2020-2021学年安徽省蚌埠市八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年安徽省蚌埠市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列各式中，与√2的积为有理数的是( )

A. √8

B. √12 C. √24 D. √27

2. 下列方程中，有两个相等实数根的是( )

A. 𝑥2−1=0 B. 𝑥2+4𝑥=4 C. 𝑥2+1=2𝑥 D. 𝑥2−3𝑥=0

3. 可以作为某一个多边形内角和度数的是( )

A. 320° B. 720° C. 1000° D. 2180°

4. 以下长度的线段可以构成直角三角形的是( )

A. 1cm，2cm，5cm C. √2𝑐𝑚，3cm，5cm

B. 2cm，3cm，4cm D. 1cm，√2𝑐𝑚，√3𝑐𝑚

5. 小明用手机软件记录了最近30天的运动步数，并将记录结果制作成了如下统计表：

步数/万步 天数 3 1.1 9 1.2 5 1.3 a 1.4 2 1.5 在每天所走的步数中，众数和中位数分别是( )

A. 1.3，1.3 B. 1.4，1.3 C. 1.4，1.4 D. 1.3，1.4

6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方

B、C、形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是( )

A. 13 B. 26 C. 34 D. 47

7. 随着安徽自贸区科创优势、产业优势和区位优势的进一步发挥，省内经济汇聚了新

的发展动能，自贸区蚌埠片区的一家硅基新材料企业2021年1月份产值1千万，2021年第一季度总产值5千万，若该企业2021年第一季度月产值的平均增长率为x，则以下方程符合题意的是( )

A. 1+𝑥=5

C. 1+(1+𝑥)+(1+𝑥)2=5

B. (1+𝑥)2=5 D. 1+(1+𝑥)2=5

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8. 已知关于x的一元二次方程2𝑥2−8𝑥+𝑚=0有一个根是𝑥1=3，则另一个根𝑥2是

( )

A. −5 B. −3 C. 1 D. 2

9. 如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别

是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，NE，连接EM，MF，FN，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是( )

A. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷 C. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷

B. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶 D. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶

10. 如图，矩形ABCD中，AB：𝐴𝐷=2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动

点，点P为DF的中点，连接𝑃𝐵.若PB的最小值为5√2，则AD的值为( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11. 若二次根式√2021−𝑥有意义，则x的取值范围是______ ．

12. 若一个正多边形的一个内角的度数是它相邻外角度数的3倍，则这个正多边形的边

数为______ ．

13. 已知关于x的一元二次方程𝑥2−4𝑚𝑥+3𝑚2=0(𝑚>0)的一个根比另一个根大2，

则m的值为______．

𝐴𝐷=𝐴𝐸=14. 如图，在▱ABCD中，点E在对角线AC上，

𝐵𝐸，∠𝐷=102°，则∠𝐵𝐴𝐸的大小是______ ．

15. 如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧

作正方形BEFG，连接CG，已知𝐴𝐵=15，𝐵𝐸=17． (1)线段AE的长为______ ； (2)△𝐵𝐶𝐺的面积为______ ．

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三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 16. (1)计算：√8−4√+√(−2)2；

2

(2)解方程：2𝑥2−5𝑥−3=0．

17. 已知关于x的一元二次方程2𝑚𝑥2−(5𝑚−1)𝑥+3𝑚−1=0．

(1)求证：无论m为任意实数，方程总有实数根； (2)如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．

18. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB

上，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，𝑂𝐺//𝐸𝐹． (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若𝐴𝐷=10，𝐸𝐹=4，求BD的长．

1

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19. 蚌埠市某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元.为了合理定价，现将该工艺

品投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过75元． (1)若销售单价为每件70元，求每天的销售利润；

(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品的售价应为多少元？

20. 为庆祝中国党建党100周年，某区组织了学生参加党史知识竞赛，并从中抽取

了200名学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计，根据成绩分成如下5组：𝐴.50.5～60.5，𝐵.60.5～70.5，𝐶.70.5～80.5，𝐷.80.5～90.5，𝐸.90.5～100.5.并绘制成两个统计图．

