(经典)高中数学最全数列总结及题型精选

高中数学：数列及最全总结和题型精选

一、数列的概念

（1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项,……，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，……，an，……，简记作 an.

(2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这

个数列的通项公式。

例如:①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ,…

②:1，，，，… 说明：

①an表示数列，an表示数列中的第n项，an= fn表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,an= (1)=n111123451,n2k1(kZ)；

1,n2k ③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4，1。41，1。414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1开始

依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),……，f(n)，……．通常用an来代替fn，其图象是一群孤立点。

(4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1）1,2,3，4，5，6，… （2）10, 9, 8， 7， 6, 5, … （3） 1， 0， 1， 0， 1， 0, … (4)a， a, a, a， a,…

（5）数列｛an}的前n项和Sn与通项an的关系：an(n1)S1

SnSn1(n≥2)二、等差数列 (一）、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)

例：等差数列an2n1，anan1 （二）、等差数列的通项公式：ana1(n1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0 为递减数列。

，则a12等于（ ） 例：1.已知等差数列an中，a7a916，a41A．15 B．30 C．31 D．

2.{an}是首项a11，公差d3的等差数列,如果an2005，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670

3.等差数列an2n1,bn2n1，则an为 bn为 （填“递增数列\"或“递减数列\"）

(三)、等差中项的概念：

1

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.其中A a，A，b成等差数列Aab 2ab 即：2an1anan2 （2ananmanm） 2例：1．(06全国I）设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315,a1a2a380，则a11a12a13 ( ）

A．120 B．105 （四）、等差数列的性质:

C．90 D．75

（1)在等差数列an中，从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列; （3）在等差数列an中,对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；

nm(4）在等差数列an中，若m，n,p，qN且mnpq，则amanapaq； （五）、等差数列的前n和的求和公式：Sn2（SnAnBnn(a1an)n(n1)1d（a1）n。na1dn22222(A,B为常数)an是等差数列 )

(a1an)n(aman(m1))n递推公式：Sn 22 例：1。如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7 （A)14 （B)21 （C）28 （D）35

2.（2009湖南卷文)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23,a611，则S7等于（ ） A．13 B．35 C．49 D． 63

3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= 4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 5。已知等差数列an的前n项和为Sn,若S1221，则a2a5a8a11 6。（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则

S9 S57。已知an数列是等差数列，a1010，其前10项的和S1070，则其公差d等于（ )

A．23112B． C。 D。

3338.（2009陕西卷文)设等差数列

an的前n项和为sn，若a6s312,则an

Sn｝的前nn9．（00全国）设｛an｝为等差数列,Sn为数列{an｝的前n项和,已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛项和，求Tn。

2

(六).对于一个等差数列：

S奇an； S偶an1Sn(2)若项数为奇数，设共有2n1项,则①S奇S偶ana中;②奇。

S偶n1（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd; ②

1。一个等差数列共2011项,求它的奇数项和与偶数项和之比__________

2。一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差d

3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是25,则它的首项与公差分别是_______

2（七）。对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列.

例：1。等差数列｛an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )

A。130 B.170 C。210 D。260

2.一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60，则前3n项的和为 。

3．已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10,则前110项和为 4。设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9= 5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和,若

S31S＝，则6＝

S12S63D．

A．

113 B． C．

38101 9(八）．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：

an1and(常数）（nN）an是等差数列

②中项法：

2an1anan2③通项公式法：

（nN)an是等差数列

anknb(k,b为常数)an是等差数列

(A,B为常数)an是等差数列

④前n项和公式法：

SnAn2Bn例：1。已知数列{an}满足anan12,则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}的通项为an2n5，则数列{an}为 （ )

A。等差数列 B。等比数列 C。既不是等差数列也不是等比数列 D。无法判断

23.已知一个数列{an}的前n项和sn2n4，则数列{an}为（ ）

A。等差数列 B.等比数列 C。既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

24。已知一个数列{an}的前n项和sn2n,则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D。无法判断 5.已知一个数列{an}满足an22an1an0，则数列{an}为（ )

