材料力学答案6

6-1 求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。

题 6-1图

解：（a）Mmm2.5KNm Mmax3.75KNm Jxd4104108490.8108m4

A2.5103410220.37MPa （压）

490.8108 max3.75103510238.2MPa

490.8108 （b）Mmm60KNm Mmax67.5KNm

bh3121831085832108m4 Jx121260103610261.73MPa （压） A5832108 max67.51039102104.2MPa 8583210 （c）Mmm1KNm Mmax1KNm

84 Jx25.610m 63 Wx7.810m

yA1.520.530.99cm

11030.9910238.67MPa （压） A25.6108 max1103128.2MPa 825.6106-2 图示为直径D＝6 cm的圆轴，其外伸段为空心，内径d＝4cm，求轴内最大正应力。

解：Wx1D332(14)

41061()4

663 6332 17.0210m Wx2D332631063221.21104m3

0.910352.88MPa 1617.02101.17210355.26MPa 121.21106

max55.26MPa

6-3 T字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。

已知Iz=10170cm4，h1=9.65cm，h2=15.35cm。

解：A截面：

max1401039.6510237.95Mpa （拉） 81017010

min14010315.3510260.37Mpa（压） 81017010 E截面

max2min220103215.351030.19Mpa （拉） 81017010201039.6510218.98Mpa （压） 81017010

6-4 一根直径为d的钢丝绕于直径为D的圆轴上。

（1） 求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）

（2） 若 d＝lmm，材料的屈服极限s=700MPa，弹性模量E=210GPa，求不使钢丝产生

残余变形的轴径D。 解：

1M EJEJEd4 M 32D maxM32Md EWDd3 DEds21010911030.3m30cm 6700106-5 矩形悬臂梁如图示．已知l= 4 m，试确定此梁横截面尺寸。 解：Mmaxb2，q=10kN/m，许用应力[σ]=10Mpa。h3121ql104280KNm 222hh226hh33 W669MM80103h2W

W910106h0.416m41.6cm b27.7cm

6-6 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若[σ]＝160MPa，试求许用载荷P。

解：W237cm3 Mmax

MW160106237106 P

6-7 压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为 45钢，s＝380 MPa，取安全系数

2P 32PKNm 322P （M图） P 33316023756.880KN 2n1.5。试校核压板强度。

13020330123()1568mm2 解：W101212 M1810320103360Nm

M360229.6MPa 9W156810

6-8 由两个槽钢组成的梁受力如图示。已知材料的许用应力[σ]＝150 MPa，试选择槽钢号码。

解：Mmax60KNm

WxMmax601033330.410m400cm 61501033 查表：（22a， Wx217.6cm200cm）

60KNm

20KNm

（ M 图）

6-9 割刀在切割工件时，受到P＝1kN的切销力的作用。割刀尺寸如图所示。试求割刀内最大弯曲应力。

解：Mp81038Nm

3 Mp301030Nm

2.513270.42mm3 W152W150mm3

6maxM8114MPa 9W70.41030200MPa

150109maxMW6-10 图示圆木，直径为D，需要从中切取一矩形截面梁。试问（1）如要使所切矩形截面的抗弯强度最高，h、b分别为何值？（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h、b又分别为何值？

解：Wbh26b(D2b2)6 dWdb0 

D23b260 

2D2b3

h2D2D22233D

从强度讲：b0.57735D

 h0.8165D

b(D2b2)3bh2 J 1212

dJ0 db22321322 (Db)b(Db)2(2b)0

2从刚度讲 b0.50D

6－11 T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的3倍，巳知h= 12cm，t=3cm，试确定其翼板宽度b之值。

压y上max＝3

解：拉maxy下 h0.866D

y上＝3y下 y上＋y下＝h12

12y下＝＝3cm

43S(b3)(3)(93)4.50

2934.5b27cm

31.5

6-12 图示简支梁，由No.18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A处梁底面的纵向正应变3.010，试计算梁的最大弯曲正应力σa=1m。

