最新四川省成都市外国语学校2019届九年级上学期半期考试数学试题-

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四川省成都市外国语学校2019届九年级上学期半期考试数学

试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题

1．如图所示的几何体的主视图正确的是（ ）

A. B. C. D.

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）

3 4b5ab3．已知，则的值是（ ）

a13ab23A. B. 32A.

B.

3 5C.

4 5D.

4 3C.

9 4D.

4 94．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）

1

………线…………○…………

A．10.8（1+x）=16.8 C．10.8（1+x）2=16.8

B．16.8（1﹣x）=10.8

D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8

5．（2017·广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线yk1x（k1≠0）与双曲线

yk2（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（ ） x

………线…………○………… A.（−1，−2） B.（−2，−1） C.（−1，−1） D.（−2，−2）

6．已知关于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2-9=0有一个解是0，则m的值为( ) A．-3 B．3 C．±3 D．不确定

7．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）

A.2+3 B.23 C.3+3 D.33

8．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则

1AM1AN的值为（ ）

A.

122 B.1 C.

3 D.

32 9．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（ ）

试卷第!异常的公式结尾页，总9页 2

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………

A.

103 B.

92 C.

133 D.4

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数

y

k

x

k0,x0的图像上，纵坐标分别为1和3，则k的值为（ ）

A.233 B.3 C.2 D.3

3

………线…………○…………

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，若BC=4，sinA=，则BD的长为____.

………线…………○…………

12．如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为__________

13．（2017贵州黔东南州第15题）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=-和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为_____．

14．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为_______时，点P和点Q之间的距离是10cm

试卷第!异常的公式结尾页，总9页 4

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………

15．已知关于x的一元二次方程x26xm40有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1x22，则m的值为_____________

16．已知角A是锐角，且tanA，cotA是关于x的一元二次方程x22kxk230的两个实数根，则k的值为___________

17．如图，由点P（14,1），A（a，0），B（0，a）（0a14），确定的△PAB的面积为18，则a的值为_________，如果a14，则a的值为_____________________

18．如图，在直角坐标系中，点A(2，0)，点B (0，1)，过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180，使点C落在点D处，若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为___________________________．

19．如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于点G，交CD于点H，；③△AEF是等腰直角三角形；下列结论：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°④EC=CF；⑤SHCFSADH，其中正确的有__________.

5

………线…………○…………

评卷人 得分 ………线…………○………… 三、解答题

20．（1）计算：2182sin45122 （2）解方程：(x3)(x1)6x5

21．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，−1）. （1）画出OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；

（2）在y轴的左侧以O为位似中心作OAB的位似△OA2B2（要求：新图与原图的相似比为2：1）.

22．（1）如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

ACABBCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.请计算黄金比。

（2）已知：如图，已知△ABC∽△DEF， 求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方

试卷第!异常的公式结尾页，总9页 6

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………

23．（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上． （1）求树DE的高度； （2）求食堂MN的高度．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝＝

1x的图象与反比例函数y2k的图象交于A（a，﹣2），B两点． x（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；

（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．

25．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E

7

………线…………○…………

作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G． （1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

………线…………○………… 26．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元，这批T恤总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，则第二月的单价应是多少元？ 27．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y1x的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=13∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： （1）设P（a，1a）、R（b，1b），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；

（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=

13∠AOB； （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）

试卷第!异常的公式结尾页，总9页 8

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装…※…※……在※……※装要…※装…※不……※……※请……※※…○○……………………内外……………………○○……………………

