、比例的意义、比和比例的区别 1.表示两个比相等的式子叫做比例。 2.判断两个比能否组成比例要看这两个比的比值是否相等。 3.比和比例的区别: 比4∶6 由两个数组成,是一个式子,表示两个数相除 求比值 求比值是比的前项除以比的后项所得的商 由四个数组成,是一个等式,表示两个比例:2∶3=4∶6 比相等 六、求比值与化简比的区别和联系 不同点 化简比 化简比是把两个数意义不同 的比化成最简单的整数比,比的前项和后项是互质数 计算方法不同 化简比:是根据比的求比值是用比的前基本性质,把比的前项除以后项所得的项、后项同时乘或除商,就是进行除法运以相同的数(0除算 外),化成最简比;如果所得的整数比不是最简的,要连续化简,化成最简的 化简比的结果是一求比值的结果是一结果不同 个最简单的整数比,个数,这个数可以是比的前项、后项是互整数,可以是分数,质数 也可以是小数 要点提示: 1.分数形式的比例确定内项和外项的方法: 2. 4和40是外项,1.6和60是内项。 易混点: 比的基本性质和比例的基本性质是不同的,前者是前项和后项之间的同时变化,后者是内项和外项的积相等。 易错点: 1.解比例和解方程一样,不要忘记写“解”。 2.解比例的依据是比例的基本性质。 重点提示: 按比例分配问题就是七、比例的组成部分和各个部分的名称 组成比例的四个数,叫做比例的项。 两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。如 八、比例的基本性质 1.在比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。 2.如果把比写成分数的形式,等号两端的分子和分母分别交叉相乘,它们的积相等。 九、解比例 1.求比例中的未知项叫做解比例。解比例的依据是比例的基本性质。 2.解比例的方法:先根据比例的基本性质,把比例式转化为方程形式的等积式,再求出未知项。 解比例: 十、按比例分配 把比例问题转化为求一个数的几分之几是多少来解答。 易错点: 用比例的知识解答问1.按比例分配问题的特征:已知总量和部分量的比,求部题时,两个比的前项和后项分量是多少。 2.按比例分配问题的解答方法:先求总份数,再求各个部分占总量的几分之几,最后用总量乘部分量占总量的几分之几求出各个部分量。 十一、按比例解答问题 用比例知识解答问题时,要注意列出的比例中的每个比的前项和后项的对应。 如:六(1)班男、女生人数的比是5∶3,其中男生有25人,求女生有多少人时,可以设女生有x人,然后利用数学的对应思想列出比例:5∶3=25∶x,解之得x=15。 十二、解决问题 解答连比的简单的按比例分配问题时的方法等同于两个数的比例的按比例分配的解答方法:一是先求出总份数;二是求各个部分占总量的几分之几;三是根据求一个数的几分之几是多少求出各个部分量。 如用108厘米长的铁丝做一个长方体框架,这个长方体框架长、宽、高的比是4∶2∶3,求这个长方体框架的长、宽和高分别是多少厘米。 4+2+3=9 的比不对应。 易错点: 用按比例分配的知识解答连比问题时,注意数量与份数的对应。 重点提示: 同一时间、同一地点、竹竿的高度和影长的比值长:108÷4×米) =12(厘米) 宽:108÷4×=6(厘是不变的。 高:108÷4×=9(厘米) 答:这个长方体框架的长、宽、高分别是12厘米、6厘米和9厘米。 十三、测量旗杆的高度 在同一地点,同一时间测量的杆长和影长的比值是相等的,利用这个方法可以测量高大物体的高度。解答此类问题应注意:旗杆的高度∶旗杆的影长=竹竿的高度∶竹竿的影长。 例:在同一时刻同一地点,如果高为2米的测杆的影长为2米,那么影长为30米的旗杆的高是多少米? 解:测竿的高度∶测竿的影长=旗杆的高度∶旗杆的影长,2∶2=30∶旗杆的高度。设旗杆的高度是x米,得比例:2∶2=30∶x。 解得旗杆的高度=30 m。

