圆柱坐标系下三维非稳态导热微分方程

ctx(tx)y(ty)z(tz) (a式)

如何得到圆柱坐标下的方程？有2种方法，一是按照类似笛卡尔坐标的方法，通过能量守恒及傅里叶定律得到（我还没推出来）；二是由笛卡尔坐标变换得到，ppt中为第二种方法。

以下给出变换过程：转换的目的是用rz消去xyz。

涉及多元复合函数求导，可参见同济版《微积分》(下)第80页例题9。

rzrz    （b式）    （c式） xxrxxzyyryyz

怎么理解这个公式？

x表示某个式子对变量x求偏导，例如

t(x,y,z)x表示函数

t(x,y,z)对变量x求偏导，不要被这种写法吓到。直角坐标时，xyz是基本未知量；圆柱

坐标时，rz是基本未知量。它们是一一对应的，彼此可以互相表示对方。（b式）就是用rz表示x（当然，z跟x是不存在函数关系的，即

zx0，ppt上这么写只是为了形

式上的对应。）

这个公式是怎么来的？涉及多元复合函数求导法则，见同济版《微积分》(下)第77页“情形2”，用一个简图来理解：假设有一个温度场函数t(x,y,z)，温度t是xyz的函数，把 rz看成中间变量，r

rtxyxy22，arctanyx

xyzz

txtrrxtxtzzxtrrxtx0

类似地，就有

tztztytrrytytzzytrryty0

（圆柱坐标下z跟直接坐标完全没有变化）

理解了b式子以后，我们发现这个式子中仍然含有x y，要进一步运算消掉x y：

xrcos，yrsin，rxy22，arctanyx

求导得（如果忘了怎么求看《微积分》(上)）

rx(xy)x22xxy22rcosrcos

x(arctanxyx)yxy22rsinr2sinr

上面两项代入b式，得 xrrxxzzxcosrsinr （d）

类似地，

ry(xy)y22yxy22rsinrsin

y(arctanyyx)2xxy2rcosr2cosr

上面两项代入c式，得 yrryyzzysinrcosr （e）

（d）（e）式实现了用r取代x y的目的。

① 将(d)式代入(a式)中的

x(tx)项，得：

tsintsint()(cos)(cos)xxrrrrcos2r(cos(trtr)cosr(sintr)sinrr((cost)tr2)sinrtr)(sintrcos)(trcosr)cos)sinr222(tr)cos)sinrsinr(sinr)sincosr2(tsinr(t第2个等号是乘进去得到的。第3个等号用到了“乘积的求导”，看清楚对谁求导谁是变量。 ② 将(e)式代入(a式)中的

y(ty)(sin(sin(trrtrcosrr)(sin(tr)costrr(cos)(sinttr)2y(ty)项，得：

sin2r)sincostrtcosr(tr)(costr)(trsinrr)sint)cosrr2()sin(t)cosrr)cosrcosrsin)cossinr(coscosr

于是，（a）式中的 x(tx)y(ty)r(tr)1rtr12r(t)（把①、②中的结果代进来，

对应项消去或相加，即可得到该结果） 进一步处理，逆运用“乘积的求导”，可得： x(tx)y(ty)1rr(rtr)12r(t)

于是有：

由直接坐标转换为圆柱坐标没多大意思，运算而已，我认为理解好直接坐标下的推导就可以了。