3概率的基本性质

3.1.3概率的基本性质

【学习目标】1•了解互斥事件概率的加法公式； 特征求概率.

2•理解事件的关系与运算；

3•会用对立事件的

问题导学 --------------------------- 1

知识点一事件的关系

思考 一粒骰子掷一次，记事件 A= ｛出现的点数大于 4｝，事件B=｛出现的点数为5｝，则 事件B发生时，事件 A一定发生吗？ 答案 因为5>4，故B发生时A 一定发生.

梳理 一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事件 旦一定发生，这时称事件B 包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作B?A（或A? B） •与集合类比，如图所示.

不可能事件记作？，任何事件都包含不可能事件.如果事件 A发生，则事件B 一定发生，反

之也成立，（若B?A,且A? B）,那么称事件 A与事件B相等，记作 A= B. 知识点二事件的运算

思考 一粒骰子掷一次，记事件

C= ｛出现的点数为偶数｝，事件D = ｛出现的点数小于 3｝,

C, D至少有一个发生时呢？

当事件C, D都发生时，掷出的点数是多少？事件

答案 事件C, D都发生，即掷出的点数为偶数且小于 3,故此时掷出的点数为 2,事件C, D至少有一个发生，掷出的点数可以是 梳理 一般地，关于事件的运算，有下表：

124,6.

定义 若某事件发生当且仅当事件 事件的 运算 父事件 并事件 A发生或事件B发 表示法 生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或 和事件） 若某事件发生当且仅当事件 A发生且事件B发 AU B（或 A+ B） A n B（或 AB） 生，则称此事件为事件 A与事件B的父事件（或 积事件） 知识点三互斥与对立的概念 思考 一粒骰子掷一次，事件E = ｛出现的点数为3｝，事件F = ｛出现的点数大于 3｝，事件G

=｛出现的点数小于 4｝，贝y E n F是什么事件？ EU F呢？ Gn F呢？ G U F呢？ 答案 En F =不可能事件，E U F = ｛出现的点数大于 2｝, E, F互斥，但不对立； Gn F =不可能事件，GU F =必然事件，G, F互斥，且对立. 梳理 一般地，有下表：

若An B为不可能事件，那么称事件A 互斥事件 与事件B互斥 若 An B = ?，且 A U B= U,贝U A 与B对立 若An B = ?，贝U A与B互斥 对立事件 若An B为不可能事件，A U B为必然 事件，那么称事件 A与事件B互为对 立事件 知识点四概率的基本性质

思考 概率的取值范围是什么？为什么？

答案 概率的取值范围是 0〜1之间，即OW P(A)W 1;由于事件的频数总是小于或等于试验 的次数，所以频率在 0〜1之间，因而概率的取值范围也在 梳理概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围为[0,1]. ⑵必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0. ⑶概率的加法公式：如果事件

A与事件B互斥，则P(A U B)= P(A) + P(B).

0〜1之间.

特别地，若A与B为对立事件，则 P(A)= 1 — P(B). P(A U B)= 1, P(A n B)= 0.

n题型探究—

类型一

事件关系的判断

例1在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：

A= ｛出现1点｝; B= ｛出现2点｝; C= ｛出现3点｝; D = ｛出现4点｝; E = ｛出现5点｝; F =

｛出现6点｝ ; G = ｛出现的点数不大于1｝ ; H = ｛出现的点数小于5｝ ; I = ｛出现奇数点｝; J = ｛出现偶数点｝ •请根据这些事件，判断下列事件的关系： (1) _________ B __________________ H ; (2)D ___________J; (3)E I; (4)A __________ G.

答案⑴？ (2)? ⑶？ (4)=

解析 当事件B发生时，事件 H必然发生，故B? H ;同理D? J, E? I•易知事件A与事件 G相等，即A = G. 反思与感悟 (1)不可能事件记作 ?，任何事件都包含不可能事件．

(2) 事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记 忆． (3) 事件A也包含于事件 A,即A? A.

