圆锥的体积

两种思路 不同观念———《圆锥体积》教学案例透析

笔者有幸在同一天听了两节《圆锥的体积》课堂教学。课后同做课教师进行了深入的访谈、沟通，

与三十余位小学数学教师就两节课进行了为期半天的教学评析活动。事后，仍念念不忘，思之想之，颇多感悟，颇有收获。做此教学案例分析，以飨同仁。 目标定位：

A教学

1. 使学生理解、掌握圆锥体积计算公式，能运用公式计算圆锥的体积，解决有关的实际问题。 2. 培养学生观察、操作、推理的能力。

B教学

1. 合理、有效、有序地开展小组合作学习，在“实验操作—合作交流—自主探究”的过程中感悟、推

理出圆锥体积计算公式，渗透“转化”的数学思想。

2. 会运用公式计算圆锥的体积，能解决现实生活中类似或相关的问题。

3. 在活动中使学生的观察、比较、分析、归纳、推理等能力得到发展，合作意识、协作精神得以增强，

空间观念得到强化。

［感悟与反思］教学目标的准确定位是检验课堂教学是否有实?А⒀??欠竦玫椒⒄沟氖滓?跫?Ｊ侵亟峁?故

侵毓?蹋皇刈⒅皇窃诘鹊椎雀叩那榭鱿轮苯痈?柩??沧短寤?扑愎?剑?故谴?煅??谑笛榈墓?讨芯??“圆锥体积计算公式”的发生、转化、形成的历程；是只关注“知识与技能”的传授与掌握，还是关注“知识与技能、过程与方法、情感态度”的三维目标有机融合。透过上述两个教学片段教学目标的对比分析，是否可以给予我们一些启示呢？《数学课程标准》明确指出：过程本身就是一个课程目标，即首先必须要让学生在数学学习活动中去“经历„„过程”。“三维”目标是一个有机的整体，不可分割。课堂教学目标是教学活动的出发点和归宿，是师生共同追求的目标，对教学具有导向、激励、和评价的功能。只有制定明确、具体、可行、可测且极具发展性的“三维”教学目标，我们才能在教学活动中按教学目标优化教学活动，使课堂教学有实效，学生有发展。 教学流程对比分析

（一）、复习引入、铺垫孕伏

A教学 提问

1. 我们已经学过哪些立体图形体积的计算方法？ 2. 我们是用怎样的方法推导圆柱体积计算公式的？ 3. 用字母公式表示圆柱的体积。 4. 说一说圆锥体的各部分名称及其特征 板书课题：圆锥的体积

B教学 创设情境，引发兴趣及思考

1. 我们认识了圆锥，谁来向大家介绍一下圆锥的各部分及其特征。什么是圆锥的高？生活中你见过哪

些物体的形状是圆锥形的？

2. 如果要把一根底面直径8厘米、高20厘米的圆柱形木料，加工成底面直径是12厘米、高10厘米

的圆锥，大家想一想，该怎么办？（多媒体课件演示圆柱形木料旋转切削转化为圆锥的过程，并将圆柱与圆锥重叠，突出“等底等高”）

师提问：①制成的圆锥的底面积与截取圆柱的底面积有什么关系？制成的圆锥的高与截取圆柱的高有什么关系？②大家可以试着猜想、估计一下，制成的圆锥的体积与截取圆柱的体积有什么关系？

1

同学们的猜想、估计对不对呢？我们一起来研究“圆锥的体积”。（板书课题）

［感悟与反思］创设情境、激趣引课起着影响全局、辐射全课的作用。要求教师一堂课的开头就像一块无

形的“磁铁”，虽然只有短短的几分钟，但能吸引学生的注意力，调动学生的情绪，打动学生的心灵，形成良好的课堂气氛。上面两个教学片段在此环节上的不同处理：A教学—师与生在 “打乒乓球式”的一问一答过程中„„；B教学中—教师从把圆柱形木料加工成圆锥的实际问题出发引入新课，别具匠心。目的有三：一是引课内容（多媒体课件演示圆柱旋转切削转化为圆锥的过程）贴近学生的生活经验，是学生看得见、摸得着的，易于激发学生的兴趣。二是把新知（圆锥）与旧知（圆柱）联系起来，引发学生主动地进入探究阶段的内容，为探索活动定向；三是凸现“等底等高”现象，为圆锥体积学习做好孕伏。孰优孰劣，是否能够引发我们深入的思考！ （二）、实验操作、合作交流、自主探究 新知、验证（解释）新知

