多元条件下不等式的应用

一、复习要点：

1、理解基本不等式，能利用基本不等式求最值；

2、掌握消元法把不等式问题化为函数最值问题求法； 3、能够通过表达式联想其几何性质求最值； 4、了解“三角换元”求最值问题．

二、典型例题： 1°直接利用基本不等式解题

例1 （必修5 P106 Ex16）已知正数x,y满足x2y1，求

11的最小值. xy变式1 已知xk13,(kZ)，则2的最小值是____________. 2sinxcos2x变式2 已知正数x,y满足xy1，则

49的最小值是__________. x1y2变式3 已知实数x，y满足x>y>0，且x+y ＝2，则

21的最小值为 ．

x3yxy变式4 （2015苏锡常镇一模，第14题）已知实数x，y满足x>y>0，且x+y ≤2，则

21 的最小值为 ．

x3yxy 2° 消元化为函数最值

例2 （1）（2015扬州零模 第12题）设实数x,y满足x22xy10，则x2y2的最小值

是 ．

（2）（2015苏州零模 第14题）已知a，b为正实数，且a＋b＝2，则最小值为 ．

a22ab2b1的

3° 利用“几何意义”求最值

例3 （1）（2015年苏北四市零模）若实数x,y满足xy40，则zx2y26x2y10的最小值为_____.

（2）（2014年宿迁一模）在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a,b)到两直线l1：yx和l2：yx2的距离之和为22，则a2b2的最大值为 ．

4° 利用“三角换元”求最值

ab的最大值为 ． 3abb222（2）（2015年泰州零模）已知实数a,b,c满足abc0,则的取值范围

a2c例4 （1）已知正实数a,b满足9ab1，则

22是 ．

三、巩固练习：

1. （2014南通三模）已知正实数x,y满足(x1)(y1)16，则xy的最小值为 ．

2.已知正数x,y满足x2y2，则

x8y的最小值为 ． xy3.（2015南通零模，第12题）已知函数yaxb(b0)的图象经过点P(1，3)，如下图所

y 示，则41的最小值为 ．

a1b3 P

O 1 x 114.（2015镇江零模，第14题）已知正数x,y满足1，

xy则

4x9y的最小值为 ． x1y1

5.已知正实数x，y满足xy2xy4，则x  y 的最小值为 ．

6．（2015年启东期初模拟）设x,y均为正实数，且

7.（2014南通二模）设实数a，b，c满足a2＋b2 ≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为 ．

2b2，其中a，b 均为8. 定义：min{x，y}为实数x，y中较小的数．已知hmina，a4b33则xy的最小值为 ． 1，

2x2y正实数，则h的最大值是 ．

x2y29. 若实数x,y满足xy0，且log2xlog2y1，则的最小值为 .

xy

210.已知二次函数f(x)axbxc(ba)，且f(x)≥0恒成立，则

abc的最小值是

ba ．

11.（2011浙江模拟）若不等式a(2x2y2)≥x22xy对任意非零实数x,y恒成立，则实数

a 的最小值为 ．

12.（2014南京三模）设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意b2

x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则22的最大值为 ．

a+c

13.已知正数数x,y,z满足x2y2z24，则2xyyz的最大值是 ．

14.（扬州中学2015届高三下学期期初考试数学试题）已知三个正数a,b,c满足

22abc3a，3ba(ac)5b，则

b2c的最小值是 ． a