一元一次方程培优专题——绝对值方程
例题1. 解方程： 2 x 3 5
【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为 2x 3 5 或者 2x 3 5 ，解得 x 1 或 x 4 【答案】 x 1 或 x 4
x112 x 1
解方程例题2. 1
2 3
【解析】原方程整理得： x 1 13 ，即 x 1 13 或者 x 1 13 ，所以原方程的解为 x 8 或 x 18
5
5 5 5 5
【答案】 x 8 或 x 18
5
5
例题3. 已知：当 m n 时，代数式
m n 3 和 m n 5 的值互为相反数，求关于
2
2
2
2
2
x 的方程
m 1 x n
的解．
【解析】因为代数式 m2 n2 32 和 m2 n2 5 的值互为相反数，
m2 n2 5 0 ， 所以 m2 n2 32
所以 m2 n2 32 0 ， m2 n2 5 0 ，
2 n2 3 2 1 mm进而 ，解得，所以 m 1, n 2 ，
m2 n2 5
n2 4
因为 m n ，当 m 1时， n 2 ；当 m 1 时， n 2 ；
当 m 1，n 2 时，方程为 1 x 2 ，该方程无解；
当 m 1， n 2 时，方程为 1 x 2 ，解得 x 1 或 x 3 ．
【答案】 x 1 或 x 3
例题4. 解方程 4 x 3 2 x 9
【解析】解法一：
令 4x 3 0 得 x 3 ，将数分成两段进行讨论：
4
①当 x 3 时，原方程可化简为：4x 3 2x 9 ， x 2 在 x 3 的范围内，是方程的解．
4
4
②当 x 3 时，原方程可化简为： 4x 3 2x 9 ， x 3 在 x 3 的范围内，是方程的解．
4
4
综上所述 x 2 和 x 3 是方程的解．
解法二：
依据绝对值的非负性可知 2x 9 0 ，即 x 9 ．原绝对值方程可以转化为① 4x 3 2x 9 ，
2
解得
x 3 ，经检验符合题意． ② 4x 3 (2 x 9) ，解得 x 2 ，经检验符合题意．综合 ①②可
知 x 2
和 x 3 是方程的解．
【答案】 x 2 或 x 3
例题5. 解方程 4 x 3 2 x 9
【答案】 x 3 或 x 2
例题6.
a 为有理数， a 2a 3 ，求 a 的值．
【解析】解法一：
要想求出 a 的值，我们必须先化简 a 2a 3 ．采用零点分段讨论的方法．
令 a 0 ， 2a 3 0 得 a 3 ．
2
①当 a 3 时，由原式可得 a 2a 3 ，求得 a 3 ，在 a 3 的范围内；
2
2
②当 0 a 3 时，由原式可得 a 3 2a ，求得 a 1，在 0 a 3 的范围内；
2
2
③当 a 0 ，由原式可得 a 2a 3 ，求得 a 3 ，不在 a 0 的范围内．
综上可得 a 的值为 3 或 1．
解法二：
依题意， a 的绝对值和 2a 3 的绝对值相等，可以得出两者相等或互为相反数，即a 2a 3
或
a (2a 3) 解得 a 3 或 a 1．
【答案】 a 3 或 a 1
例题7. 解方程 2 x 1 3x 1
【解析】根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以由原方程可以得
到
2x 1 3x 1 或 2x 1 3x 1 ，解得 x 2，x 0 ．
【答案】 x 2 或 x 0
例题8. 解方程 x 1 x 3 4
【解析】令 x 1 0 ， x 3 0 得 x 1 ， x 3 ，它们可以将数轴分成 3 段：
①当 x 1 时，原方程可化简为： ( x 1) ( x 3) 4 ， x 0 在 x 1 的范围内是原方程的解；
②当 1 x 3 时，原方程可化简为： x 1 ( x 3) 4 ，此方程无解；
③当 x 3 时，原方程可化简为： x 1 x 3 4 ， x 4 在 x 3 的范围内是原方程的解；