解：AE200103.010

944max。已知钢的弹性模量E=200GPa,

60MPa

maxMmax3/42 AMA3/8 max2A260120MPa

323qa qa2 48

12qa 4 （M 图）

6-13 试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a点和b点的正应力和剪应力。

解：1－1截面

Q3.63KN

M3.63KNm

bh37.5153J2109.375cm4

1212M3.63103ay3.5102 8J2109.37510 6.03MPa

3.631037.5102b 82109.37510 12.93MPa

QS3.63103(47.5)5.5106a

Jb2109.3751087.5102 0.379MPa

6-14 计算在均布载荷 q＝10 kN／m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在何处。

解：Mmax121ql1010312 883 1.2510Nm Qmax11ql101031 223 510N

mM1.25103 axW5310632 101.86MPa 在跨中点上、下边缘 maxQ451034 A33521044 25.46MPa 在梁端，中性轴上

6-15 试计算6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。

3qa21解： 860MPa qa

4W W185cm3

601061851068329.6KN/m qa q3124 Qmax max33qa29.6122.2KN （Q 图） 44QS22.210322.12MPa Jt15.41026.5103

6-16 矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ]=10Mpa。试选择该梁的截面尺寸，设h:b2:1

19KN 141KNm 8KN 9KN

1KN 8KNm 21KN

（Q 图） （ M 图）

解：RA19KN RB29KN

1h32 Wbh

612

maxM14103 Wh312 h314103120.256m25.6cm 61010 b12.8cm maxQ211031.51.50.961MPa

A12.825.61046-17 试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力[σ]= 160MPa，[τ]＝

80Mpa。

解：WM2010003125cm 6160101m3 取I16， W14c

J:S13.8(cm)

QS151030.181MPa Jt13.86103 故 取No16工字钢

Q(x) 15KN M(x) 20KNm

5KN 10KNm

10KN

（Q 图） （M 图）

6-18 图示起重机安装在两根工字形钢梁上，试求起重机在移动时的最危险位置及所采用工字型钢的号码。已知 l＝10 m，a＝4 m，d=2 m。起重机的重量 W＝50 kN，起重机的吊重P=10 kN，钢梁材料的许用应力［σ］=160 MPa，[τ]= 100Mpa。

解：轻压：10KN ，50KN

R150(10x)10(8x)586x 10 M(x)Rx(586x)x

dM0 5812x0 dx x4.833m

Mmax(5864.833)4.833140.17KNm WMmax140.17103

160106333 0.87610m876cm

取 两个 I28a Wz508.15cm3W438cm3 2

10KN 50KN d 10m

6-19 等腰梯形截面梁，其截面高度为h。用应变仪测得其上边的纵向线应变

142106，下边的纵向线应变214106。试求此截面形心的位置。

My1E1 解：上＝Jb 下＝My2E2 Jb

1y42＝13 2y214 y1y2h

3y2y2h y213h y1h 446-20 简支梁承受均布载荷q，截面为矩形bh，材料弹性模量E，试求梁最底层纤维

的总伸长。

qlqx2x 解：M(x) 22(x)M(x) bh2E6l6qllx2ql3l(x)dx()dx

0Ebh20222Ebh26-21 矩形截面悬臂梁受力如图（a）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分：

（1）试求中性层截面上剪应力沿x轴向的变化规律，参见图（b）； （2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？ 解：（1）x3Q3qx 2A2bhll （2）由产生的合力为T T0xbdx03qx3ql2bdx 2bh4h 由弯曲产生的轴间力为N

ql2yh/2h/2Mh/2max2bdyNbdybdy（自证） 000b3Jh12jql2T 4h

6-22 正方形截面边长为a，设水平对角线为中性轴。试求 （1）证明切去边长为

a的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大； 9 （2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？（提示：计算Iz时可按图中虚线分三块来处理）。 解：原来正方形：

Jz0a4 12a2

y0maxWz023a0.1179a3 12削去x后：

ax3(2x)()4(ax)ax(ax)22Jz22x1212222 WzJzJz2(ax)2(a3x) axymax122dW0 9x210axa20 dxa x

9Wx28212823(a)(a)a0.1397a3 129981max新Wz00.1179＝0.844(倍)

max原Wz0.1397

6-23 悬臂梁AB受均布载荷q及集中力P作用如图示。横截面为正方形aa，中性轴即

正方形的对角线。试计算最大剪应力τmax值及其所在位置。 解：Q(Pql)

a4QS Jz

Jzb12b2(2ay) 22212S(ay)(ay)y(ay) 2232Pql222(ay)(ay) 263a4212 6(Pql)12222(aayy) 4663a2da 0 y8dyQS(Pql)22max4(aa)Jzb28a222(aa)1228