三 百 分 数

一、百分数的意义和读写 1.表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,百分数又叫“百分率”或“百分比”。 2. “%”是百分号,读作百分之。 3.读百分数时,先读“%”,再读分子。如“30%”读作百分之三十。写百分数时,读几写几,最后加上“%”。 4.百分数表示的是两个数之间的倍比关系,不能表示具体的数量,所以百分数后面不能加单位名称。 如一条线段长0.5米,不能说一条线段长50%米。 5.分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。 6.百分数和分数的区别和联系: 易混点: 百分数表示两个数量之间的倍比关系,分数可以表示倍比关系,也可以表示数字。 注意点: “%”的两个0要小写,不要与百分数前面的数混淆。 重点提示: 1.把分数化成百分数时,用分子除以分母,除不尽的时候商保留三位小 (1)联系:都可以用来表示两个量之间的倍比关系。 数,结果用“≈”连接,化(2)区别:意义不同,百分数只表示倍比关系,不表示具体成百分数时使用“=”连接。 数量,所以不能带单位。 2.把百分数化成分分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。百分数,先把百分数化成分母数的分子可以是小数,分数的分子只能是整数。 二、百分数与分数的互化和大小比较 是100的分数(如果分子是小数先化成整数),再化成1.分数化成百分数:可以把分数化成分母是100的分数,再最简分数。 化成百分数; 易错点: 1.把小数化成百分一般是把分数化成小数,除不尽时,保留三位小数,再把小数:如果是一位小数,位数数化成百分数。如=2÷25=0.08=8% 如果三位≈0.667=66.7% 不够,用0补足。以上的小数化成百分数,需要把小数保留三位,再化成百分数。 6%== 2.百分数化成小数,位数不够用0补足。 如比较和75%的大小。 方法一 把分数化成百分数:=80% 80%>75%,所以 >75%。 方法二 把百分数化成分数: 75%=以,75%<。 = <,所 2.百分数化成分数:把百分数写成分数的形式,能约分的要约成最简分数。如3.比较百分数和分数的大小时,可以把分数化成百分数,再比较大小;也可以把百分数化成分数,再比较大小。 三、百分数和小数的互化和求一个数是另一个数的百分之几 1.百分数化成小数:只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。 如35%=0.35 2.小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,添上百分号即可。 如0.24=24% 3.求一个数是另一个数的百分之几,用一个数除以另一个数,把计算结果化成百分数。 如求3是5的百分之几,用3÷5=0.6=60%。 4.求一个量是另一量的百分之几时,如果两个量单位名称不同,需要进行单位转化,只有转化相同的单位后才可以进行解答。 如30厘米是1米的百分之几? 易错点:求各种百分率最后都要乘100%。 重点提示: 1.出勤率、发芽率等解答:1米=100厘米 30÷100=答:30厘米是1米的30%。 四、百分率 =30% 都是指部分量占总量的百分比,所以最高为100%。 2.求百分率时,注意1.求常见的百分率如达标率、及格率、成活率、发芽率、部分量除以总数量,再乘出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几 。 100%。 重点提示: 发芽率=×100% 合格率=×100% 求一个数的百分之几是多少,用这个数乘百分含盐率=100% 一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70%到80%,出油率在30%到40%。 ×100% 出油率=×之几。 2.我们求各种百分率时,如果题中给出的两种量的单位名称不同,需要先统一单位名称,再计算百分率。如 例:1吨小麦磨出面粉750千克,求小麦的出粉率。 1吨=1000千克 ×100%=75% 答:小麦的出粉率是75%。 3.求较复杂的百分率问题时,一定要注意一般百分率是用部分量除以总数量。 例: 六(1)班今天有46人来上课,有2人请事假,有2人请病假。求这一天六(1)班的出勤率。 46+2+2=50(人) ×100%=92% 答:今天的出勤率是92%。 五、百分数的简单应用 1.求一个数的百分之几是多少:用这个数乘百分之几。 例1:某校一年级有200人,二年级学生数是一年级的120 %,二年级有学生多少人? 200×120%=240(人) 答:二年级有学生240人。 2.从生活中发现数学信息,提出数学问题,并尝试解决,综合运用所学知识解决简单的实际问题。