综上所述，原方程的解为： x 0 或 x 4 ．
【答案】 x 0 或 x 4
例题9. 解方程 x 1 x 5 4
【解析】由绝对值的几何意义可知 1 x 5 ．
【答案】 1 x 5
例题10. 解方程： 2 x 1 2 x 3
【解析】零点为： x 1 ， x 2 ，它们可将数轴分成三段：
2
①当 x 1 时，原方程变形为：(2 x 1) (2 x) 3 ，x 6 在 x 1 的范围内，是方程的解；
2
2
②当 1 x 2 时，原方程变形为： (2 x 1) (2 x) 3 ， x 4 在 1 x 2 的范围内，是方程
2
3 2
的解；
③当 x 2 时，原方程变形为：(2 x 1) ( x 2) 3 ，x 0 不在 x 2 的范围内，不是方程的解． 综上所述原方程的解为： x 6 或 x 4 ．
3
【答案】 x 6 或 x 4
3
2
9解方程：方程例题11. x 3 3 x x 5
【解析】对 x 的值分 4 段讨论：
①若 x 3 ，则原方程化为 x 3 3 x 9 x 5 ，解得 x 2 ，与 x 3 矛盾；
2
②若 3 x 0 ，则原方程化为 x 3 3 x 9 x 5 ，解得 x 2 ；
2
9
③若 0 x 3 ，则原方程化为 x 3 3 x 9 x 5 ，解得 x 2 ；
2
9
④若 x 3 ，则原方程化为 x 3 x 3 9 x 5 ，解得 x 2 ，与 x 3 矛盾．
2
综上所述方程的解为 x 2 ．
9
【答案】 2
9
3x5
例题12. 解绝对值方程： x 1 6
2
【解析】 x 3x 5 1 6 或 6 ，即 3x 5 x 7 或 3x 5 x 5
2
2 2
①当 x 7 ≥ 0 时（即 x ≥ 7 ）， 3x 5 0 ， 3x 5 x 7 化为 3x 5 x 7 ，解得 x 9 ；
2
2 2
②当 x 5≥ 0 时（ x ≥ 5 ），若还有 3x 5 0 （即 x ≥ 5 ）， 3x 5 x 5 ，解得 x 15 ；
2
3 2
③当 x 5≥ 0 时（ x ≥ 5 ），若还有 3x 5 0 （即 x< 5 ）， 3x 5 x 5 ，解得 x 1 ．
2
3 2
再来检验这三个解 x 9 （舍去）、 x 15 、 x 1 ．
【答案】 x 15 或 x 1
例题13. 解方程： 3x 5 4 8
1．【解析】3x 5 4 8 或 8（舍），即，所以或，即或，故或 3x 5 4 3x 5 4 4 3x 9 3x 1 x 3 x
3
【答案】 x 3 或 x 1
3
例题14. 求方程 x 3x 1 4 的解．
【解析】解法一：
1 ；1 ，1 ，这个零点将数轴分成段，我们分段讨论，，3x 1 0x x 3x 1 0 x 3 4 3 2 4
研究
可以得到结果为： x 3 或 x 5 ，但其实这么做是没必要的．我们来看看解法二．
2
4
解法二：
①当 x 1 时，方程可化为： 4x 1 4 ， x 5 ，在 x ≤ 1 范围内，是方程的解；
3
4 3
②当 x 1 时，方程可化为 2 x 1 4 ：当 2x 1 4 时，得 x 5 ， 5 1 ， x 5 不是
3
2 2 3 2
解，
舍去；当 2x 1 4 时，得 x 3 ，∵ 3 1 ，∴ x 3 是方程的一个解．
2
2 3 2
综上可得，原方程的解为 x 3 或 x 5 ．
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4
【答案】 x 3 或 x 5
2
4
例题15. 当 0 ≤ x ≤1 时，求方程 x 1 1 1 0 的解
【解析】根据 x 所在的范围，可得 x ≥ 0 ， x 1≤ 0 ，因此 x x，x 1 1 x ，按从内到外的顺序逐
个去除方
程中的绝对值符号，原方程可顺次化为： 1 x 1 1 0 ，即 1 x 0 ，所以 x 1 ．
【答案】1
