2013年浙江高考理科数学试题及答案解析-（word版）

9．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24 +y 2

=1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四

象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率为 A ． 2 B ． 3

C ．32 D ．62

10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记

B =f π(A )．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α(P )]，Q 2=f α[f β(P )]，恒有 PQ 1= PQ 2，则 A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平

面β所成的（锐）二面角为45? C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60?

16．在△ABC ，∠C =90?，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM =1 3，则sin ∠BAC = ．

17．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x ，y ∈R ．若e 1，e 2的夹角为π6，则|x |

|b | 的最大值

等于 ． 20．（本题满分15分）如图，在四面体A ?BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD =2，BD =22．M 是AD 的中点，P 是

BM 的中点，

点Q 在线段AC 上，且AQ =3QC ． （Ⅰ）证明：PQ ∥平面BCD ；

（Ⅱ）若二面角C ?BM ?D 的大小为60?，求∠BDC 的大小． 21．（本题满分15分）如图，点P (0，?1)是椭圆C 1：x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是 圆C 2：x 2+y 2

=4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；

（Ⅱ）求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程． A B D P Q M

（第20题图）

22．（本题满分14分）已知a ∈R ，函数f (x )=x 3?3x 2+3ax ?3a +3 （Ⅰ）求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （Ⅱ）当x ∈[0，2]时，求|f (x )|的最大值．

10．已知椭圆E ：22 22=1x y a b

+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若

AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )． A ．

22=14536x y + B ．22

=13627x y + C ． 22=12718x y + D ．22 =11

x y + 11．已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ?-+≤?+>? ，，

，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]

12．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝

2n n c a +，c n ＋1＝2 n n

b a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B．{S n}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.

16．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．18．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．20．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，

圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

21．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.

(1)求a ，b ，c ，d 的值；

(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若

该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（） (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π

12. 设向量,,a b c 满足11,,,602 a b a b a c b c ===---= ，则c 的最大值等于（）

15. 已知12F F 、分别为双曲线22 : 1927

x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则

2AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体

1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =, 12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 . 19.如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面; （Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

20.设数列 {}n a 满足1 111 0,111n n a

a a +=-=-- （Ⅰ）求

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n b =，记1 n n

k k S b ==∑，证明：1n S <。 21.已知O 为坐标原点，F 为椭圆2 2 :12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为

的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22. （Ⅰ）设函数()()2ln 12 x

f x x x =+-

+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽

取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19 2

9110p e ?? <<

（11）设函数()sin()cos()f x x x ω?ω?=+++(0,||)2 π ω?><

的最小正周期为π，且 ()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,

)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ 单调递减 （C ）()y f x =在(0, )2π

单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44 ππ

单调递增 （12）函数1 1y x =

-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的橫坐标之和等于

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8

（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．

（16） ABC ?中，60,B AC =?= ，则AB +2BC 的最大值为_________．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．

（I ）求数列{}n a 的通项公式． （II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1

{}n

b 的前n 项和．

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．

（I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值． （20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中， 已知点A （0，-1），B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA

，MA AB MB BA = ，M 点的轨迹为曲线C ． （I ）求C 的方程；

（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．