(4) 两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件， 发生．

跟踪训练 1 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 从 40张扑牌 (红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从 1 到 1 0)中任意抽取 1 张． ( 1 ) “抽出红桃”与“抽出黑桃” ; (2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3) “抽出的牌的牌面数字为

5 的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于

9”．

相等的事件A、B总是同时发生或同时不

解 (1)是互斥事件，不是对立事件．

理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出红桃 ”和“抽出黑桃 ”是不可能同时发 生的，所以是互斥事件．由于还可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生， 所以二者不是对立事件． (2) 既是互斥事件，又是对立事件．

理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出红色牌 ”与“抽出黑色牌 ”不可能同时 发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3) 不是互斥事件，也不是对立事件．

理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出的牌的牌面数字为 5的倍数 ”与“抽出 的牌的牌面数字大于 9”这两个事件可能同时发生， 如抽出的牌的牌面数字为 10，因此二者 不是互斥事件，当然也不可能是对立事件． 类型二 事件的运算

例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取 3个球，设事件 A={3个球中有1个红球 2个白球},事件B= {3个球中有2个红球1个白球}，事件C = {3个球中至少有1个红球}, 事件D = {3个球中既有红球又有白

球 }.

求：(1)事件 D 与 A， B 是什么样的运算关系？ （2）事件C与A的交事件是什么事件？

解（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D = AU B. （2）对于事件C,可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球， 故 C n A= A. 引申探究

本例中，若设事件E=｛3个红球｝,事件F =｛3个球中至少有一个白球｝,那么事件C与B, E是什么运算关系？ C与F的交事件是什么？

解 由事件C包括的可能结果有 1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，

故B? C, E? C,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个 白球，所以C n F = ｛1个红球2个白球，2个红球1个白球｝ = D. 反思与感悟

（1）利用事件间运算的定义•列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分

析并利用这些结果进行事件间的运算.

（2）利用Venn图•借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把 这些结果在图中列出，进行运算. 跟踪训练2掷一枚骰子，下列事件：

A= ｛出现奇数点｝ , B= ｛出现偶数点｝ , C= ｛点数小于3｝, D = ｛点数大于2｝, E= ｛点数是3 的倍数｝ •

求：（1）An B, BC. （2）AU B, B+ C. ⑶ D , AC, D + E .

解 （1）An B= ?, BC = ｛出现 2 点｝ • （2）AU B = ｛出现 1,2,3,4,5 或 6 点｝, B+ C = ｛出现 1,2,4 或 6 点｝,

⑶D = ｛点数小于或等于2｝ = ｛出现1或2点｝, AC = ｛出现1点｝,

D + E = ｛出现 1,2,4 或 5 点｝ • 类型三用互斥、对立事件求概率

1

例3甲、乙两人下棋，和棋的概率是

2

1 3

1,乙获胜的概率为 彳，求：（1）甲获胜的概率；（2）甲

不输的概率.

1

解(1) “甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以

“甲获胜”的概率为1

_ 1 = 1

―3— 6. (2)方法一 不输)=1+1= 2.

6

2 3

1 2

方法二 “甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)=1 -3=3故甲不输

2

的概率为2.

3

反思与感悟

(1)只有当A、B互斥时，公式 P(AU B) = P(A) + P(B)才成立；只有当 A、B互 “甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以

P(甲

为对立事件时，公式 P(A)= 1 — P(B)才成立.

(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此 互斥的事件的概率的和， 件的对立事件，再用公式

运用互斥事件的概率加法公式计算； P(A) = 1 — P(入)求解.

A=“抽到一等品”，事件 B = “抽到

二是间接求解，先找出所求事

跟踪训练3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 二等品”，事件 C= “抽到三等品”. 到的不是一等品”的概率为 ( A. 0.20 B. 0.39 C. 0.35 D. 0.90 答案 C 解析

：•抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，

)

已知P(A) = 0.65, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1，则事件“抽

而P(A)= 0.65 ,•••抽到的不是一等品

的概率是1 — 0.65 = 0.35.