A.等差数列 B。等比数列 C。既不是等差数列也不是等比数列 D。无法判断

3

6。数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0 （nN） ①求数列an的通项公式；

2

7．(01天津理，2)设Sn是数列｛an}的前n项和,且Sn=n，则｛an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B。等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D。既非等比数列又非等差数列 （九）.数列最值

(1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值;

2(2）Sn最值的求法:①若已知Sn,Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值;

可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出an中的正、负分界项，即:

an0an0若已知an，则Sn最值时n的值(nN）可如下确定或。

a0a0n1n1 例:1．等差数列an中,a10，S9S12，则前 项的和最大。

2．设等差数列an的前n项和为Sn，已知 a312，S120，S130 ①求出公差d的范围，

，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，

3．（02上海）设｛an｝(n∈N)是等差数列，Sn是其前n项的和,且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ） ．．A.d＜0 B.a7＝0 C。S9＞S5 4．已知数列an的通项

*

D。S6与S7均为Sn的最大值

n98n99（nN）,则数列an的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。 （1）数列{an}从哪一项开始小于0？

（2)求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．

(n1)S1（十).利用an求通项．

SS(n2)n1n21.数列{an}的前n项和Snn1．（1)试写出数列的前5项；(2)数列{an}是等差数列吗？（3)你能写出数列{an}的通项公式吗？

4

2。设数列{an}的前n项和为Sn=2n,求数列{an}的通项公式；

2

3.(2010安徽文）设数列{an}的前n项和Snn2,则a8的值为（ ） （A） 15 (B) 16 (C) 49 (D） 4、2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1的通项公式．

三、等比数列 等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，．．．．．．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，即：an1:anq(q0) （一）、递推关系与通项公式

1Sn，n=1，2,3，……,求a2，a3,a4的值及数列{an}3递推关系：an1anq通项公式：ana1qn1 推广：anamqnm1． 在等比数列an中，a14,q2,则an 2． 在等比数列an中，a712,q32,则a19_____. 3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8,a1＝,，则公比q为（ ） （A）2 (B）3 (C）4 (D）8 4。在等比数列an中，a22，a554，则a8=

5。在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）

A 33 B 72 C 84 D 1

（二)、等比中项:若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac，注：bac是成等比数列的必要而不充分条件.

例：1.23和23的等比中项为( )

2(A)1 (B)1 (C)1 (D)2

a12且a1,a3,a6成等比数列,则an的前n项和Sn=2.(2009重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列，

（ )

5

n27nn25nn23n C． A． B．443324(三）、等比数列的基本性质，

D．nn

21。（1)若mnpq，则amanapaq(其中m,n,p,qN) （2）qnman2，ananmanm(nN) am（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.

2例:1．在等比数列an中，a1和a10是方程2x5x10的两个根,则a4a7（ ）

2511(A) (B) (C) (D)

22222。 在等比数列an，已知a15，a9a10100，则a18= 3.等比数列{an}的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2 A．12 B．10 C．8 D．2+log35 4。（2009广东卷理)已知等比数列时,

log3a10（ ）

{an}满足

an0,n1,2,2naa2(n3)，则当n1，且52n5log2a1log2a3log2a2n1 （ ）

222(n1)(n1)n(2n1)nA。 B. C. D。

(四）、等比数列的前n项和，

(q1)na1nSna1(1q)a1anq1q1q(q1)

例：1。已知等比数列{an}的首相a15，公比q2，则其前n项和Sn 2．（2006年北京卷）设f(n)2222A．

2n(81) 723n10(nN)，则f(n)等于（ ）

2n12n32n4B．(81) C．(81) D．(81)

77747103．(1996全国文，21）设等比数列{an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q;

（五）. 等比数列的前n项和的性质

若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.