四 圆的周长和面积

一、圆的周长的认识 1.车轮滚动一周走的距离就是车轮的周长。 车轮每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数 2.圆一周的长度就是圆的周长。 3.测量硬币的周长的方法有滚动法和绕绳法。 易错点: 1.错误地以为π=3.14。 2.错误地以为大圆的圆周率的值就大,小圆的圆周率 这两种方法体现了数学的“化曲为直”思想。 4.任何一个圆的周长总是它的直径的3倍多一些,这个倍数是一个固定不变的数,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。 约2000年前的中国古代《周髀算经》有“周三径一”的说法;约1500年前,数学家祖冲之计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间。 5.任何一个圆的圆周率,都不随圆的大小而变化。 二、圆的周长计算公式(圆的周长和直径的关系) 1.如果用C表示圆的周长,则C=πd或C=2πr。 例1:已知圆的半径是1厘米,则根据C=2πr求出周长: 2×3.14×1=6.28(厘米) 例2:已知圆的直径是1厘米,则根据C=πd求出周长: 3.14×1=3.14(厘米) 2.已知圆的周长,则圆的直径:d=C÷π,半径:r=C÷π的值就小。 重点提示: π是一个无限不循环小数,计算时,一般取3.14。 易错点: 错误地以为半圆的周长就是该圆的周长的一半。 重点提示: 如图,圆的直径越长,周长越长,直径越短,周长越短。 ÷2。 例:已知圆的周长是6.28厘米,求圆的直径和半径。 直径: 6.28÷3.14=2(厘米) 半径:6.28÷3.14÷2=1(厘米) 3.半圆的周长计算方法:C半圆=+d=πr+2r 例1:已知半圆的直径是2厘米,求半圆的周长是多少厘米。 3.14×2÷2+2=5.14(厘米) 答:半圆的周长是5.14厘米。 例2:已知半圆的半径是1厘米,求半圆的周长。 3.14×1+2×1=5.14(厘米) 答:半圆的周长是5.14厘米。 4.体会转化思想以及乘法分配律在圆的周长中的应用。 例:下面的两个小圆的周长的和与大圆的周长相比,哪个长?(单位:厘米) 。3.14×6+3.14×10=3.14×(6+10),所以同样长。 三、圆的面积 1.一个圆所占的平面的大小叫做圆的面积。 易混点: 错误地以为半径是2厘米的圆的面积和周长是相等2.把一个圆平均分成若干份(偶数份)后,可以拼成一的。 个近似的长方形,这个长方形的长是圆的周长的一半,宽是重点提示: 圆的半径扩大到原来的a圆的半径,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=倍,直径也扩大到原来的a倍,周长扩大到原来的a倍,×r=×r=πr2。 这一推导过程体现了数学的转化思想。 ×r=πr2 面积扩大到原来的a2倍。 重点提示: 周长相等的长方形、正方S = ×r=形和圆,圆的面积最大。 重点提示: 圆环的面积实质是两个同心圆的面积的差。 重点提示: 记住这些数据,计算起来简单又快。 例:已知圆的半径是1厘米,求圆的面积。 3.14×12=3.14(平方厘米) 答:圆的面积是3.14平方厘米。 3.半圆面积=圆面积÷2 公式:S=πr2÷2 四、圆的面积公式的应用 1.已知圆的直径,则圆的面积S=π(d÷2)2。 例:已知圆的直径是4厘米,求圆的面积。 3.14×(4÷2)=3.14×4=12.56(平方厘米) 2.已知圆的周长,则圆的面积S=π(C÷π÷2)2。 例:已知圆的周长是12.56厘米,求圆的面积。 12.56÷3.14÷2=2(厘米) 3.14×22=12.56(平方厘米) 2答:圆的面积是12.56平方厘米。 3.两个圆如果直径、半径、周长或面积其中一项相等,则其余几项也都相等。 4.在一个正方形里画一个最大的圆(外方内圆),圆的直径等于正方形的边长;在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。 5.周长相等的正方形和圆,圆的面积较大。 五、圆环 1.一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积S=π(R2-r2) 或 S=πR2-πr2。 (其中R=r+环的宽度) 2.常用的3.14的倍数: 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.1412=37.68 3.14×14=43.96 3.14×16=50.24 3.1418=56.52 3.14×24=75.36 3.14×25=78.5 3.1436=113.04 3.常用的一些数的平方: 112=121 122=144 132=169 142=196 15=225 162=256 172=2 182=324 192=361 202=400