当堂训练

1. 从1,2,…，9中任取两数，其中： ①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇 数和两个数都是奇数； ③至少有一个奇数和两个数都是偶数； ④至少有一个奇数和至少有 个偶数. 在上述各对事件中，是对立事件的是

(

)

A .① B .②④ C.③ D .①③ 答案 C

解析 从1,2 ,…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只 有③中的两个事件才是对立事件. 2.

球，摸出红球的概率是 0.42 , 摸出白球的概率是

0.28，那么摸出黑球的概率是 (

)

口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球，从中摸出1个

A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7 答案 C 解析

•/摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，

•••摸出黑球的概率是 1 — 0.42- 0.28

=0.3，故选 C.

3•中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率 为3 为7, 答案

乙夺得冠军的概率为 丄，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 19 28

由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军

”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得

4

.

解析

冠军”，但这两个事件不可能同时发生， 即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进

3 1 19

行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 3+1=磐. /

4 28

4•如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环n、川构成，射手命中I、n、川的 概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 _______________ .

答案 0.10 解析

\"射手命中圆面I”为事件A,\"命中圆环n”为事件B,\"命中圆环川”为事件C,

“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为 P(A U BU C)= P(A)+ P(B)

+ P(C) = 0.35+ 0.30 + 0.25 = 0.90.

因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为 P(D) = 1 — P(AU BU C)= 1— 0.90 = 0.10.

5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 求：(1)他乘火车或飞机去的概率； (2)他不乘轮船去的概率. 解 设乘火车去开会为事件 A,乘轮船去开会为事件

B,乘汽车去开会为事件 C,乘飞机去

0.3、0.2、0.1、0.4.

开会为事件D，它们彼此互斥.

(1) P(A+ D) = P(A)+ P(D) = 0.3+ 0.4 = 0.7. (2) P= 1 — P(B)= 1— 0.2 = 0.8.

-规律与方法 ---- ---------------------------------------- ■

1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一 次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；

而两

个对立事件必有一个发生， 但是不可能两个事件同时发生， 也不可能两个事件都不发生. 所 以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.

2•互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事 件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式 3. 求复杂事件的概率通常有两种方法： (1) 将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2) 先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.

P(A U B)= P(A) + P(B).

40分钟课时作业

一、选择题

1•打靶3次，事件Ai表示“击中i发” A.全部击中 C.至少击中2发 答案 B

解析 A“U A2U A3所表示的含义是 A1, A2, A3这三个事件中至少有一个发生， 发，2发或3发，故选B.

2•抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件 A为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B为“落地 时向上的点数是偶数”，事件 C为“落地时向上的点数是 2的倍数”，事件 D为“落地时 向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是 ( ) A . A 与 B B . B 与 C C . A 与 D D . B 与 D 答案 C

解析 A与D互斥，但不对立.故选

C.

即可能击中1

其中 i = 0,1,2,3.那么 A= A1U A2U A3表示( B •至少击中1发 D .以上均不正确

)

3.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于 4.8 g的概率为0.3,质量不小于4.85 g的概

率是0.32，那么质量在［4.8,4.85）内的概率是（ A. 0.62 B. 0.38 C. 0.70 D. 0.68 答案 B 解析

利用对立事件的概率公式可得

）

P= 1 — （0.3+ 0.32） = 0.38.

4. 袋内装有红球 3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件 是（） A .至少有一个白球与都是白球 B .至少有一个白球与至少有一个红球 C .恰有一个红球与一个白球一个黑球 D .至少有一个红球与红、黑球各一个 答案 C

解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可.

5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加 公益活动的概率为（

1 A.8 答案 解析

由题意知 4位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动，

1 1

16 , 4位同学都选周日的概率为

1 = 14= 7，故选 D.

） 7 D.7

3 5

B.8 C.8

其中4位同学都

选周六的概率为

1

畚 故周六、周日都有同学参加公益活动的

概率 P = 1 —116

16 16 8

6•某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事 件的有（

）

① 恰有一名男生和全是男生;

② 至少有一名男生和至少有一名女生; ③ 至少有一名男生和全是男生； ④ 至少有一名男生和全是女生. A .①③④ B .②③④ C .②③ D .①④ 答案 D

解析 ①是互斥事件.恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生， 与全是男生不可能同时发生； ②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件.至少有一

它

名男生与全是女生不可能同时发生. 、填空题

7•袋中有形状、大小都相同的

4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球•从中一次随机

摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 _________________ •

5

答案5

6

1

解析 由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为 二，故所求概率P= 1 — ■-=-.