A教学

1. 圆锥的体积

（1）通过实验，使学生认识圆锥的体积和与它等底等高的圆柱体积的关系。

①每组都准备好等底等高的圆柱形和圆锥形容器，沙子。②将圆锥形容器盛满沙子，再将沙子倒入和它等底等高的圆柱形容器内，数一数一共倒了几次将圆柱?稳萜鞯孤?＂弁ü?笛槿醚??伎迹涸沧兜奶寤?退?鹊椎雀叩脑仓?寤??溆惺裁垂叵担?

（2）根据等底等高圆柱和圆锥体积的关系，引导学生得出圆锥体积计算公式：V=1/3Sh（板书） （3）引导学生思考：圆柱体积计算公式和圆锥体积计算公式有什么相同之处？为什么圆锥的体积计算公式

用它的底面积乘以高后还要乘以1/3？

2.教学例1：一个圆锥形铅锤，底面积是28.26平方厘米，高是5厘米，这个铅锤的体积是多少？ （1）学生读题后找出已知条件，说出计算公式。 （2）列式解答

（３）提问：①求圆锥的体积必须知道哪两个条件？②如果不直接告诉底面积，还可以知道哪些已知条件？怎样进行计算？

B教学

1. 出示圆锥:什么是物体的体积?什么是圆锥的体积?(圆锥所占空间的大小叫做圆锥的体积)

根据以前的知识要求出这个圆锥的体积有什么办法?(把圆锥浸没在装有水的长方体、正方体或圆柱体容器中,看水面上升的高度,计算出上升的那一部分水的体积,就是这个圆锥的体积)(把圆锥看成一个容器,倒入水,再把水倒入量杯中,水的体积就是圆锥的体积)......

师:这些想法都很好,但有一定的局限性,我们要找一种计算圆锥体积的方法。想一想能不能找到圆锥与以前学过的某种立体图形的体积之间的联系来发现圆锥体积的计算方法。

2.讨论：（1）我们以前学过哪几种立体图形？拿哪种立体图形来帮助研究圆锥的体积更合适呢？为什么？（因为圆锥有一个圆形底面和一个侧面是曲面，圆柱也有一个圆形的底面和一个侧面也是曲面，用圆柱帮助研究圆锥更方便）（2）出示4个圆柱、1个圆锥。师：这里有4个圆柱，选哪一个来帮助研究圆锥的体积呢？演示比较：圆柱与圆锥分等底等高，等底不等高，等高不等底，既不等底又不等高四种情况。（侧?赜谝?佳??〉鹊椎雀叩脑仓?朐沧兜难芯恳员阌诜⑾止媛桑??3）分组提供小组合作实验操作的材料（每组4个圆柱，1个圆锥，水、沙子、大米及实验操作记录表）想一想，利用这些材料，你能设计一个实验来研究圆锥的体积吗？

第——小组 实验操作记录表 实验记录人： 实验项目及内容 等底等高 等底不等高 圆锥盛满（水或„„）向圆柱倒三次后的情况 实验结论 2

等高不等底 既不等底也不等高 3.动手实验：四人一组进行操作，注意观察实验过程（教师讲清实验操作要求、步骤），小组成员详细记录实验情况，全组成员共同讨论、分析，得出本组实验结论。

4.汇报交流：发现了什么？（让学生在展示台上讲述本组的结论）全体师生共同倾听、质疑。教师适时引导点拨：大家比较一下各组的实验记录，有什么相同点吗？（圆柱体积是和它等底等高圆锥体积的3倍，圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的1/3）