五 百分数的应用

23.14×6=18.84 3.14××××

一、求一个数比另一个数多(少)百分之几 1.求一个数比另一个数多百分之几,用(一个数-另一个数)÷另一个数。 例:求5比4多百分之几? (5-4)÷4=1÷4=25% 2.求一个数比另一个数少百分之几,用(另一个数-一个数)÷另一个数。 例:求4比5少百分之几? (5-4)÷5=1÷5=20% 3.已知整体和一部分,求另一部分占总量的百分之几,用(总量-部分量)÷总量。 例:某车间上周计划生产200辆汽车,到周四只生产了120辆,还剩下百分之几没有完成? (200-120)÷200=80÷200=40% 答:还剩下40%没有完成。 二、求比一个数多(少)百分之几的数是多少 1.求比一个数多百分之几的数是多少,用这个数×(1+百分之几)。 例:比5多20%的数是多少? 方法一:5+5×20%=5+1=6 方法二:5×(1+20%)=6 2.求比一个数少百分之几的数是多少,用这个数×(1-百分之几)。 例:求比5少20%的数是多少? 方法一:5-5×20%=5-1=4 方法二:5×(1-20%)=4 三、已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数 已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数一般用方程的方法来解答,解:设一个数是x,然后列方程得:x±x%=多少数,最后列方程解答。 例:六年级参加科技活动的有48人,比参加数学活动的重点提示: 一个数比另一数多(少)百分之几,就是说这个数是另一个数的(1±百分之几) 易错点: 错误地以为甲数比乙数多百分之几,乙数就比甲数少百分之几。 重点提示: 解答有关百分数的实际问题时,如果单位“1”未知,我们可以列方程解答。 少20%,参加数学活动的有多少人? 解:设参加数学活动的有x人。 (1-20%)x=48 0.8x=48 x=60 易混点: “买几送几”也是折扣问题,如“买四送一就是买5个花4个的钱也就是打八折”。 重点提示: 答:参加数学活动的有60人。 四、折扣 1.标价:商品摆放在柜台出售的价格,包括成本和利润两部分。 2.售价:商品的成交价格。售价经常等于或小于标价。 3.折扣:商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣。通称“打折”。 4.几折就表示十分之几,也就是百分之几十。几折用汉字表示。 例如:八折=80% 六折五=0.65=65% 5.解答折扣问题时,一般都把折扣转化为百分数,然后按照百分数问题的解答方法来解答。 例: (1)一件上衣原价是100元,现价是80元,商家打几折促销? 80÷100=80% =八折 现价÷原价=折扣 解答成数问题时,一般(2)一件上衣原价100元,商家打八折促销,现价是多少把成数转化为百分数来解元? 100×80%=80(元) 原价×折扣=现价 (3)一件上衣打八折促销是80元,原价是多少元? 80÷80%=100(元) 现价÷折扣=原价 6.打几折就是按原价的百分之几出售或说降价了(1-百分之几)出售。 例:一件上衣原价200元,打八折销售,降价了多少元? 答。 200×(1-80%)=40(元) 答:降价了40元。 五、成数 1.几成就是十分之几,也就是百分之几十。 2.几成几表示百分之几十几。如三成五表示35%。 易混点: 应纳税额就是要缴纳的税款,不同于营业额,它是营3.求比一个数多几成的数是多少,用这个数×(1+成业额与税率的乘积。 数)。 例:某村去年产玉米300吨,今年比去年增产两成,今年产玉米多少吨? 300×(1+20%)=360(吨) 答:今年产玉米360吨。 4.求比一个数少几成的数是多少,用这个数×(1-成数)。 易错点: 本息和是本金与利息的和。求本息和时,只计算出利例:8月份生产自行车3000辆,9月份减产两成,9月份生息忘记加本金。 产自行车多少辆? 3000×(1-20%)=2400(辆) 答:9月份生产自行车2400辆。 六、税收 1.缴纳的税款叫做应纳税额。 2.应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 3.求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,用乘法计算。 重点提示: 定期存款,一次性存期 例:某超市上个月的营业额是3万元,按5%的税率缴纳营越长,利息越多。 业税,需要纳税多少元? 3万元=30000元 30000×5%=1500(元) 答:需要纳税1500元。 提示:应纳税额=营业额×税率 应纳税款÷税率=营业额 七、储蓄 1.存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 2.存入银行的钱叫做本金。 3.取款时,银行除本金外多付给的钱,叫做利息。 4.利率:利息占本金的百分率。按年计算的叫做年利率;按月计算的叫做月利率。 5.利息=本金×利率×存期 本息和=本金+利息 6.存款到期时,银行给付的钱应该是本息和。 例:妈妈在2012年7月10日把10000元钱存入银行,存期3年,当时的年利率是4.25%,到期时,妈妈取回多少元钱? 10000×4.25%×3+10000=1275+10000=11275(元) 答:到期时,妈妈取回11275元钱。 八、学会理财 1.学会从数学主题图和文字中发现信息和要解决的问题,并能自己设计存钱计划和对计划作出合理解释。 2.经历设计储蓄方案、优化方案的过程,学会用数学的眼光观察和解决生活中的数学问题,提高自己的数学素养。