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(1)频数分布直方图中的𝑎= ______ ，𝑏= ______ ；

(2)在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角为𝑛°，求n的值；

(3)求E组共有多少人？该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？

21. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°.点D是边BC上一点，△𝐵𝐷𝐸是等边三

角形，四边形CDEF是平行四边形．

(1)如图1，若点D是BC中点，求证：四边形BDFE是菱形； (2)一般的，设DF与CE相交于点G，如图2，连接AD，AC，AF． ①证明：𝐴𝐷=𝐴𝐹； ②求∠𝐷𝐴𝐺的大小．

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为√8=2√2，√12=2√3，√24=2√6，√27=3√3， 所以与√2为同类二次根式的是√8， 故选：A．

将√8、√12、√24、√27进行化简，再进行判断即可．

本题考查二次根式的化简，最简二次根式，理解同类二次根式的意义是正确解答的前提，掌握二次根式的化简方法是解决问题的关键．

2.【答案】C

【解析】解：A、𝛥=0−4×1×(−1)=4>0，此方程有两个不相等的实数根； B、𝛥=42−4×1×0=1>0，此方程有两个不相等的实数根； C、方程整理得，𝑥2−2𝑥+1=0，

𝛥=22−4×1×1=0，此方程有两个相等的实数根；

D、𝛥=(−3)2−4×1×0=5>0，此方程有两个不相等的实数根， 故选：C．

判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．

(1)𝛥>0⇔方程有两个不相等的实此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

数根；(2)𝛥=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)𝛥<0⇔方程没有实数根．

3.【答案】B

【解析】解：∵多边形内角和公式为(𝑛−2)×180， ∴多边形内角和一定是180的倍数， ∵720°=4×180°， 故选：B．

根据多边形的内角和公式得出多边形内角和一定是180的倍数，再根据各选项给出的数据找出是180的倍数的数，即可得出答案．

本题主要考查了多边形内角和公式，在解题时要记住多边形内角和公式，并加以应用即

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可解决问题．

4.【答案】D

【解析】解：A、12+22≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、(√2)2+32≠52，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、12+(√2)2=(√3)2，能构成直角三角形，故符合题意． 故选：D．

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足𝑎2+𝑏2=𝑐2，那么这个三角形就是直角三角形．

5.【答案】B

【解析】解：∵共记录了最近30天的运动步数， ∴𝑎=30−3−9−5−2=11，

∴在这组数据中出现次数最多的是1.4万步，即众数是1.4．

把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是(1.3+1.3)÷2=1.3(万步)，

所以中位数是1.35万步， 故选：B．

根据题意先求出a的值，在这组数据中出现次数最多的是1.4，得到这组数据的众数．把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数，

本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．

6.【答案】D

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【解析】解：如图，

由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34， 同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13， ∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47， 故选：D．

根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么𝑎2+𝑏2=𝑐2．

7.【答案】C

【解析】解：设平均每月增长的百分率为x， 1+(1+𝑥)+(1+𝑥)2=5． 故选：C．

设平均每月增长的百分率为x，根据新材料企业2021年1月份产值1千万，2021年第一季度总产值5千万，可列方程求解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，知道第一季度总产值5千万是解题的关键．

8.【答案】C

【解析】解：设另一个根为𝑥2， 根据题意得𝑥1+𝑥2=−即3+𝑥2=4， 所以𝑥2=1． 故选：C．

利用根与系数的关系得到3+𝑥2=4，然后解一次方程即可．

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−82

=4，

本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根时，𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1𝑥2=𝑎．