28．在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y

k

（k＞0）的图象与AC边交于点E，连接OE，OF，EF． x

4，求F点的坐标； 9（1）若tan∠BOF=

（2）当点F在BC上移动时，△OEF与△ECF的面积差记为S，求当k为何值时，S有最大值，最大值是多少？

（3）是否存在这样的点F，使得△OEF为直角三角形？若存在，求出此时点F坐标；若不存在，请说明理由。

9

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参

1．D 【解析】

试题分析：由图可知，主视图一个矩形和三角形组成． 故选D．

考点：简单组合体的三视图． 2．C 【解析】 【分析】

作AB⊥x轴交x轴于点B，由点A的坐标求出相应线段的长度，利用公式求出sin的值即可. 【详解】

作AB⊥x轴交x轴于点B， ∵A（3，4）， ∴AB=4，BO=3， ∴AO=∴sin=

AB2BO2=4232=5，

AB4=. AO5

故选C. 【点睛】

要求一个角的三角函数值，如果图中没有现成的直角三角形，我们一般通过构造垂线将要求的角放入直角三角形中求解. 3．D 【解析】 【分析】

答案第1页，总25页

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由

b555可得b=a，将b=a代入要求的式子计算即可. a131313【详解】

b5=， a135∴b=a，

13∵

5aab13=4. =∴

aba5a913a故选D. 【点睛】

本题主要考查分式的性质. 4．C 【解析】

试题分析：设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增

22

长率）=16.8万人次，根据等量关系列出方程10.8（1+x）=16.8，

故选：C．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程 5．A 【解析】

试题分析：∵点A与B关于原点对称，∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选A． 6．B 【解析】 【分析】

方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值． 【详解】

把x=0代入原方程得：m2-9=0； 3； 解得：m=±

当m=-3时,原方程为：5x=0,不是一元二次方程，故舍去. 所以m=3.

答案第2页，总25页

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故选：B． 【点睛】

考查的是方程的根即方程的解的定义，注意该题说明该方程是一元二次方程，所以m=-3不符合题意，所以m的值是3． 7．A 【解析】 【分析】

设AC=a，由特殊角的三角函数值分别表示出BC、AB的长度，进而得出BD、CD的长度，由公式求出tan∠DAC的值即可. 【详解】 设AC=a，则BC=∴BD=BA=2a， ∴CD=（2+3）a， ∴tan∠DAC=2+3. 故选A. 【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数值. 8．B 【解析】 【分析】

由菱形的性质可得BC∥AN，CD∥AM，从而得出△MBC∽△MAN，△NDC∽△NAM，由相似三角形的性质可得

ACAC=3a，AB==2a，

tan30sin30BCMCCDNC1MC1NC=，==，=，即，故ANMNAMMNANMNAMMN11MCNC+=+=1. AMANMNMN【详解】 ∵菱形ABCD， ∴BC∥AN，CD∥AM，

∴△MBC∽△MAN，△NDC∽△NAM，

答案第3页，总25页

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BCMCCDNC=，=， ANMNAMMN1MC1NC=，=， ∴

ANMNAMMN11MCNC+=+=1. ∴

AMANMNMN∴故选B. 【点睛】

本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，其中，利用相似三角形的性质将

11、进行转化是解题的关键. AMAN9．A 【解析】 【分析】

由特殊角的三角函数计算出平行四边形AB边上的高DH，从而得出平行四边形ABCD的面积，进而得出S△PBC、S2+S3的值，由E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点以及∠FPE=∠CPB可得△PEF∽△PBC，根据相似三角形的性质得出△PEF与△PBC的面积之比，从而得出S1的值，最后求出S1+ S2+ S3的值即可. 【详解】

作DH⊥AB交AB于点H， ， ∵AD=2，AB=23，∠A=60°sin60°=2×∴DH=AD·

3=3， 2∴S平行四边形ABCD=23×3=6， ∴S△PBC=S2+S3=3，

∵E、F分别是PB、PC的三等分点， ∴

PFPE1==， PCPB3∵∠FPE=∠CPB， ∴△PEF∽△PBC，

S∴SPEFPBC=

1， 9答案第4页，总25页

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∴S1=

1， 3110+3=. 33∴S1+ S2+ S3=

故选A. 【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，找出对应三角形面积之间的关系是解题的关键. 10．B 【解析】 【分析】

过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥AD于E，依据△ABE∽△OAD，即可得到，设A（k，