六 比 例 尺

一、放大与缩小 1.放大镜可以把字放大,照片可以把景物缩小。 2.复印机可以放大也可以缩小,放映机可以把胶片上的画面放大。 3.把第一个图形的边长放大到原来的2倍后可以得到第二易错点: 1.错误地以为图形放大或缩小后,形状会改变。 2.错误地以为图形每边扩大到原来的n倍后,面积也扩大到原来的n倍。 个图形,还可以说把第二个图形缩小到原来的一个图形。 后得到第 4.把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比,形状相同,大小不同。 5.放大与缩小的相同点和不同点。 边的长度按一定的比放大或缩小,图相同点 形的大小发生变化,形状不变。比的前项表示变化的长度,比的后项表示原来的长度 不同点 比值大于1(如2∶1)表示图形放大,比值小于1(如1∶3)表示图形缩小 6.如果一个长方形的各边长度扩大到原来长度的n倍或缩小到原来长度的 ,那么它的周长就扩大到原来长度的 重点提示: n倍或缩小到原来长度的,它的面积就扩大到原来的n2倍画放大或缩小后的图形时,确定所画图形的每个或缩小到原来的 。 顶点的位置和每边长是关键。 易混点:在比例尺中,比的前项如果是1,这个比二、画放大与缩小后的图形 在方格纸上按一定的比例将图形放大或缩小分为三步: 一看:看原图形每边各占几格; 二算:计算按给定的条件将图形的各边长放大或缩小后例尺是缩小比例尺,如果后得到的新图形每边各占几格; 项是1,这个比例尺是扩大三画:按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。 比例尺。 三、比例尺的认识 1.画出的图形如果与原来的图形完全一样,我们可以说画出的图形与原来的图形的比是1∶1。 2.如果用图上1厘米表示实际的10厘米,我们就说这幅图的比例尺是1∶10。 3.比例尺1∶10,就是把原来的图形按缩小画出,或 者说实际的10厘米用图上的1厘米来表示。 四、比例尺的应用 1.比例尺就是图上距离和实际距离的比。 易错点: 错误地以为比例尺是图上距离∶实际距离=比例尺或2.利用比例尺和图上距离求实际距离: =比例尺 图上距离和实际距离的比值。 重点提示: 比例尺是图上距离比例:在比例尺是1∶1000的图纸上,量得操场的长是20厘米,你知道操场的实际长度吗? 方法一:图上长20厘米,实际长20×1000=20000(厘实际距离得到的最简整数米)=200(米) 比,可以写成带比号的形式,也可以写成分数的形方法二:20÷=20×1000=20000(厘米)=200(米) 式。 重点提示: 应用线段比例尺画图时,要先求出图上距离,再答:操场的实际长度是200米。 实际距离=图上距离÷比例尺或者先明确图上1厘米表示实际的米或千米数后,乘图上距离。 3.比例尺是一个比,他表示图上距离和实际距离的倍比根据图上距离画出相应的关系,因此不能带计量单位。(计算时要先统一单位) 五、线段比例尺 1.比例尺可以分为数值比例尺和线段比例尺。数值比例尺如1∶100000;线段比例尺如2.线段比例尺和数值比例尺之间的互化。 。 平面图,并标明平面图的名称及比例尺。 易错点: 无论是求路程还是求面积,注意不同单位之间的转化。 3.利用线段比例尺解答简单的实际问题:描述物体的方向和实际距离。 例: 一辆汽车正在向正南方向行驶。从上图看: (1)城市甲在汽车(南偏西45°)方向上,与汽车的实际距离是(50)千米。 (2)城市乙在汽车(正东)方向上,与汽车的实际距离是(30)千米。 六、线段比例尺的应用 运用线段比例尺结合图上距离,可以求路程也可以求出图形的面积。 例:有一块长方形空地,长200米,宽150米,在一张平面图上用4厘米的线段表示长,把这块长方形空地画在纸上后的面积是多少平方厘米? 4厘米∶200米=4厘米∶20000厘米=1∶5000 150米=15000厘米 15000×4×3=12(平方厘米) =3(厘米) 答:把这块长方形空地画在纸上后的面积是12平方厘米。