𝑏

𝑐

9.【答案】A

【解析】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点， ∴𝐸𝑁、NF、FM、ME分别是△𝐴𝐵𝐷、△𝐵𝐶𝐷、△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐶𝐷的中位线， ∴𝐸𝑁//𝐴𝐵//𝐹𝑀，𝑀𝐸//𝐶𝐷//𝑁𝐹，𝐸𝑁=2𝐴𝐵=𝐹𝑀，𝑀𝐸=2𝐶𝐷=𝑁𝐹， ∴四边形EMFN为平行四边形， 当𝐴𝐵=𝐶𝐷时，𝐸𝑁=𝐹𝑀=𝑀𝐸=𝑁𝐹， ∴平行四边形ABCD是菱形， 当𝐴𝐵⊥𝐶𝐷时，𝐸𝑁⊥𝑀𝐸， 则∠𝑀𝐸𝑁=90°， ∴菱形EMFN是正方形， 故选：A．

证出EN、NF、FM、ME分别是△𝐴𝐵𝐷、△𝐵𝐶𝐷、△𝐴𝐵𝐶、△𝐴𝐶𝐷的中位线，得出𝐸𝑁=𝐴𝐵=𝐹𝑀，𝑀𝐸=𝐶𝐷=𝑁𝐹，𝐸𝑁//𝐴𝐵//𝐹𝑀，𝑀𝐸//𝐶𝐷//𝑁𝐹，证出四边形EMFN22𝐸𝑁=𝐹𝑀=𝑀𝐸=𝑁𝐹，为平行四边形，当𝐴𝐵=𝐶𝐷时，得出平行四边形ABCD是菱形；当𝐴𝐵⊥𝐶𝐷时，∠𝑀𝐸𝑁=90°，即可得证．

本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．

1

1

1

1

10.【答案】A

【解析】解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，

，

∵𝐴𝐵：𝐴𝐷=2：1，

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∴𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐸𝐵=𝐵𝐶，

∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐷𝐸𝐴=∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐸𝐶𝐵=45°， ∴∠𝐷𝐸𝐶=90°，

BP的最距离为𝐵𝑃⊥𝐺𝐻时，此时P点与H点重合，F点与C点重合． ∵𝐻为CD中点，

∴𝐶𝐻=𝐶𝐵，∠𝐺𝐻𝐵=90°， 在𝑅𝑡△𝐻𝐶𝐵中，𝐵𝐻=5√2， ∴𝐶𝐻=𝐶𝐵=5， 故选：A．

F点在运动时，P点轨迹为平行EC的线段，BP最短为点到直线的最短距离． 本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，点到直线的最短距离，解题关键构造出数学模型解题．

11.【答案】𝑥≤2021

【解析】解：二次根式√2021−𝑥有意义， 则2021−𝑥≥0， 解得：𝑥≤2021． 故答案为：𝑥≤2021．

直接利用二次根式的定义分析得出答案．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．

12.【答案】8

【解析】解：设正多边形的一个内角等于𝑥°，

∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的度数的3倍， ∴𝑥=3(180−𝑥)， 解得：𝑥=135，

外角度数是180°−135°=45°，

∴这个多边形的边数是：360°÷45°=8． 故答案为：8．

首先设正多边形的一个内角等于𝑥°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它相邻

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外角的度数的3倍，即可得方程：𝑥=3(180−𝑥)，解此方程即可求得答案． 此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．

13.【答案】1

【解析】解：设方程的两根分别为t，𝑡+2， 根据题意得𝑡+𝑡+2=4𝑚，𝑡(𝑡+2)=3𝑚2，

把𝑡=2𝑚−1代入𝑡(𝑡+2)=3𝑚2得(2𝑚−1)(2𝑚+1)=3𝑚2， 整理得𝑚2−1=0，解得𝑚=1或𝑚=−1(舍去)， 所以m的值为1． 故答案为1．

𝑡+2，设方程的两根分别为t，利用根与系数的关系得到𝑡+𝑡+2=4𝑚，𝑡(𝑡+2)=3𝑚2，利用代入消元法得到(2𝑚−1)(2𝑚+1)=3𝑚2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．

本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根时，𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1𝑥2=𝑎.也考查了判别式．

𝑏

𝑐

14.【答案】26°

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷=102°，𝐴𝐷=𝐵𝐶， ∵𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐵𝐸， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐸=𝐵𝐸，

∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐵𝐴，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐸𝐶𝐵， ∵∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐸𝐵𝐴=2∠𝐸𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐶𝐴𝐵，