1kk1），B（，3），即可得到22，进而得出k的值．

k33【详解】

如图，过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥AD于E，则∠E=∠ADO=90°，

又∵∠BAO=90°，

∴∠OAD+∠AOD=∠OAD+∠BAE=90°， ∴∠AOD=∠BAE， ∴△ABE∽△OAD，

答案第5页，总25页

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∴

ADOD， BEAEk2k，3），则OD=k，AD=1，AE=2，BE=， 33设A（k，1），B（

1k∴2，

k23解得k=±3， ∵k＞0， ∴k=3， 故选B． 【点睛】

本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系．解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形． 11．. 【解析】

试题分析：因为CD为斜边AB上的高，所以∠BCD=∠A，根据试题解析：∵CD⊥AB ∴∠BCD+∠B=90°， 又∠A+∠B=90°， ∴∠BCD=∠A， ∴∴BD=.

考点: 锐角三角函数. 12．5米 【解析】 【分析】

作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F，不难证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的相似比等于高之比列方程，求出AH的长度即可. 【详解】

答案第6页，总25页

可求出BD的长.

,

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作AH⊥DE交DE于点H，交BC于点F， 由题意得，AF=0.1，BC=0.038，DE=1.9， ∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE，

BCAF0.038==， DEAH1.90.10.038=， ∴AH1.9∴∴AH=5.

故答案为5米. 【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的相似比等于高之比列方程是解题的关键. 13．-8

【解析】试题解析：设A（a，b），则B（2a，2b）， ∵点A在反比例函数y1=﹣的图象上， ∴ab=﹣2；

∵B点在反比例函数y2=的图象上， ∴k=2a•2b=4ab=﹣8． 故答案为-8. 14．

824或

55【解析】 【分析】

求出当PQ∥BC即BP=CQ时的时间，从而确定t的范围并进行分类讨论，分两类：①当0≤t≤3.2；②当3.2＜t≤8，表示出对应线段的长度，结合勾股定理分别列出方程，解方程并对

答案第7页，总25页

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t进行取舍即可. 【详解】 设时间为t，

当PQ∥BC时，BP=CQ， 16﹣3t=2t，解得t=3.2s，

3=点P从A点运动至B点的时间为：16÷

16s， 32=8s， 点Q从C点运动至D点的时间为：16÷

①当0≤t≤3.2时，如图，作PE⊥CD交CD于点E， 由题意得AP=DE=3t，CQ=2t，PE=6， ∴EQ=16﹣5t，

222

∵PE+EQ=PQ， 222∴6+（16﹣5t）=10，

解得t1=

824，t2=（舍去）； 55

②当3.2＜t≤8时，如图作QH⊥AB交AB于点H， 由题意得AP=3t，CQ=2t， DH=6， ∴AH=DQ=16﹣2t， ∴PH=5t﹣16，

222

∵PH+HQ=PQ， 222

∴(5t﹣16)+6=10，

解得t1=

824； （舍去），t2=

55答案第8页，总25页

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824. 或

55824. 故答案为或

55∴t=【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用以及分类讨论的思想，其中根据勾股定理列方程求解是解题的关键. 15．4 【解析】 【分析】

x2=m+4，由韦达定理得出x1+x2=6，x1·将已知式子3x1= | x2|+2去绝对值，对x2进行分类讨论，列方程组求出x1、x2的值，即可求出m的值. 【详解】

x2=m+4， 由韦达定理可得x1+x2=6，x1·①当x2≥0时，3x1=x2+2，

3x1x22x12，， 解得xx6x4122∴m=4；

②当x2＜0时，3x1=2﹣x2，

3x12x2x12，解得，不合题意，舍去. xx6x8122∴m=4. 故答案为4. 【点睛】

本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x2分类讨论去绝对值是解题的关键.