5.质疑回顾：那么等底不等高，等高不等底，既不等底也不等高的圆柱和圆锥的体积还是不是3倍呢？ 根据学生回答教师板书：V锥=1/3V柱

反馈练习：根据已知圆柱（圆锥）的体积，求出与它等底等高的圆锥（圆柱）的体积。（课件展示） 师：根据已知圆柱的体积，乘以1/3就可以求出与它等底等高的圆锥的体积，如果圆柱的体积不是直接已知的，你能求出圆锥的体积吗？（V锥=1/3Sh）也就是可以利用圆柱体积公式“V柱=Sh”得出圆锥体积公式“V锥=1/3Sh”。

6.出示例1：一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米，这个零件的体积是多少？ 师：要求圆锥体积可以用V=1/3Sh，你会求吗？（学生尝试，师巡视指导） 汇报：1/3×19×12=76（立厘米） 答：这个零件的体积是76立厘米。

“9×12”求出的是什么？为什么要“×1/3。”

［感悟与反思］实验操作、合作交流、自主探究新知、验证（解释）新知主要是让学生经历、体验、感悟

知识的形成过程。上面的两个教学片段都在尝试着运用实验法来揭示圆锥体积计算的形成过程。A教学—直指“等底等高”这一种情况，学生通过操作（全班同学整齐划一）得出结论，利用圆锥体积计算公式完成例题，反馈练习，巩固强化新知。B教学—教师先是提出“怎样求圆锥的体积？”这一开放性的问题，让学生联系已有的知识经验提出多种解决方法。接着教师并没有把教学活动简单地推向具体的实验操作层面，而是安排了两个层次的讨论，帮助学生理清探究策略的方向和合理性，设计出实验操作表（分四种情况）。然后放手让学习小组进行实验操作、合作交流、自主探究圆锥体积计算公式的形成过程（实际上是让学生经历了数学家们探索„„的过程），体现了“做数学”的思想。并在这个过程中师与生，生与生通过合作、讨论、交流各抒己见、透彻分析、拓宽思路、集思广益、思维互补，使获得的概念更清晰、结论更准确。《数学课程标准》指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”数学的学习方式不能再是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式。而应该是一个充满生机和活力的过程。学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享同学的想法。在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。在合作交流、与人分享和思考的氛围中倾听、质疑、说服、推广而直至感到豁然开朗，这是数学学习的一个新境界。

（三）实践应用、巩固新知

A教学

1. 巩固性练习

根据下面的已知条件求圆锥的体积（口述算式） ①底面积0.3平方分米，高0.15分米。 ②底面半径5厘米，高15厘米。 ③底面直径8厘米，高10厘米。 ④底面周长6.28厘米，高20厘米。 2. 提高性练习

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（1）判断题

①圆锥的体积等于圆柱体积的1/3。（ ）

②圆柱的体积与它等底等高的圆锥体积的3倍。（ ）

③一个圆锥底面半径扩大2倍，高不变，它的体积也扩大2倍。（ ） （2）选择题

①一个圆柱形铅块可熔铸成（ ）个与它等底等高的圆锥形零件。

A.3 B.2 C.1

②把一个圆柱削成一个最大的圆锥体，应削去圆柱体积的（ ）。

A.1/3 B.1/9 C.2/3

B教学

1. 认真想一想，对吗？

①圆锥的体积是圆柱体积的1/3（ ）

②圆锥的底面积是3平方厘米，体积是6立方厘米（ ） ③等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积比圆柱体积小2/3（ ） 2. 选择合适的数据求圆锥的体积（单位：厘米）（图略）

3. 课件展示：圆锥在生活中应用的实物图（如建筑物、火箭、飞机等），说一说你在生活中所见到的圆

锥形物体，并谈谈自己的感受。

4. 动脑筋解决问题：要使等底等高的圆柱与圆锥体积相等，你有什么办法？（生讲师课件演示） ①把圆锥的高（或底面积）扩大3倍，使圆锥的体积扩大3倍，与圆柱的体积相等。 ②把圆柱的高（或底面积）缩小3倍，使圆柱的体积缩小3倍，与圆锥的体积相等。

