——教学资料参考参考范本—— 2019-2020学年度最新高考数学二轮复习专题四立体几何第2讲立体几何中的向量方法练习理 ______年______月______日 ____________________部门 1 / 11 1.(20xx·山东卷)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线. (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； (2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值. (1)证明 设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF. 又EF∥OB，所以GI∥OB. 在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC. 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC. (2)解 连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. 由题意得B(0，2，0)， C(－2，0，0).过点F作FM垂直OB于点M， 所以FM＝＝3，可得F(0，，3). 故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3). 设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量. 由可得可得平面BCF的一个法向量m＝， 因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 2 / 11 所以二面角F－BC－A的余弦值为. 2.(20xx·山东卷)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45° ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小. (1)证明 法一 连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH，在三棱台DEF－ABC中， AB＝2DE，G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形. 则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH∥BD， 又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH. 法二 在三棱台DEF－ABC中， 由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形BHFE为平行四边形， 可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD⊂平面ABED， 所以BD∥平面FGH. (2)解 设AB＝2，则CF＝1. 3 / 11 在三棱台DEF－ABC中，G为AC的中点，由DF＝AC＝GC，可得四边形DGCF为平行四边形， 因此DG∥FC，又FC⊥平面ABC， 所以DG⊥平面ABC. 在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点. 所以AB＝BC，GB⊥GC， 因此GB，GC，GD两两垂直. 以G为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz. 所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，D(0，0，1). 可得H，F(0，，1)， 故＝，＝(0，，1). 设n＝(x，y，z)是平面FGH的一个法向量， x＋y＝0，则由可得 2y＋z＝0.可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，). 因为是平面ACFD的一个法向量，＝(，0，0). 所以cos〈，n〉＝＝＝. 所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°. 3.(20xx·四川卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC， ∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°. (1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； 4 / 11 (2)若二面角P－CD－A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 解 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC＝ED. 所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE. 所以CM∥平面PBE. (说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)法一 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD. 于是CD⊥PD. 从而∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.所以∠PDA＝45°. 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD. 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2. 作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz， 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0). 所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2). 设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z). 5 / 11 由得设x＝2，解得n＝(2，－2，1). 设直线PA与平面PCE所成角为α，则sin α＝＝＝. 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为. 法二 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD. 所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角. 所以∠PDA＝45°. 设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2. 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH. 易知PA⊥平面ABCD， 从而PA⊥CE.且PA∩AH＝A，于是CE⊥平面PAH.又CE⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面PAH. 过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1， 所以AH＝. 在Rt△PAH中，PH＝＝. 所以sin∠APH＝＝. 4.(20xx·浙江卷)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3. (1)求证：BF⊥平面ACFD； (2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值. (1)证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示. 6 / 11 因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC. 又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， 且CK∩AC＝C， 所以BF⊥平面ACFD. (2)解 法一 如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形. 取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC. 以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向， 建立空间直角坐标系O－xyz. 由题意得B(1，0，0)，C(－1，0，0)，K(0，0，)，A(－1，－3，0)，E，F. 因此，＝(0，3，0)，＝(1，3，)，＝(2，3，0). 设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2). 3y1＝0，由得 x1＋3y1＋3z1＝0，取m＝(，0，－1)； 2x2＋3y2＝0，由得 x2＋3y2＋3z2＝0，取n＝(3，－2，). 于是，cos〈m，n〉＝＝. 7 / 11 所以，二面角B－AD－F的平面角的余弦值为. 法二 过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ. 因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK. 所以∠BQF是二面角B－AD－F的平面角. 在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得AK＝，FQ＝.在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝， 得cos∠BQF＝. 所以，二面角B－AD－F的平面角的余弦值为. 5.(20xx·广州二模)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点. (1)求证：EF⊥BC； (2)求二面角E－BF－C的正弦值. 法一 (1)证明 由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂 直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0). 因而E(0，，)，F， 所以＝，＝(0，2，0)， 因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC. (2)解 平面BFC的一个法向量为n1＝(0，0，1). 设平面BEF的法向量n2＝(x，y，z)， 又＝，＝. 8 / 11 由得其中一个n2＝(1，－，1). 设二面角E－BF－C大小为θ，且由题意知θ为锐角，则 cos〈n1，n2〉＝＝，∴cos θ＝， 因此sin θ＝＝，即所求二面角的正弦值为. 法二 (1)证明 过E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF. 由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC. 所以∠EOC＝∠FOC＝， 即FO⊥BC. 又EO⊥BC，EO∩FO＝O，EO，FO⊂平面EFO，因此BC⊥平面EFO， 又EF⊂平面EFO， 所以EF⊥BC. (2)解 过O作OG⊥BF，垂足为G，连接EG. 由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC， BF⊂平面BDC，∴BF⊥EO， 又OG⊥BF，又EO∩OG＝O， 所以BF⊥平面EOG，又EG⊂平面EOG， 所以EG⊥BF. 因此∠EGO为二面角EBFC的平面角. 在△EOC中，EO＝EC＝BC·cos 30°＝， 由△BGO∽△BFC知，OG＝·FC＝， 因此tan∠EGO＝＝2，从而sin∠EGO＝，即二面角EBFC的正弦值为. 9 / 11 6.(20xx·北京二模)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点.在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG； (2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长. (1)证明 在正方形AMDE 中，因为B是AM的中点， 所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE， 所以AB∥平面PDE. 因为AB⊂平面ABF， 且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG. (2)解 因为PA⊥底面ABCDE， 所以PA⊥AB，PA⊥AE. 如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，＝(1，1，0). 设平面ABF的法向量为 n＝(x，y，z)，则 n·→AB＝0，x＝0，即 →y＋z＝0.n·AF＝0，令z＝1，则y＝－1. 所以n＝(0，－1，1). 10 / 11 设直线BC与平面ABF所成角为α， 则cos〈n，〉＝＝－.∴sin α＝， 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为. 设点H的坐标为(u，v，w). 因为点H在棱PC上， 所以可设＝λ(0＜λ＜1)， 即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)， 所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ. 因为n是平面ABF的法向量，所以n·＝0， 即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0. 解得λ＝，所以点H的坐标为. 所以PH＝＝2. 11 / 11