答案第9页，总25页

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16．-2 【解析】 【分析】

cotA=k2﹣3=1，由于tanA＞0，cotA＞0，所以由韦达定理可得tanA+cotA=﹣2k，tanA·

tanA+cotA=﹣2k＞0，由此确定出k＜0，根据k2﹣3=1，解出k的值，正值舍去即可. 【详解】

cotA=k2﹣3=1， 由题意得：tanA+cotA=﹣2k，tanA·2， ∴k=±

∵tanA＞0，cotA＞0，

∴tanA+cotA=﹣2k＞0，即k＜0， ∴k=﹣2. 故答案为﹣2. 【点睛】

本题主要考查锐角三角函数正切与余切之间的关系以及一元二次方程根与系数的关系. 17．3或12 【解析】 【分析】

（1）作PC⊥x轴交x轴于点C，由已知条件表示出CO、BO、AO、PC、AH的长度，根据S梯形BOCP=S△AOB+S△PAC+S△ABP列方程解出a的值即可；（2）画图，作PH⊥x轴交x轴于点H，根据已知条件分别表示出HO、BO、AO、PH、AH的长度，根据S梯形

BOHP=S△AOB﹣S△PAB﹣S△PAH列方程解出

15341 2a的值即可.

【详解】

（1）作PC⊥x轴交x轴于点C，

∵P（14，1），A（a，0），B（0，a）， ∴CO=14，BO=AO=a，PC=1， ∴AC=14﹣a，

∵S梯形BOCP=S△AOB+S△PAC+S△ABP， ∴

111（1+a）×14=a2+×1×（14﹣a）+18， 222答案第10页，总25页

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解得a=3或12；

（2）作PH⊥x轴交x轴于点H，

∵P（14，1），A（a，0），B（0，a）， ∴HO=14，BO=AO=a，PH=1， ∴AH=a﹣14，

∵S梯形BOHP=S△AOB﹣S△PAB﹣S△PAH， ∴

111（1+a）×14=a2﹣18﹣×1×（a﹣14）， 22215341（负值舍去）， 2解得a=

∴a=

15341. 2

故答案为（1）.3或12；（2）.【点睛】

15341. 2本题主要考查一元二次方程的应用、三角形、梯形的面积公式，利用割补法列方程是解题的关键.

（，1）或（4,4）或（0,4）或（,1）18．

【解析】

答案第11页，总25页

5232本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∵点A(2，0)，点B (0，1)， ∴OA=2,OB=1,OC∵l⊥AB,

∴∠PAC＋OAB=90°. ∵∠OBA+∠OAB=90°, ∴∠OBA=∠PAC. ∵∠AOB=∠ACP, ∴△ABO∽△PAC,

ACOB1 . PCOA222125 . 设AC=m,PC=2m,AP5m . 当点P在x轴的上方时， 由

m2mADPD1 得, , m , 5m5ABAP2AC1 ,PC=1, 215OC2 ,

225P,1

2m2mADPD 得, , ∴m＝2, 由

55mAPAB∴AC=2,PC=4, ∴OC＝2+2=4, ∴P（4,4）.

当点P在x轴的下方时，

答案第12页，总25页

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m2mADPD1 得, , m , 由

5m5ABAP2AC1 ,PC=1, 213OC2 ,

223P,1

2由

m2mADPD 得, , ∴m＝2, 55mAPAB∴AC=2,PC=4, ∴OC＝2-2=0, ∴P（0,4）.

53所以P点坐标为,1或（4,4）或,1或（0,4）

22【点睛】本题考察了相似三角形的判定，相似三角形的性质，平面直角坐标系点的坐标及分类讨论的思想.在利用相似三角形的性质列比例式时，要找好对应边，如果对应边不确定，要分类讨论.因点P在x轴上方和下方得到的结果也不一样，所以要分两种情况求解. 请在此填写本题解析!

19．①③⑤ 【解析】

答案第13页，总25页

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【分析】

①：由正方形ABCD的性质以及等腰△EAD的性质证明△ABM≌△DCN即可；②③：连接AC，以D为圆心，DA的长度为半径画圆，不难证明圆D过点A、E、F，由圆周角定理求出∠AFE的度数，进而求出∠FAE的度数及∠AEF的度数，从而证明出△AEF为等腰直角三角形，由折叠可得出∠AED的度数，由等腰△AED的性质求出∠DAE的度数即可求出∠DAF的度数；④：作CK⊥AF交AF于点K，不难求出∠KAC=∠CAE=22.5°，由角平分线的性质可得CK=CE，由直角三角形的性质可得CF＞KC，所以CF＞CE；⑤：求出