［感悟与反思］掌握知识、形成技能、发展能力是教学过程中的一个必不可少的重要环节，也是教师及时

了解学生掌握知识的信息反馈。学生如果能举一反三，解决类似或相关的问题，说明学生已吸收、内化知识并形成能力，这就是实效。在上述两个教学片段中，A教学—关注的是学生知识与技能的巩固训练；B教学—注重学生对所学新知的实践应用，练习的设计从学生的实际出发由浅入深，联系生活，要求逐步提高，除了基础性、针对性的练习外，还设计了应用性、拓展性的“问题解决”练习，层次清晰、结构合理，面向全体，让每个学生都有动脑、动口、动笔的机会，不同层次的学生均有所获，充分调动了学生的学习情感，形成了良好的学习态度。特别是在课结尾时，教师运用多媒体动态演示底面积和高变化的情况，变想象为直观，难点得到突破，学生兴趣盎然，留下精彩回味。贯彻了《数学课程标准》中指出的“小学数学学科的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展，最终目的是为学生的终身可持续发展奠定良好的基础，实现——人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人?谑??系玫讲煌?姆⒄?”的大众数学理念。 几点启示：

1. 观念的更新，理念的创新，《数学课程标准》的认真学习和潜心研究教材仍然是教师的首要任务。摒弃

由教师讲、学生听的传统教学模式，建立以学生为主体，教师为主导，以生活实际为中心，以“创设情境，引发兴趣与思考——实验操作，合作交流，自主探究新知——形成新知，验证（解释）新知——实践应用，巩固新知”师生互动“做数学”的新教学模式。

2. 教学设计时应努力做到：（1）要根据教材内容和学生实际水平制定明确、具体、可行、可测且具发展

性的教学目标。要整体把握教材，教学思路要有整体性，如何将较零散的知识点串成一条主线，贯穿始终是教学设计的主题。合理运用教材和创造性地使用教材是设计一节好课的前提。（2）所设计的问题一定要落在学生的“最近发展区”，必须基于学生已有的经验，又能解决，又能上手，但解决似乎又有困难，这样的问题是最有探究价值的，这样的学习才是最有意义的，最有效的，才能最大限度地调动学生的积极性。（3）数学活动必须定位在“做中学”，能够让学生在实践活动中、实验操作中和动手制作中学数学（可根据教学内容和学生学习的要求适当提供学习材料，为探究知识铺路搭桥），从而建立数学概念、定义、法则、规律等等。（4）知识的应用要讲求实效性、发展性。内容可涉及基

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础性练习、针对性练习、应用性练习和拓展性练习。把学习的主动权交给学生（可采取让学生自己编题做或同桌、小组成员互出互答等形式），加强实践应用的练习，以培养学生的应用意识和解决问题的能力。

3. 教学实施中要注意“教与学”方式的灵活运用，合理转换。强化学生在教学活动中的主体地位：从发现

问题到确定研究方法，从选择实验材料到推出结论都由学生参与得到。充分发挥教师的主导作用：从创设情境、穿针引线到启发引导、精确点拨、查漏补缺，要不失时机地把教学推向高潮。

圆锥的体积教学片段（４）

圆锥的体积教学片段（４）

http://www.jy360.cn/Article/ArticleShow.asp?ArticleID=10759

师：（出示一个空心圆柱、一个空心圆锥）这是一个空心圆柱、这是一个空心圆锥，它们之间有什么关系呢？我们先来比较它们的底面。（将圆柱与圆锥的底面合在一起，完全重合） 生：它们的底面是相等的。

师：我们再来比较它们的高。（用一把直尺架在两者之间，然后分别量一量它们的高） 生：它们的高也是相等的。

师：那也就是说，这两个圆柱与圆锥是等底等高的。

师：下面我们采用实验的方法来推导圆锥体的体积公式，（老师边说边演示）先在圆锥内装满水，然后把水倒入圆柱内，看看几次可将圆柱倒满。现在我们分小组做实验。大家边做边讨论实验要求。

（出示要求：（1）实验仪器中，圆锥的底面和圆柱的底面有什么关系？它们的高有什么关系？（2）圆锥的体积和同它等底等高的圆柱的体积有什么关系？（3）圆锥的体积怎么算？体积公式是怎样的？学生做实验，教师巡回指导）