七 扇形统计图

一、认识扇形统计图 1.扇形统计图:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形的面积表示各部分数量同总数之间的关系,也就是各部分数量占总数的百分比。 2.扇形统计图的特点: (1)用扇形的面积表示部分占总体的百分比; (2)扇形统计图的各部分占总体的百分比之和为100%或1。 二、读扇形统计图 我们可以从扇形统计图获取信息,先与整体比较, 重点提示: 扇形统计图能清楚地显示每组数据相对于总体的百分比。 易错点: 看看部分占整体的百分比是多少,再看一下各部分之两个不同单位“1”间谁占的百分比大,在此基础上仔细分析,得出结论。 的扇形统计图无法比较例:幸福一小六年级同学参加课外兴趣小组的情数量的多少。 况如下图,请你看图回答问题。 (1)(电脑)小组最受欢迎,(绘画)小组与(歌唱)小组受欢迎程度差不多。 (2)图中是把(六年级学生总人数)看作单位“1”。 (3)外语小组占(25)%,绘画小组比歌唱小组多总数的(1)%。 三、选择合适的统计图表示数据 1.常用统计图的优点: (1)条形统计图:可以清楚地看出各种数量的多少。 (2)折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰地看出数量的增减变化情况。 (3)扇形统计图:能够清楚地反映出各部分数量同总数之间的关系。 条形统计图 折线统计图 扇形统计图 重点提示: 选择统计图时,要结合需要反映的数据的特征来进行选择。 易错点: 注意每个扇形与部分量的对应。 用一个单位长度表示一定的数用整个圆的面量 特点 用直线的长短表示数量的多少 积表示总数,用圆内的扇形表示数量的增面积表示各部减变化 分占总数的百分数 从图中能清楚从图中能清楚从图中能清楚作用 地看出各数量地看出数量增地看出各部分的多少,便于减变化的情与总数的百分相互比较 况,也能看出比,以及部分数量的多少 与部分之间的关系 四、制作扇形统计图的步骤 1.根据统计资料,整理数据,并计算出部分占整体的百分数。 2.根据各部分占总体的百分数,计算出各部分扇形圆心角的度数。 3.取适当半径作圆,按圆心角将圆分成几个扇形。 4.对应标上各部分名称及占总体的百分数。

八 探 索 乐 园

一、找次品 1.找次品分组原则:把待测物品分成3份。能平均分就平均分成3份;不能平均分的,应让多的与少的一份只相差1。这样才能保证称的次数最少就能找出次品。 2.画“次品树形”分组图。 例: 27个物品中有1个次品,最少称几次能找出次品? 分组27÷3=9由此分为9,9,9这三组。 (2)画“次品树形”分组图,由此得出至少需3次。 3.用天平找次品时,所测物品与测试的次数有以下关系(只含一个次品,已知次品比正品轻或重): 要辨别的物品的数目 2~3 4~9 10~27 28~81 保证能找出次品需要测的次数 1 2 3 4 示: 2~3个物体,保证能找出次品需要测的次数是1次;4~9个物体(2次);10~27个物体(3次)。 重点提82~243 …… 5 …… 易错点: 相对面不相邻,相邻面不相对。 总结:称n次,最多可以分3的n次方个物品数目。(3的n次方表示n个3相乘) 二、生活中的推理 1.判断正方体面上对应的数字时,应先从两次都看到的面开始分析,可以使用“排除法”等方法。 例:一个正方体,每个面上分别写着数字1~6,有一个人从不同的角度观察到下图的情况,问这个正方体上相对的两个面上的数字各是几? 1的对面是5,2的对面是6,3的对面是4。 2.在判断名次的推理问题中,可以用排除法来解决。 例:王老师、陈老师和是学校的三位老师,他们分别教美术、体育、音乐中的一门课。王老师不会画画,不会唱歌也不会画画。你知道他们分别教什么课吗? 解:不会画画也不会唱歌,那他只能教体育,王老师不会画画,只能教音乐,剩下的美术就是陈老师教了。