第一讲 轴对称
知识要点
1.等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶
角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2.等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.等边三角形
定理：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
4.等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
5.等边三角形的判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
经典例题
例1. 若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是（ ） A. 65°，65° B. 50°，80°
C. 50°，50° D. 65°，65°或50°，80°
变式1. 若等腰三角形中的其中一角为120°，则它的三个角的度数分别是 。 变式2. 已知一个等腰三角形的一个外角是135°，则它的底角为 。
例2等腰三角形的一个角是70°，则一腰上的高与另一腰的顶角为（ ） A. 20° B. 20°或50° C. 50° D. 70°
变式1. 若等腰三角形的底边长15，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是 8，则腰长是（ ）
A. 7 B. 23
C. 7或者23 D. 以上都不对
例3．等腰三角形有两边长是3cm和4cm，则这个等腰三角形的周长为 。 变式1. 等腰三角形有两边长是4cm和9cm，则这个三角形的周长是（ ） A. 17cm B. 22cm C. 18cm D. 17cm或22cm
变式2. 已知三角形的三边长分别为7，x，13，若x为整数，那么这样的等腰三角 形的周长为 。
A．6
例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点． 求证：△MDE是等腰三角形．
变式1．如图，AB⊥AC,CD⊥BD,AB=DC,AC、BD相较于点O,求证：△BOC是等腰三角形.
B．5
C．3
D．2
AOD CB
变式2.如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接 CE,DE,求证：△CDE为等腰三角形. AE
CDB
例5. 如图AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E． ①求∠DBC的度数． ②猜想△BDC的形状并证明．
变式1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,E为DC中点，AE⊥BE,且AD+BC=2AE，求∠ABC的大小.
ADEBC
变式2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．
例6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为 E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
例7．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
变式1.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,GF∥CB,交AB于点F,求证：AE＝BF.
FEGCA
BD例8.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点. （1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．
变式1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE=AF．
同步练习
一．选择题
1．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ） A．16cm
B．17cm
C．20cm
D．16cm或20cm
2．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50°
B．51°
C．51.5°
D．52.5°
3．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A．
B．
C．
D．3
4．如图所示，底边BC为2的周长为（ ）
，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE
A．2+2
B．2+
C．4
D．3
5．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a
B．8+a
C．6+a
D．6+2a
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点，则∠DGE的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
8．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④AN=BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
9．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=（ ）
A．18°
B．20°
C．25°
D．15°
10．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（ ）
A．
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为 ．
B．
C．
D．
12．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB=8，则DE= ．
16．如图，AB=AC=8cm，DB=DC，若∠ABC=60°，则BE= cm．
17．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
18．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E，则PD+PE= ．
三．解答题
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
20．等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC=45°．求证：△AEF≌△BCF．
22．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．
23..已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD=BE； （2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