师：我们先来回答第一个问题。

生：在我们用的仪器中，圆锥的底面和圆柱的底面是相等的，它们的高也是相等的。 师：我们再来讨论第二个问题。 生1：圆柱的体积是圆锥体积的三倍。

生2：圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。 师板书：圆锥的体积等于它等底等高的圆柱体积的三分之一。 师：得出这个结论的同学请举手。 （全班同学都举起了手。） 师：你们是怎么得出这个结论的呢？

生：我们先在圆锥内装满水，然后倒入圆柱内。这样倒了三次，正好将圆柱 装满。所以，圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。 师：说得很好。那么圆锥的体积怎么算呢？

生：可以先用底面积乘以高，算出与它等底等高的圆柱的体积，再除以3 是圆锥的体积。 （教师引导学生概括出圆锥的体积公式，V圆锥＝1/3V圆柱＝1/3sh。）

【分析】在上述教学片段中，看似每个学生都主动参与了操作活动，经历了从不知道到知道的过程，新知识似乎是通过学生小组自主探索得到的，但实际上学生操作过程的每一步，都是根据教师的实验要求按部就班地完成，整个探究过程中学生只充当了被动的操作工，思维的参与少之又少，这种在教师过多、过细的“引导”（指令）

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下进行操作，不足以保证学生的思维能投入到任何一个基本的探究的过程中，仅仅让学生开展一次验证性或没有思考价值的实验活动，这种离开了学生自己思维的动手操作，只能将一个智力活动变成纯粹的动手活动，失去了自主探究所能体现出来的价值。

【对策】 新课程提出的过程性目标，就是让学生“经历、体验、探索”学习数学的过程，使每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式去探索、去发现、去创造。这就要求教师在教学时要给学生创设了一系列极富探究性的问题情境，给学生一个广阔的思考空间，让学生的思维得以自由驰骋。因此，上述案例可创设如下情境进行教学：(1)把圆柱形的一段铅笔削成了圆锥，学生通过观察，自觉感悟到圆柱与圆锥的关系；(2)出示一个圆锥，先扩大其底、再延升它的高，又让学生联想到圆锥体积的大小与它的底面积和高有一定的关系；(3)用一个圆柱形萝卜削成一个最大圆锥体，让学生体验到“等底等高”的重要前提，并且使学生在感知的基础上引发猜想，激发起学生强烈的探究欲望——究竟等底等高的圆锥和圆柱有什么关系呢？(4)最后让学生自主选择各种圆锥、圆柱进行分组实验来验证自己的猜想，有的小组能得到圆柱与圆锥是3倍关系；有的小组得到一样大；有的小组得到是2倍、4倍、5倍的关系„„，在这种情况下，再让学生观察实验所使用的工具，在分析比较、互动交流中推导得出圆锥的体积计算公式。学生在通过这一系列的思维探究过程中，亲身经历和体验了知识形成的全过程，通过这样的自主探究，学生不仅可以自主建构知识，积累探究经验，体验探究乐趣，而且还能使学生的潜力得到充分的挖掘，使学生产生强烈的探究欲望和丰富多彩的探究方法。

有效教学离不开错误这一资源

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我在教学圆锥的体积课时 , 设计了这样的教 学环节。先由我来示范操作 : 用的是一对儿等底等高的圆柱和圆锥 , 将空圆锥盛溺水倒入空圆柱 , 正好三次注满 .然后问学生 :\" 这样的实验说明了怎样的一个规律 ?\"

生 : 这个圆锥的体积是圆柱的 l/3 。 ( 板书 : 圆锥的体积是圆柱的 l/3)

师 : 刚才看到大家都这么有兴趣 , 老师让你们也亲自来操作一下 , 并验证我们发现的规律 , 好吗 ? 老师这里有些材料 , 分四人一组 , 先商量好 , 再由组长的带领下操作 , 看看我们的发现对不对。 ( 说明 : 给出的材料有一部分是等底等高 , 另部分不是等底等高的。但等底等高的圆柱和圆锥不是千篇一律的 , 而是规格各不相同 ) 学生实验后汇报 : 生 1: 我们组发现接近 4 倍。