6

8.在30瓶饮料中, 保质期内的概率为 答案

28 145

有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取 351 435,

则至少取到

1瓶已过保质期的概率为

6 6

2瓶，已知所取的2瓶全

1 5

解析 事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料 ”是 对立事件，根据对立事件的概率公式得

28 145

5

9.抛掷一枚骰子两次，若至少有一个

1点或2点的概率为5则没有1点或2点的概率是

解析 记事件A为\"没有1点或2点”，B为\"至少有一个1点或2点”，则A与B是互

5 4

斥事件，且 A与B是对立事件，故 P(A)= 1 — P(B)= 1 — 5= &

10•给出四对事件：①某人射击 1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击 1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击 1次，“两人均射中目标” 与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击

1次，“至少有1人射中目标”与“甲

射中目标，但乙未射中目标” •其中是互斥事件的有 _____________________ 对. 答案 2

解析 某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生， 故①是互 斥事件；甲、乙两人各射击 1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生，故 ②不 是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两 个事件不可能同时发生， 故③是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标” 与“甲射中目标，但乙未射中目标 ”，前者包含后者，故 ④

不是互斥事件•综上可知， ①③ 是互斥事件，故共有 2对事件是互斥事件.

三、解答题 11 •根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示:

LCUU

10击中环啟

(1)确定图中a的值;

(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于

7的概率(频率看成概率使用)•

解 ⑴由题图可得 0.01 + a+ 0.19 + 0.29+ 0.45= 1,所以 a= 0.06.

(2)设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击, 击中环数为 8,9,10.所以 P(A)= 0.29+ 0.45+ 0.01 = 0.75. 12.

世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战， 队员射击一次命中 7〜10环的概率如下表所示：

命中环数 概率

国家射击队的队员为在经过近期训练，某

10 0.32 9 0.28 8 0.18 7 0.12 求该射击队员在一次射击中： (1) 命中9环或10环的概率； (2) 至少命中8环的概率； ⑶命中不足8环的概率.

解 记事件“射击一次，命中k环”为A«k€ N , kw 10),则事件Ak之间彼此互斥.

(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A,那么当A9, A10之一发生时，事件A发生， 由互斥事件概率的加法公式得

P(A) = P(Ag)+ P(A10)= 0.28+ 0.32 = 0.6.

⑵设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8,A9,A10之一发生时，事件B发生， 由互斥事件概率的加法公式得

P(B) = P(A8)+ P(A9) + P(A10) = 0.18 + 0.28+ 0.32= 0.78.

(3) 设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件，故 P(C)= 1- P(B)= 1 -0.78 = 0.22. 13.

奖的 事件分别为A, B, C,求： (1) P(A), P(B), P(C)； (2) 1张奖券的中奖概率；

(3) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

1 10 1

解 (1)P(A)=

, P(B)= 1 000 1 000 100'

50

P(C) = 1 000= 20.

某商场有奖销售中，购物满 100元可得1张奖券，多购多得.1 000

张奖券为一个开奖单 位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个•设1张奖券中特等奖，一等奖，二等

= ,

1

1 1 1

故事件A, B, C的概率分别为 而，而，20. (2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为 M，贝U M = AU B U C.

•/ A, B, C两两互斥， ••• P(M) = P(A U BU C)= P(A) + P(B) + P(C) _ 1 + 10+ 50 _ 61 = 1 000 = 1 000.

61

故1张奖券的中奖概率为--—.

1 000

(3)

设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖 ”为事件N,则事件

N与“1张奖券中特等奖或中 一等奖”互为对立事件， • P(N) = 1-P(AU B) = 1-盘 + 盘=器. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为

1 000-