上海市奉贤中学2020年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示，
为正交基底，则向量
（ ）
A. (－2,1)
B. (－2,－1)
C. (6,－1)
D. (0,5)
参：
C 【分析】
利用直角坐标系，求出
的坐标表示，利用平面向量的线性运算坐标表示公式进行求解即可.
【详解】根据直角坐标系可知；
，所以有
.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示公式，考查了数算能力.
2. 设集合
，
，则
（ ） A． B．
C．
D．
参： B 略
3. 中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（ ）
A. B. 1 C. D.
2
参： B
4. 在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2
B．x＜2
C．
D．
参：
C
【考点】正弦定理的应用．
【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．
【解答】解： ==2
∴a=2
sinA
A+C=180°﹣45°=135°
A有两个值，则这两个值互补 若A≤45°，则C≥90°， 这样A+B＞180°，不成立
∴45°＜A＜135°
又若A=90，这样补角也是90°，一解
所以＜sinA＜1
a=2
sinA
所以2＜a＜2
故选C
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【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
9. 给出命题：（设⑴若表示平面，表示直线，
；
表示点）
5. 已知集合A.
，
B.
C.
则M∩N= （ ）
D.
参：
C 略 6. 若点
在第一象限,则在
内
的取值范围是（ A. B.
C. D.参：
B
7. 函数
的大致图像是（ ）
A． B． C． D． 参： C
8.
.
参： 4 略
）
⑵若；
⑶若
； ⑷若
。则上述命题中，真命题个数是
（ ）． A． 1 B． 2 C． D． 4 参： C
10. 已知
为奇函数，则
的一个取值为
(A) 0 (B)
(C)
(D)
参：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. x，y∈R时，函数f ( x，y ) = ( x + y ) 2 + (– y ) 2的最小值是__________。 参：
2
12. 函数的最小正周期是※※※※※※．
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3
参：
6
13. 集合A 中含有2个元素，集合A到集合A可构成 个不同的映射. 参： 4个
14. 函数
，则其周期为________。
参：
略
15. 函数的值域是 ▲ ．
参：
16. 函数的定义域是_____________．
参：
17. 已知
，
，
，则
的最小值为__________．
参：
8
由题意可得：
则
的最小值为
.
当且仅当
时等号成立.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知.
（1）求
的值； （2）求
的值.
参：
(1)
,,，及
.
(2)
,
,
,
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,
.
19. 已知函数
．
（I）用“五点法”作出函数
的简图 (要求列表) ；
（II）若且，求．
参：
图略
略
20. 设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|． （1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．
参：
【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；
（2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x﹣a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．
【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R． 当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数． 当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|， f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，
f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数， ∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，
若a＞0，由题意可得f（x）=
，
由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，
由
，
当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；
当，
即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，
∴f（x）的最大值为f（）=
；
当
，即
时，
f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增， ∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．4 / 6
21. 已知圆C：x2+y2
+2x﹣2y=0的圆心为C，A（4，0），B（0，﹣2） （Ⅰ）在△ABC中，求AB边上的高CD所在的直线方程； （Ⅱ）求与圆C相切且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
参：
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）求出圆心为C（﹣1，1），半径，求出AB的斜率，直线CD的斜率，然后求解
直线CD的方程．
（Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，通过圆心C到直线的距离求解即可； ②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，通过圆心C到直线的距离求解即可； 【解答】解：（Ⅰ）依题意得，圆心为C（﹣1，1），半径
，
，
∴直线CD的斜率为：
，
∴直线CD的方程为：y﹣1=﹣2（x+1），即2x+y﹣1=0． （Ⅱ）①当两截距均为0时，设直线方程为y=kx，
则圆心C到直线的距离为
，解得k=1，得直线为y=x，
②当两截距均不为0时，设直线方程为x+y=a，
则圆心C到直线的距离为
，解得a=±2，得直线为x+y=2或x+y=﹣2，
综上所述，直线方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0或x+y+2=0．
22. （10分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB．
（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC； （2）求证：AC1∥平面CDB1； （3）求三棱锥D﹣CAB1的体积．
参：
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）由已知结合面面垂直的判断得答案；
（2）连结BC1，交B1C于点O，连结DO．由三角形中位线的性质得到DO∥AC1，再由线面平行的判定定理得答案；
（3）由CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，得BB1⊥平面ABC，从而求得BB1 为三棱锥D﹣CBB1 的高，把三棱锥D﹣CAB1的体积转化为三棱锥B1﹣BCD的体积得答案．
解答： （1）证明：∵CC1⊥平面ABC， 又CC1?平面C1CD， ∴平面C1CD⊥平面ABC；
（2）证明：连结BC1，交B1C于点O，连结DO． 则O是BC1的中点， DO是△BAC1的中位线． ∴DO∥AC1． ∵DO?平面CDB1， AC1?平面CDB1，
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∴AC1∥平面CDB1；
（3）解：∵CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1， ∴BB1⊥平面ABC．
∴BB1 为三棱锥D﹣CBB1 的高．
=．
∴三棱锥D﹣CAB1的体积为．
点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
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