生 2: 我们往空圆柱里滚水 , 才灌两次 , 就差不多满了 , 圆柱的体积应该是圆锥的 2 倍多一点。 生 l: 我们发现圆柱的体积是圆锥的 l 倍 . 生 4: 哈 ! 圆柱的体积是圆锥的 8 倍 ! 生 5: 我们发现圆锥的体积是圆柱的 1/1……

师 : 哦 , 好像大家的发现和老师有些出入 ! 这是怎么回事呢 ? 我们刚才的发现正确吗 ? 生 6: 正确的 , 我们组就是发现了它们之间确有3 倍的关系。 生 7: 有的圆柱和困圆锥之间是 3 倍的关系 , 有的不是……

师 : 同学们 , 刚才你们讲的都是事实 , 非常好 !但老师和很多同学心里肯定有疑问了哦 !

( 将各小组 ; 不同规格的材料鞍齐的摆在讲台上 ) 问 :( 指着其中的些 ) 为什么这些圆柱、圆锥体积之间存在 3 倍的关系 , 而那些不存在呢 ?

师 : 你能找到每组圆柱、圆锥有什么共同的特点吗 ?

师生归纳总结 : 在等底等高的情况下 , 圆柱的体积是圆锥的 3 倍 ( 或圆锥的体积是圆 柱的 1/3) 。

本课的教学是先由教师演示等底等高情况下的三分之一 , 再让学生验证含有不等底等高的情况 , 最后师生通过对比说明不等底等高的差异 , 得出圆锥体积应该是等底等高圆柱体积的 1/3 这一规律。以上教学 , 将师生实验的环节复合交叉 , 看似混乱无序 , 但增加了学生对实验条件的辨别及信息的批判。学生学的主动 , 经历了番观察、发现、合作、创新的过程 , 既地推导出了圆锥的体积公式 , 又促进了学生实践能力和批判意识的发展 .而这些目标的达成正是借助 \" 错误 \" 资源来完成的。

课后 , 有位学生跑到我跟前喊着小嘴说 :\" 老师 ! 你偏心 , 不给我们等底等高的圆 柱、圆锥 , 我们当然得不到它们体积之间 3 倍的关系了。 \" 我笑了笑 , 对她说 :\" 没有你的 \" 错误 \" 验证 , 哪能反映出其他组的正确呢 ? 这个规律的完善 , 你的功劳是最大的 呢 !! 古语云 : 失败乃成功之母 ! 有了这样经历的你 , 我想以后对这个规律理解、运用定 会是最好的……

应该说 , 数学领域中思考问题往往会经历若干碰壁 , 才能最终找到解怯。而这样的碰壁与探索的过程在教科书上一般是看不到的。把思考 , 解决问题的实际过程 ( 不管是成功的 , 还是失败的 ) 展现给学生看 , 本身就让学生学会这道题的解法 , 又学会了这个解法是如何找到的。真正关注学生学习的过程 , 就要有效利用错误这一资源 , 做教师的也要勇于乐于向学生提供充分研究的机会 , 帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法 , 获得广泛的数学活动经验 , 这样 , 我们的课堂是学生成长和成功的场所。 点评：

很是发人深思的一篇反思。的确，如何“向学生提供充分的研究机会，帮助他们真正理解掌握数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验”真是我们基础教育课程面临的最大困惑。吴老师用他的反思向我们证明：只要教师做教学的有心，用心之人，必定会给孩子们带来教学上的春天。

圆锥的体积教学片段３：

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圆锥的体积教学片段３：

课始引导学生回忆圆柱体积计算公式的推导过程，情境引入，揭示课题：圆锥的体积。

师：你认为圆锥的体积与哪个图形的体积联系最密切？

生：我认为圆锥的体积与圆柱的体积联系最密切。

师：那么就请同学们小组合作，利用你们桌上的这些工具动手试试，看看能不能发现圆锥体积与圆柱体积之间有怎样的关系。

各小组实验，教师巡回指导。组织交流。（交流时，教师有意安排拿到等底等高的圆柱和圆锥的小组代表先交流。）

生1：我们组在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱里，发现倒了三次就正好装满了，说明圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。