∴∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=3∠𝐶𝐴𝐵=180°−∠𝐴𝐵𝐶=180°−102°=78°， ∴∠𝐵𝐴𝐸=26°， 故答案为：26°．

根据平行四边形的性质得到∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷=102°，𝐴𝐷=𝐵𝐶，根据等腰三角形的性质得到∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐵𝐴，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐸𝐶𝐵，根据三角形外角的性质得到∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐶𝐴𝐵，由三

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角形的内角和定理即可得到结论．

本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

15.【答案】8 60

【解析】解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐸2=𝐵𝐸2−𝐴𝐵2， ∴𝐴𝐸=8， 故答案为8；

(2)延长GB交CD于点H， ∵𝐺𝐵⊥𝐸𝐵， ∴∠𝐸𝐵𝐻=90°，

∵∠𝐸𝐵𝐴+∠𝐴𝐵𝐻=90°，∠𝐴𝐵𝐻+∠𝐶𝐵𝐻=90°， ∴∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐶𝐵𝐻，

∵𝐵𝐶=𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐶𝐻， ∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐻(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐸𝐵=𝐵𝐻， ∴𝐵是GH的中点，

∴△𝐵𝐶𝐺的面积=△𝐵𝐶𝐻的面积=△𝐵𝐴𝐸的面积=2×𝐴𝐸×𝐴𝐵=2×8×15=60， 故答案为60．

(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，用勾股定理直接可求；

(2)延长GB交CD于点H，证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐻(𝐴𝑆𝐴)，可得B是GH的中点，则△𝐵𝐶𝐺的面积=△𝐵𝐶𝐻的面积△𝐵𝐴𝐸的面积，求出△𝐵𝐴𝐸的面积即可．

本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，利用三角形全等，将所求面积转化为求△𝐵𝐴𝐸的面积是解题的关键．

1

1

16.【答案】解：(1)原式=8−2√2+2

=10−2√2；

(2)2𝑥2−5𝑥−3=0， (2𝑥+1)(𝑥−3)=0， 2𝑥+1=0或𝑥−3=0，

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解得：𝑥1=−2，𝑥2=3．

【解析】(1)先化成最简二次根式，再算加减即可；

(2)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 本题考查了二次根式的加减和解一元二次方程，能把二次根式化成最简二次根式是解(1)的关键，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(2)的关键．

1

17.【答案】解：(1)关于x的一元二次方程2𝑚𝑥2−(5𝑚−1)𝑥+3𝑚−1=0．

∵△=(5𝑚−1)2−8𝑚(3𝑚−1)=(𝑚−1)2≥0， ∴无论m为任何实数，方程总有实根．

(2)由题意得，𝛥=(𝑚−1)2=2， 解得𝑚=1±√2．

【解析】(1)先计算判别式的值得到𝛥=𝑚2−2𝑚+1，配方得𝛥=(𝑚−1)2，再根据非负数的性质得到𝛥≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论．

(2)利用判别式的定义得到𝛥=(𝑚−1)2=2，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定𝑚=1±√2．

本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当𝛥>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥<0时，方程无实数根．

18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∵𝐸是AD的中点， ∴𝑂𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中位线， ∴𝑂𝐸//𝐴𝐵， ∴𝑂𝐸//𝐹𝐺， ∵𝑂𝐺//𝐸𝐹，

∴四边形OEFG是平行四边形， ∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐸𝐹𝐺=90°，

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∴四边形OEFG是矩形； (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=10，

由(1)得：𝑂𝐸=2𝐴𝐵=5，四边形OEFG是矩形， ∴𝐹𝐺=𝑂𝐸=5，𝑂𝐺=𝐸𝐹=4，∠𝑂𝐺𝐹=90°， ∵𝐸是AD的中点， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐷=5，

21

1

在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐸中，由勾股定理得：𝐴𝐹=√𝐴𝐸2−𝐸𝐹2=√52−42=3， ∴𝐵𝐺=10−5−3=2， ∵∠𝑂𝐺𝐵=180°−90°=90°，