222229(Pql)(aa)(aa)286388a2

6-24 试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出弯曲中心的大致位置。

解：

6-25 确定开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。设环的平均半径R0，壁厚t，设壁厚t与半径R0相比很小。

解：dSR0dtR0sin

220StR0sindtR0(1cos)

Jz2tR0d(R0sin)2tR0

03e2tR0(1cos)R0R0d02tR032R0

6-26 试导出图示不对称工字形截面的弯曲中心位置（当在垂直于对称轴的平面内弯曲时）。假设厚度t与其他尺寸相比很小。

(2b)2h2t 解：e

4Jz1e11b2h2t 4Jzh2th3Jz2(3bt)

412eee1113b2h2t3b2h2t9b2 324Jzthhh18b4122(3bt4)6-27 在均布载荷作用下的等强度悬臂梁，其横截面为矩形，并宽度b=常量，试求截

面高度沿梁轴线的变化规律

1ql2M3ql22 解：l22 Wbh0bh0612qxM(x)23ql2xl22

W(x)bhbhx063qx23ql2x22bhxbh02x2hx22lh0

2hxh0x2h0x

ll26-28 图示变截面梁，自由端受铅垂载荷P作用，梁的尺寸l、b、h均为已知。试计算梁

内的最大弯曲正应力。 解：M(x)Px

llh(x)h(x)/

22llh(x)/22 W(x)b6M(x)(x)W(x)6l2Px

2l24bh(x)22d(x)110 xl MPl dx22lllh()/222Wb622bh2 3max1Pl3Pl22 2bh4bh236-29 当载荷P直接作用在跨长为l＝6m的简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超过容许值30％。为了消除此过载现象，配置如图所示的辅助梁CD，试求此梁的最小跨长a。

解：

PlP0.70x 42x0.35l

al2xl0.7l0.3l1.8m

6-30 图示外伸梁由25a号工字钢制成，跨长l=6 rn，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。当支座截面A、B处及跨度截面C的最大正应力σ均为140MPa时，试问外伸部分的长度及载荷集度q等于多少？

3qa2 解：RAqlqa

82lMAMC12qa 23qlqa2llaqll(qa)qa()()

82l22224ql2qa2  1MAMCl12a

a查表：

l120.2887l1.7322m

1qa2140106401.883106 22140401.883 q37.503KN/m 21.7322

MC

MA MB

(M图)

6-31 图示悬臂梁跨长L=40cm，集中力P＝250N，作用在弯曲中心上，梁的截面为等肢角形，尺寸如图，试绘剪应力流分布图，并计算了max和max之值。

40438439571.999mm4 解：Jz1212MmaxPl2500.4100Nm Qmax250N

100max240103271.46MPa 12395721025040222010923.57MPa 1239572102103max

QSJt

6-32 圆锥形变截面悬臂梁其两端直径之比db:da＝3:1，在自由端承受集中力P作用，试求梁内的最大弯曲正应力，并将此应力与支承处的最大应力比较。

解：M(x)Px

lda(x)2 W(x) l32l (x)3M(x) W(x)

dl0 xm dx4P

max27da3832l4Pl

27da3

bPl32Pl

(3da)327da332

max2 

b6-33 工字形截面的简支钢梁，跨度l＝4m，跨度受集中载荷P作用。如材料屈

服点s=240MPa，安全系数n=1.6，试按极限载荷法计算此梁的许可载荷。

解：20050(y150)2510050(300y1)5025 y150mm

S120050252510m

S21005022525200100162.510553m3

655 Mmax24010(2510162.510)450KNm

Pjx4Mmax4450450KN l4Pjx1.6281.25KN

P

6-34 矩形截面简支梁，在跨度承受集中力P。论确定塑性区域的长度和塑性区城边界方程式afx。

解：Wz12bh 612 Wjxbh

4故

MjxMs1.5

Mjx1Pl 4 MsP1(le) 221Pl4 1.5 P1(le)221故 el

6PlPx Ma42

sMjxWsPl 2bh

MaydA2bAa20h2s2ydy2bsa2yd ya2

ba2bh2ba2s()

4将s及Ma代入上方程：

122h2xa 3l ah

6x l