∠FDC=∠ACD=45°，证明出DF∥AC，从而得出S△DAF=S△DCF，进而得出S△DAH=S△CFH. 【详解】 ∵正方形ABCD，

， ∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=∠B=∠DCN=90°∵等腰△ADE， ∴∠EAD=∠EDA， ∴∠BAM=∠CDN，

∵在Rt△ABM与Rt△DCN中，

BDCNABCD， BAMCDN∴△ABM≌△DCN， 故结论①正确；

连接AC，以D为圆心，DA的长度为半径画圆， 由翻折可得AD=DF，AE=EF， ∴圆D经过点A、C、F， ， ∴∠AFC=45°

， ∴∠AFC=∠EAF=45°， ∴∠AEF=90°

， ∴∠AED=∠DEF=45°， ∴∠EAD=67.5°， ∴∠DAF=22.5°故结论②错误；

答案第14页，总25页

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， ∵AE=EF，∠AEF=90°∴△AEF是等腰直角三角形， 故结论③正确；

作CK⊥AF交AF于点K， ，∠FAD=22.5°， ∵∠EAD=62.5°

，∠KAC=22.5°， ∴∠BAM=∠CDN=22.5°∴∠EAC=22.5°， ∴∠EAC=∠KAC， ∴KC=CE，

∵在Rt△FKC中，FC＞KC， ∴FC＞CE， 故结论④错误； ∵∠DAF=∠DFA=22.5°， ∴∠ADF=135°， ∴∠FDC=45°， ∴∠FDC=∠DCA， ∴AC∥DF， ∴S△DAF=S△DCF， ∴S△DAH=S△CFH， 故结论⑤正确. 正确的结论有①③⑤.

故答案为①③⑤.

答案第15页，总25页

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【点睛】

本题较难，是一道几何综合题，主要考查圆的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线的性质.

20．（1）3;（2）x113，x213 【解析】 【分析】

（1）首先去绝对值、化简二次根式，计算出特殊角的三角函数值，进行负指数幂的运算，然后合并同类二次根式即可；（2）将方程展开，移项，由公式法直接计算出方程的解即可. 【详解】

（1）原式=2﹣1﹣22+2×（2）x2+4x+3﹣6x﹣5=0， x2﹣2x﹣2=0， x=2+4=3； 2244（2）223==1±3，

212∴x1=1+3，x2=1-3. 【点睛】

本题主要考查实数的混合运算以及一元二次方程的解法. 21．见解析 【解析】 【分析】

（1）将点A、点B绕点O顺时针旋转90°得到点A1、B1，连接A1、B1、O三点即可；（2）根据位似的性质得出A2、B2的位置，连接A2、B2、O三点即可； 【详解】 如图所示：

答案第16页，总25页

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【点睛】

本题主要考查图形的旋转以及图形的位似的作图方法. 22．（1）.【解析】 【分析】

（1）设AC=a，BC=b，由题意列式，整理得出关于

15；（2）证明见解析. 2aa的一元二次方程，令=t，解关于tbb的一元二次方程即可；（2）作AG⊥BC交BC于点G，作DH⊥EF交EF于点H，设两个三角形的相似比为k，由已知条件不难证明△ABG∽△DEH，从而得出AG与DH的比值，再根据三角形面积公式列式计算出△ABC与△DEF的面积之比即可. 【详解】

（1）设AC=a，BC=b，

ab=，整理可得a2﹣ab﹣b2=0， abaa2a（）﹣﹣1=0， ∴bba2

令=t，t﹣t﹣1=0， b则解得t=

15（负值舍去）， 2∴t=15， 215； 2∴黄金比为（2）证明：作AG⊥BC交BC于点G，作DH⊥EF交EF于点H，设两个三角形的相似比为k，

答案第17页，总25页

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， ∴∠AGB=∠DHE=90°∵△ABC∽△DEF， ∴

