数学建模(飞行管理问题)

摘要 让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。本文通过对两两飞机飞行过程最小临界距离大于8km为入手点，以t时刻后飞机所处状态为研究对象。通过点的向量平移，找出临界距离（8km）视为界点，再通过两点距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断t的取值。

当＜0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。当≥0时，说明方程有实数解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定区域范围内（0≤t≤0.283h）。若t不在范围内，说明两飞机在规定区域不会发生碰撞，而在区域范围外会发生碰撞（不在我们考虑范围内）若t在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各架飞机的方向角。方向角的调整虽然在30o内有足够空间（相应的可行解就很多），但又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。

最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。

关键词 向量平移 最短临界距离 方向角 调整幅度

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一、问题重述（略）

二、模型假设：

（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km （2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30o （3）所有飞机飞行速度均为每小时800km

（4）进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60km以上 （5）最多需要考虑6架飞机

（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况 （7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响

（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外

（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞行的距离（即该时间间隔忽略不计）

（10）每架飞机都视为质点

三、符号说明：

i,j

xi yi

表示飞机编号（i,j=1,2,3,4,5,6） 表示第i架飞机所处位置的横坐标 表示第j架飞机所处位置的纵坐标 表示第i架飞机的初始方向角 表示第i架飞机所调整的方向角

表示各架飞机飞行过程达到最短临界距离所用时间 表示t时刻后第i架飞机与第j架飞机的距离（i≠j） 表示第i架飞机初始记录的点的坐标 表示第i架飞机经t时刻后的点的坐标 表示第Ai点经过t时刻后所平移的向量

四、模型建立与求解

i

i

t Sij

Ai Bi

ai

由假设（1），我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题目要求飞机间两两不碰撞。首先我们在不调整各架飞机方向角时，按各飞机初始位点来判断各飞机的碰撞情况，从图（一）中可以大致估算两两飞机在区域范围内的飞行情况，

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从而可以初步预测和排除部分飞机的碰撞情况。

每架飞机在区域范围内飞行的时间范围为[0，0.283]h，即从原点沿正方形区域对角线飞出的飞机所用时间最大为0.283h。平移向量为ai=（vtcosi,vtsini），Ai=(xi,yi),Bi=(xi+vtcosi,yi+vtsini)

我们建立初始模型:minSij8，或min(Sij)2(i,j=1,2,3,4,5,6 i≠j)

0≤t≤0.283h

问题转化为：

min(Sij)2((xixj)vt(cosicosj))2((yiyj)vt(sinisinj))2＞

0≤t≤0.283h

用上述不等式判断初始时刻两两飞机的碰撞情况，

80

160

1

x 50

4 2 100 160

5 1 y

3

图（一）

min(S63)2(150800t(cos52ocos220.5o))2(155800t(sin52osin220.5o))2＞即

(1501100.8t)2(1551149.6t)2＞

3

进而有：

22533340.8t2686616t461＞0

因为＞0，所以可以求出一元二次方程

22533340.8t2686616t461＝0的两个根t1=0.13h,t2=0.14h t1、t2[0，0.283]，可知6、3飞机会在[0.13，0.14]时间范

围内发生碰撞。

min(S43)2((145150)800t(cos159ocos220.5o))2((50155)800t(sin159sin220.5))＞即

(51392t)2(105805.6t)2＞

oo2

2586655.4t2155256t10986＞0

因为＜0，所以一元二次方程

2586655.4t2155256t10986＝0无实数解，即4、3飞机不会发生碰撞。

同理，可以判断，其余各架飞机按初始方向角飞行的碰撞情况如表（一）所示：(T表示会发生碰撞，F表示不会发生碰撞)

飞机 编号 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 F F F F F F F F F F F F F F T 表（一） F F F F F F F F F T F F T F T 从图（一）初位点可以直观看出，当6增大时，它与原来不发生碰撞的飞机1、2仍保持不碰撞，又6的可调范围为30o内，此时以6=30o，其余飞机保持原来的方

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向角不调整进行计算，可使得每架飞机都不发生碰撞。但要使方向角的调整幅度尽量小，应该尽量让每架飞机都进行稍微的调整。下面我们给定6=5.00o并判断出6与3、5飞机不发生碰撞，但此时6与4会发生碰撞，则我们只需对应给4=5.00o就可保证6与4不发生碰撞。从而有表（二）调整方式： 飞机编号(i) 1 0 2 0 3 0 表（二） 最终模型：

min(Sij)2((xixj)vt(cos(ii)cos(jj))2((yiyj)vt(sin(ii)sin(jj))2＞(i,j1,2,3,4,5,6 ij)4 5.00 5 0 6 5.00 i 0≤t≤0.283h

i,j30o V=800km/h

五、模型的优缺点与分析

优点：在调整各飞机偏转的方向角时，我们只调整少数飞机，能把问题的计算简单化，而且借助各架飞机初始位点的运动路线，更直观地初步判断各飞机于某时刻的基本碰撞情况。

缺点：调整各飞机方向角时，只调整少数飞机，使得要调整的方向角幅度较大，所以找到的角度不能达到最优，只是可行解。假设（9）中过于理想化，与实际的情况还有一定差距，比如，在飞机的飞行过程中，它会受到风速、仪器、天气的影响，进而导致飞行员在调整角度的过程中可能出现偏差。

六、模型推广

此类模型可以用于航海中轮船的相遇问题等 参考文献

【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型 第三版, 北京；高等教育出版社，2003 【2】黄忠裕，初等数学建模, 成都：四川大学出版社，2004.12

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