例：1.(2009辽宁卷理）设等比数列｛

an}的前n 项和为

Sn，若

S6S3=3 ，则

S9S6 =

6

78A. 2 B. 3 C。 3 D.3

2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（ ） A．83 B．108 C．75 D．63 3。已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m (六)、等比数列的判定法 （1)定义法：

an1q（常数）an为等比数列； an2（2）中项法：an1anan2(an0)an为等比数列；

n（3）通项公式法:ankq(k,q为常数）an为等比数列; nan为等比数列。 (4）前n项和法:Snk(1q)（k,q为常数）Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列.

n例：1。已知数列{an}的通项为an2，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B。等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}满足an1anan22(an0)，则数列{an}为 （ )

A。等差数列 B.等比数列 C。既不是等差数列也不是等比数列 D。无法判断

n13.已知一个数列{an}的前n项和sn22,则数列{an}为（ )

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

四、求数列通项公式方法

（1)．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 例：1已知等差数列{an}满足：a37,a5a726， 求an；

2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6，求数列{an}的通项公式

3.已知数列{an}满足a12，a24且an2anan1 （nN），求数列an的通项公式;

22

4. 已知数列{an}满足a12，且an15

5。数列已知数列an满足a1n12(an5n)(nN）,求数列an的通项公式；

1,an4an11(n1).则数列an的通项公式= 27

(2）累加法

1、累加法 适用于：an1anf(n)

a2a1f(1)若an1anf(n)(n2)，则

a3a2f(2) an1anf(n)

两边分别相加得 an1a1例:1.已知数列{an}满足a1

f(n)

k1n1,2an1an14n12,求数列{an}的通项公式.

，a11，求数列{an}的通项公式。 2. 已知数列{an}满足an1an2n1

n3. 已知数列{an}满足an1an231，a13，求数列{an}的通项公式.

（3）累乘法

适用于： an1f(n)an

若

an1aaf(n)，则2f(1)，3f(2)，ana1a2a，n1f(n) annan1两边分别相乘得,a1f(k)

a1k1n例:1. 已知数列{an}满足an12(n1)5an，a13,求数列{an}的通项公式.

2.已知数列an满足a1

3。已知a13,an1

（4）待定系数法

8

2nan，求an. ，an13n13n1an (n1),求an. 3n2

适用于an1qanf(n)

例:1. 已知数列{an}中，a11,an2an11(n2)，求数列an的通项公式。

2.(2006，重庆,文,14）在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________

*3.已知数列an满足a11,an12an1(nN).求数列an的通项公式；

（5）递推公式中既有Sn

分析：把已知关系通过anS1,n1转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。

SnSn1,n21Sn，n=1,2，3，……，求a2,a3,a4的值及数列{an}31.(2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an1的通项公式．

*2.（2005山东卷）已知数列an的首项a15,前n项和为Sn,且Sn1Snn5(nN),证明数列an1是

等比数列．

（6)取倒数法。

五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和.

na1(q1)n(a1an)n(n1)Snna1d Sna1(1qn) 公比含字母时一定要讨论

(q1)221q

9

2．错位相减法求和:如:an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.2例：1．求和Sn12x3x

nxn1

2。求和：Sn123n23n aaaa

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

1111111()

n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1 11111111()[]

n(n2)2nn2 n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2) nn!(n1)!n!

n11(n1)!n!(n1)!

数列an是等差数列，数列1的前n项和

anan11，则S5等于（ )

n(n1)例:1。数列{an}的前n项和为Sn，若anA．1 B．

511 C． D． 66302.已知数列{an}的通项公式为an

4.已知数列{an}的通项公式为an＝ 5．求1

1，求前n项的和；

n(n1)11n1,设Tna1a3a2a421，求Tn．

anan21111,(nN*)。 121231234123n3。已知等差数列{an}满足a20， a6a810。 （1）求数列{an}的通项公式及Sn

10

（2）求数列{

an}的前n项和 2n17.已知等差数列{an}满足:a37,a5a726，{an}的前n项和Sn （1)求an及Sn （2）令bn1an12(nN）,求数列{bn}前n项和Tn

11