ABBC==k，∠B=∠E， DEEF∴△ABG∽△DEH，

AGAB==k， DHDE1AGSABG2BC·==k2. ∴

SDEH1EF·DH2∴

【点睛】

本题主要考查换元法解一元二次方程以及相似三角形的判定与性质. 23．（1）6；（2）1+43． 【解析】

试题分析：（1）设DE=x，可得EF=DE﹣DF=x﹣2，从而得AF=3（x﹣2），再求出CD=3x、BC的长，根据AF=BD可得关于x的方程，解之可得； 33x=23、BC=23，3（2）延长NM交DB延长线于点P，知AM=BP=3，由（1）得CD=根据NP=PD且AB=MP可得答案． 试题解析：（1）如图，设

DE=x，∵AB=DF=2，∴EF=DE﹣DF=x﹣2，∵∠EAF=30°，∴AF=

EF

tanEAFx23(x2)=3，又

3答案第18页，总25页

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2xDEAB3∵CD===x，BC==3=23，∴BD=BC+CD=23+33tanACBtanDCE333x，由AF=BD可得3（x﹣2）=23+x，解得：x=6，∴树DE的高度为6米； 33（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=3，由（1）知CD=33x=×6=23，BC=23，∴PD=BP+BC+CD=3+23+23=3+43，∵∠N33DP=45°，且MP=AB=2，∴NP=PD=3+43，∴NM=NP﹣MP=3+43﹣2=1+43，∴食堂MN的高度为1+43米．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形． 24．(1)y＝【解析】

试题分析：（1）把A（a，﹣2）代入y847，B(4，2)；(2)P(27,) 或(2，4)． x71x，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入2k8

y，可得反比例函数的表达式为y，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B

xx

的坐标；

（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，

18），则C（m，m），根据△POC

2m答案第19页，总25页

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118mm=3，求得m的值，即可得到点P的坐标． 的面积为3，可得方程22m（1）把A（a，﹣2）代入y1x，可得a=﹣4，∴A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入2k8y，可得k=8，∴反比例函数的表达式为y，∵点B与点A关于原点对称，

xx∴B（4，2）；

（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，设P（m，

18），则C（m，m），∵△POC

2m的面积为3，∴

1184mm=3，解得m=27或2，∴P（27，7）或（2，4）． 22m7

点睛：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．

25．（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226． 【解析】 【分析】

（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；

（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. 【详解】

（1）结论：CF=2DG．

理由：∵四边形ABCD是正方形， ， ∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°∵DE=AE， ∴AD=CD=2DE，

答案第20页，总25页

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∵EG⊥DF， ， ∴∠DHG=90°

，∠DGE+∠DEG=90°， ∴∠CDF+∠DGE=90°∴∠CDF=∠DEG， ∴△DEG∽△CDF， ∴

DGDE1==， CFDC2∴CF=2DG．

（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，

此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK． 由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=∴EH=2DH=25， ∴HM=

5DEDG5，EG==5， 5，DH=2EG2DHEH=2，

DE∴DM=CN=NK=DH2HM2=1，

在Rt△DCK中，DK=CD2CK2=10222102(23)2=226， ∴△PCD的周长的最小值为10+226． 【点睛】

本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 26．（1）.y=﹣10x2+200x+8000；（2）.70. 【解析】 【分析】

（1）第一个月的利润为：200×（80﹣50）元，第二个月的利润为：单价降低了x元，则可

答案第21页，总25页

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多售出10x件，故销售量为（200+10x）件，每件利润为（80﹣50﹣x）元，根据总利润=每件利润×销量列式即可得出第二个月的利润，第三个月亏本：

（800﹣200+200+10x），第一个月的利润加上第二个月的利润减去第三个月亏（50﹣40）×

本的元数即可得出总利润；（2）令y=9000，解出x即可. 【详解】

（1）y=200×（80﹣50）+（200+10x）（80﹣50﹣x）﹣（50﹣40）×（800﹣200+200+10x）=﹣10x2+200x+8000； （2）令y=9000， ﹣10x2+200x+8000=9000， 解得x1=x2=10， ∵80﹣10=70＞50， ∴第二个月的单价是70元. 【点睛】