∴𝑂𝐵=√𝑂𝐺2+𝐵𝐺2=√42+22=2√5， ∴𝐵𝐷=2𝑂𝐵=4√5．

(1)根据菱形的性质得𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷，【解析】再由三角形中位线定理得𝑂𝐸//𝐹𝐺，得四边形OEFG是平行四边形，然后证∠𝐸𝐹𝐺=90°，即可得出结论；

(2)由三角形的中位线定理得𝑂𝐸=2𝐴𝐵=5，再由矩形的性质得𝐹𝐺=𝑂𝐸=5，𝑂𝐺=𝐸𝐹=4，∠𝑂𝐺𝐹=90°，然后由勾股定理求出OB的长，即可得出BD的长．

本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形OEFG为矩形是解题的关键．

1

19.【答案】解：(1)(70−40)×[100−2×(70−50)]

=30×[100−2×20] =30×[100−40] =30×60 =1800(元)．

答：当销售单价为每件70元时，每天的销售利润为1800元．

(2)设每件工艺品的售价应为x元，则每件工艺品的销售利润为(𝑥−40)元，每天的销售量为100−2(𝑥−50)=(200−2𝑥)件， 依题意得：(𝑥−40)(200−2𝑥)=1350， 整理得：𝑥2−140𝑥+4675=0，

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解得：𝑥1=55，𝑥2=85(不合题意，舍去)． 答：每件工艺品的售价应为55元．

【解析】(1)利用每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可求出结论； (2)设每件工艺品的售价应为x元，则每件工艺品的销售利润为(𝑥−40)元，每天的销售量为(200−2𝑥)件，利用每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20.【答案】16 40

【解析】解：(1)𝑎=200×8%=16，𝑏=200×20%=40， 故答案为：16，40； (2)𝑛=360×200=126；

(3)200−16−40−200×25%−70=24(人)， 1200×200=144(人)，

答：E组有24人，估计全区获得一等奖的人数是144人． (1)分别用总人数乘以A、B等级对应百分比即可得出a、b的值； (2)用360乘以D组人数占被调查人数的比例即可；

(3)根据各分组人数之和等于被调查人数求解即可得E组人数；用总人数乘以样本中不低于91分的人数所占比例即可．

此题考查的是读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

24

70

21.【答案】证明：(1)∵四边形CDEF是平行四边形，

∴𝐸𝐹//𝐶𝐷，𝐸𝐹=𝐶𝐷， ∵点D是BC中点， ∴𝐵𝐷=𝐷𝐶，

∴𝐸𝐹=𝐵𝐷，𝐸𝐹//𝐵𝐷， ∴四边形BDFE是平行四边形， ∵△𝐵𝐷𝐸是等边三角形，

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∴𝐵𝐷=𝐵𝐸， ∴▱BDFE是菱形；

(2)∵四边形CDEF是平行四边形， ∴𝐶𝐹//𝐷𝐸，

∵△𝐵𝐷𝐸是等边三角形， ∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐵𝐷𝐸=60°， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=120°． ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=30°， ∴∠𝐴𝐶𝐹=30°=∠𝐴𝐵𝐶， 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐹中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶

{∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐹， 𝐵𝐷=𝐶𝐹

∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐹；

(2)由①知：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹， ∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶=120°， ∵四边形CDEF是平行四边形， ∴𝐷𝐺=𝐹𝐺， ∵𝐴𝐷=𝐴𝐹，

∴∠𝐷𝐴𝐺=∠𝐷𝐴𝐹=60°．

21

【解析】(1)可证出𝐸𝐹=𝐵𝐷，𝐸𝐹//𝐵𝐷得四边形BDFE是平行四边形，又𝐵𝐸=𝐵𝐷，从而▱BDFE是菱形；

(2)①通过SAS证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹即可；

再由𝐷𝐺=𝐹𝐺，得∠𝐷𝐴𝐺=2∠𝐷𝐴𝐹=60°． ②由①中全等可证出∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐶=120°，

本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐹是解题的关键．

1

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