第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的概念与几种常见的数集
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.(2021广东广州广雅中学高一月考)下列关系中正确的是( ) A.√2∉R C.∈Q
31
B.0∈N* D.√π2∈Z
答案C 解析√2属于实数,因此A选项错误;N*是正整数集,因此0∉N*,故B选项错误;是有理数,因此C
31
选项正确;由于√π2=π是无理数,Z是整数集,因此D选项错误.故选C. 2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( ) A.3.14
B.-5
C.
73
D.√7
答案D 解析√7是实数,但不是有理数,故选D.
3.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是( ) A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a=A 答案C 解析由题意知A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C. 4.(多选题)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是( ) A.1 B.-2 C.-1 D.2 答案ABD 解析由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,结合选项知a不可能是ABD.
5.(2021山东荣成高一期中)由实数x,-x,|x|,-√𝑥2,√x3所组成的集合,最多含元素个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案A 解析由题意可知-√𝑥2=-|x|,√𝑥3=x且|x|=±x,所以以实数x,-x,|x|,-√𝑥2,√𝑥3为元素所组成的集合,最多含有x,-x两个元素.故选A.
6.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为 . 答案1 解析由题意得x+2=1或x2=1,所以x=1或x=-1.
当x=-1时,x+2=x2,不符合题意,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,满足题意.故x=1. 7.(2020上海高一期中)已知集合M中有3个元素1,m+1,m2+4,如果5∈M,且-2∉M,那么m= . 答案4或1或-1 3
3
3
解析由题意知,5∈M,且-2∉M,所以若m+1=5,解得m=4;若m2+4=5,解得m=±1,经验证,均符合题意,所以m的值为4或1或-1.
等级考提升练
8.(2020陕西榆林高一期中)设a,b∈R,集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,,b.若集合A和集合B是相等的,则b-a=( )
𝑎𝑏
A.2 答案A B.-1
𝑏
C.1 D.-2
解析由已知,a≠0,故a+b=0,则=-1,
𝑎
所以a=-1,b=1,所以b-a=2. 9.若集合A具有以下性质: (1)0∈A,1∈A;
(2)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.
𝑥1
则称集合A是“好集”.下列结论正确的个数是( ) ①若集合B中有3个元素-1,0,1,则集合B是“好集”; ②有理数集Q是“好集”;
③设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A. A.0 B.1 C.2 D.3 答案C 解析①集合B不是“好集”,假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,-1-1=-2∉B,这与-2∈B矛盾.②有理数集Q是“好集”,因为0∈Q,1∈Q,对任意的x∈Q,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,𝑥∈Q,所以有理数集Q是“好集”.③因为集合A是“好集”,所以0∈A,若x∈A,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.
10.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a为( ) A.2 B.4 C.0 D.6 答案AB 解析因为集合A中含有3个元素2,4,6,所以0∉A.由题意当a∈A时,6-a∈A,所以当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2满足条件;
当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4满足条件; 当a=6∈A时,6-a=0∉A,则a=6不满足条件. 综上所述,a=2或4.
11.(多选题)下列结论正确的是( ) A.若a∈N,则-a∉N B.若a∈Z,则a2∈Z C.若a∈Q,则|a|∈Q
3
D.若a∈R,则√𝑎∈R 答案BCD 解析A错误.比如,0∈N,-0∈N.其余均正确.
1
12.已知集合A中含有3个元素a,0,-1,集合B中含有3个元素c+b,相等的,则a= ,b= ,c= . 答案1 -2 2
解析∵集合A和集合B是相等的,又∵𝑎+𝑏≠0,
∴a=1,c+b=0,
1𝑎+𝑏
1
1
𝑎+𝑏
,1,且集合A和集合B是
=-1,∴b=-2,c=2.
13.集合A有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,能否根据上述条件求出实数a的值?若能,则求出a的值;若不能,则说明理由.
解∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9.若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.
若a2=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;
B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去. 当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9;B中的元素为9,-8,4,符合题意. 综上所述,满足条件的a存在,且a=-3.
新情境创新练
14.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则(1)若3∈A,求集合A; (2)证明:若a∈A,则1-𝑎∈A;
(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由. (1)解∵3∈A,∴
11-3
12
1
23
1
1223
1
11-𝑎
∈A,且1∉A.
=-∈A,∴
1
11-(-)
2
=∈A,∴2=3∈A,∴A={3,-,}.
1-3
(2)证明∵a∈A,∴
∴
1
11-1-𝑎
1-𝑎
∈A,
=
1-𝑎
=1-𝑎∈A. -𝑎
1
(3)解不能.理由如下,
假设集合A只有一个元素,记A={a},则a=
11-𝑎
,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.
∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解.这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,故假
设不成立,即集合A中不能只有一个元素.