本题主要考查二次函数在实际生活中的应用，是较为典型的销售问题，需熟练掌握. 27．（1）. y=【解析】 【分析】

（1）根据点P、点R的坐标得出点M的坐标，设出直线OM的解析式，将点M的坐标代入直线解析式求出未知参数即可；（2）不难证明四边形PQRM为矩形，根据矩形的性质可得出∠PSQ=2∠PMS，PR=2PS，由已知条件PR=2PO可得PS=PO，即∠PSO=∠POS，所以∠POS=2∠PMS，由PM∥x轴可得∠PMS=∠MOB，所以∠POS=2∠MOB，即可证明∠MOB=

1x；（2）.证明见解析；（3）.见解析. ab1∠AOB；（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，将利用上述结论将锐角三等分3即可；方法二：钝角减去一个直角得一个锐角，利用上述结论将锐角三等分后，再将直角三等分即可. 【详解】

（1）设直线OM的解析式为y=kx，

11），R（b，）， ab1∴M（b，），

a∵P（a，

答案第22页，总25页

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1， ab1x； ∴y=ab∴k=

（2）证明：由题意得Q（a，当x=a时，y=

1）， b1， b∴点Q在直线OM上，

， 由题意可得∠PMB=∠MRQ=∠RQP=90°∴四边形PQRM是矩形， ∴PR=2PS，SP=SM， ∴∠SPM=∠SMP， ∴∠PSO=2∠SMP， ∵PM∥x轴， ∴∠SMP=∠MOB， ∴∠PSO=2∠MOB， ∵PR=2PO， ∴PS=PO， ∴∠PSO=∠POS， ∴∠POS=2∠MOB， ∴∠MOB=

1∠AOB； 3（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，将利用上述结论将锐角三等分即可；

方法二：钝角减去一个直角得一个锐角，利用上述结论将锐角三等分后，再将直角三等分即可. 【点睛】

本题是一道反比例函数与几何综合题，主要考查反比例函数的图像与性质、矩形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，理解透彻帕普斯三等分锐角的方法是关键. 28．（1）. F（6，【解析】 【分析】

816）；（2）当k=12时，S最大为6；（3）F（6，）. 39答案第23页，总25页

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（1）由tan∠BOF的值求出线段BF的长度，进而得出点F的坐标；（2）设B（6，

k），6分别表示出AE、CE、BF、CF的长度，进而表示出△OEF与△ECF的面积，最后表示出S即可；（3）分类讨论，根据相似三角形的判定与性质列方程求解即可； 【详解】 （1）tan∠BOF=∴BF=

BF4=， OF98， 38∴F（6，）；

3k（2）设B（6，），

6k令y=4，x=，

4k∴E（，4），

4kkkk∴AE=，CE=6﹣，BF=，CF=4﹣，

4466kk1kk126﹣﹣﹣×（6﹣）×（4﹣）=﹣k﹣2k+12， ∴S△OEF=4×

222481kk12

S△ECF=×（6﹣）×（4﹣）=k﹣k+12，

2481（k﹣12）2+6. ∴S△OEF﹣S△ECF=﹣24当k=12时，S最大为6； （3）①当∠OEF=90°时， ， ∠AEO+∠CEF=90°， ∵∠CEF+∠CFE=90°∴∠AEO=∠CFE， ， ∵∠EAO=∠C=90°∴△EAO∽△FCE，

k4AEAO=k， ∴，即4=

k6CFCE44632， 解得k=24或3答案第24页，总25页

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∴F（4，6）（舍去）或（6，∴F（6，

16）， 916）； 9②当∠EFO=90°时， 同理可证△ECF∽△FBO，

kkECCF44==∴，即6， kBFBO666解得k=54或24，

∴F（4，6）或（6，9），都不符合题意， ∴F（6，【点睛】

本题主要考查反比例函数的图像与性质、二次函数求最值、割补法求三角形的面积以及相似三角形的判定与性质.

16）. 9答案第25页，总25页