生2：我们组的装法和他们不同，我们先在空圆柱里装满沙，然后倒入空圆锥里，发现可以倒三次，说明这个圆柱的体积应该是这个圆锥体积的三倍。

生3：我觉得这两种倒法得到的结果其实是一样的，因为圆柱的体积是圆锥体积的三倍，倒过来理解圆锥体积就是圆柱体积的三分之一。

生4：我们组也是在空圆锥里装满沙，再倒入空圆柱里的，但是我们发现倒了两杯多就把空圆柱装满了，三杯根本装不下。

生5：我们组正好跟他们相反，倒了三次，还没把空圆柱装满，又装了大半杯才装满。

师：怎么会这样呢？

师：我们来看看实验的工具，问题会不会出在这里？

引导各小组观察各自使用的实验用具圆柱和圆锥，有的小组拿到的圆柱和圆锥是等底等高的，有的拿到的是等底

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不等高的，有的是等高不等底的，还有的既不等底也不等高。

师：拿到不是等底等高的圆柱和圆锥的小组之间互相交换，看能否配到合适的，然后再做一次实验，看看结果如何？

学生交换实验工具，再次操作。

师：通过刚才的实验，你们有什么发现？

生6：我们发现只有当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积才是圆柱体积的三分之一。

师：也就是说，圆锥体积是怎样的圆柱体积的三分之一？

生：圆锥体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。

圆锥的体积教学片断（２）

圆锥的体积教学片断（２）

师：昨天我们学习了圆柱的体积，请同学们回忆一下，圆柱的体积计算公式是怎样推导出来的?（指名说说）今天我们要一起来学习圆锥的体积（板书课题）。

师：老师先来做个实验，请同学们认真观察。这里有一个圆柱和一个圆锥，看看它们有什么关系？（教师比较圆柱和圆锥的底面积和高）

生：圆柱的底面积和圆锥的底面积相等，圆柱的高和圆锥的高相等。 师；我们就说，这个圆柱和这个圆锥等底等高。

师：现在，老师先在这个空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱，仔细看，几次才能装满？ 教师演示，学生观察。

师：从刚才实验可以看出圆锥的体积与和它等底等高的圆柱体积之间有怎样的关系？ 生：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。

圆锥体积公式的推导片断

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师：哪位同学还记得长方体，正方体体积计算的统一公式？ 生：底面积乘以高。 （师板书：V长、正＝sh） 师：圆柱体积的计算公式呢？ 生：也是用底面积乘以高。 （师板书：V柱＝sh）

师：（手指板书）那请大家猜想一下圆锥的体积将会与什么有关？（板书：V锥＝？） 生1：既然前面的立体图形的体积都与自身的底面积和高有关，我猜想圆锥也不例外吧！ 生2：我觉得圆锥和圆柱长得有点像，所以我猜想圆锥体积的求法应该和圆柱的差不多。 生3：与它自身的底面积和高的乘积有关，但肯定不会就等于两者的积，因为那样求的就是圆柱体积了。

师：同学们的猜想中还存在一点困惑，同时也不知是对还是错。我们可否用实验去求证一下，找出说明求圆锥体积方法的理由？

（小组合作，互相讨论，根据手边的材料做实验。实验结束，讨论总结，派代表发言。） ……

生1：我们是这样证明的。因为圆锥和圆柱相似，所以我们选用圆柱做实验器材。（上台一边演示一边解说）我们把圆柱里灌满了沙倒入圆锥，圆柱里的沙共可装满三次圆锥，所以我们觉得圆柱体积是圆锥的3倍，V锥＝V柱÷3＝sh÷3。

生2：我们采用的是（演示）在圆锥里装满水后往圆柱里倒，也是倒3次才能把圆柱装满水。所以我们觉得V锥等于三分之一的V柱。

师：圆锥的体积真的等于圆柱体积的吗？（手拿一小圆柱和一大圆锥问） 生3：我觉得应该加上“等底等高”这一个条件。

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