探讨求极限的方文

[摘要]: 高等数学的理论与方法越来越被广泛地应用于工业、农业、军事和科学技术领域．而极限则是研究高等数学的主要方法之一，掌握了极限的求法就为学好高等数学打下了扎实的基础、本文着重谈谈求极限的方法．

[关键词]: 极限 数列 函数 方法

极限最早的观念，在国外有所谓“穷竭法”，在中国有所谓割圆术，即把圆近似地割成边数很多、边长很细的正多边形来计算圆面积，魏晋时代的刘徽就说过：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。后来，和微积分同时产生而用得最多的一种运算，就是无穷多项相加

a1a2an.

怎样理解这无穷多项相加？这只能理解为有限项相加，但越加越多，最后看他的变化趋势，这就是所谓的数列极限。把数列极限的思想用来观察求瞬时速度的推导，研究平均速度的变化趋势，从而建立一套从平均速度求瞬时速度的计算方法，这就是所谓的函数极限。

在研究求极限的方法之前，我们先来看一些基本的概念。 1、数列的极限 我们来看以下几个例子

xn1,n。容易看出，当n无限增大时，xn无限接近于0，因而xn的极限为

例1 0。

(1)nxnn 。当n无限增大时，他的值时而为正，时而为负，但总的趋势例2

仍然是无限地接近于0这个数，因此xn的极限也是0。

xnn1n，即

例3

245101102 2，3，3，4，….，100，101,…

当n无限增大时，xn越变越小，无限地接近1，因此xn的极限是1。

22xnn例4 。当n无限增大时，n也无限增大，并不是无限接近一个常数，因

此说他没有极限。 例5

xn1(1)n。他在0和2两个数中不停地跳动，也不是无限地接近一个

常数，因此也没有极限。

现在我们可以来分析一下，一般地说，当n无限增大时，xn无限接近于a，确切的意思究竟是什么？

两个数接近的程度可以用他们的差的绝对值（在数轴上，就是这两个点之间的距

1离）来衡量。因此，以xn=为例，说xn与0很接近，即是说xn与0的距离xn0n很小，例如

xn011n2 11n3

当n>2时，

当n>3时，… …

xn0当n>N时，

xn011nN

上面左边一列是n增大的程度。相应地，右边一列是xn与0的接近程度。n 增大的程度不同，则xn与0的接近程度也不同。n只要大到比N大，就可以保

1证xn与0的距离小于N。直观形象地说，如果把数列

x1,x2,x3,,xN,xN1,xN2,,,,

从N+1项起后面的所以项叫做数列xn的尾巴，则尾巴中的每项与0的距离都

1小于N。

我们已经看到，对于足够大的N之后的所有的n，可以使

xn0小到一定程度，

但还不能说明xn0无限小。如何反映“无限”二字那？我们说当n无限增大时，

xn无限接近于0，即是说xn与0的距离

只要n足够大（n>N），xn0可以任意小，

可见“无限”能用距离的任意性来反映。即对于任意的正数，不论他多么小，只要N足够大，对于所以的n>N，都能保证

xn0xn0。事实上，要使

1n 11只要n>，故取N=[]，则对大于N的所有正整数n，上式总成立。

我们将上面的语言抽象化，便可以得到下面的定义。

定义1 设xn是一数列，a是一实数，若对于任意给定的正数，存在正整数N，当n>N时，都有

xna

则称a 是数列xn当n趋于无穷时的极限，或称数列xn收敛，且收敛于a，记为

limxnan

或 xna(n).

没有极限的数列称为发散数列。

根据上面的定义，我们来看一下这个例子：

1limsinn.例6 求nn

10nn解：因为，而sinn是有界数列，所以

lim1limsinn0nn

在这个例子当中，我们运用了这样一个定理：

定理 1 若xn是无穷小量，yn是有界数列，则xnyn是无穷小量。 同样我们有：

4n21lim2.n2n5n6例7 求

lim解：

4n1limn2n25n6n2421n2562nn

11)4lim2nnn2n2.5656lim(22)2limlim2nnnnnn n

lim(4定理2（保序性）若nlimxna,limynbn，且ab，则存在N，当nN时，有

xnyn.

定理3（夹迫性）如果对任意正整数n，有

xnynzn 且

limxnlimznann，则nlimyn存在且等于a.

相应的例子： 例8设

xnnAnBn,，其中A>B>0，求证nlimxna.

证明：由于

AnAnnAnBnn2Ann2A 而

nlim2A1AAn

由上面的定理3即得n例9 证明nlimnn1.nlimnAnBnA.

nn1,令n1hn,其中hn0,这时 证明：当n>1时，

n(1hn)n1nhnn(n1)2n(n1)2nhnhnhn 22因此

hn2.n1故

1nn1hn12.n1

2211lim1 以知 limnnn1n1由上面的定理3可得n

limnn1.

以上我们谈论的都是关于数列的极限，下面我们来看一下关于函数的极限。

2.函数的极限

定义2 设f(x)在x0点附近（除x0点外）有定义，A是一定数。若对任意给定的

0，存在0，当0xx0时，有

f(x)A

则称A是函数f(x)当x趋于x0时的极限，记为

xx0limf(x)A

或 f(x)A(xx0.) 我们来看一下以下这个例子 例10 证明limxa，其中a0

xa证明 由于

xaxaxaxaa

对任给0，取min(a,a),，则当0xa时，有

xaxaa.

即limxa.

xa 从上面可以看到，求数列或函数的极限用到了各种不同的方法，那么我们在解决问题的时候应该用那种方法，下面我们就来归纳一下求极限的方法。

1．利用定义及运算性质 求limqn (

nnq<1)

解：limqn=0。现用定义证明，

[对0，取正正数N>故

qn0lg]lgq则当n>N时，有n>

limnlglgq,即nlg

qqn，

,由定义，则有xq=0 (

q<1)

利用定义求极限，先要观察历限值再加以证明、而有些题目的极限值不是那么容易得到，用定义证明有时也较困难、因此，此类方法宜少用。

3n22n3limn21 求n33n22n3limlimn21解：n=n232323limlim2nnnnnn11300121lim2nnn==10=3

一般地，有

mna0xa1xam mn lim0nbxmaxm1b01mabmn00mm12.利用两个重要的极限

1sinxlim1lim(1x)xen0x（1） （2）x0

lim例3 求①x02tgxsin3xcosxcos3xlimx0x2 ②tg5x4sinx

解

limcosxcos3xx0x2：

①

lim=

2sin2xsinx4sin2xsinxsin2xsinxlim4limlim41142x0x0x0x02xx2xxx

2tgx3sin3xtgxsin3x2lim3limx03xx0x3x235limx2tgxsin3xx05tg5xsinxtg5xsinx54lim45lim4limx0x05xx05xxx②tg5x4sinx=

例4 求①lim(1x) ②lim(x0n2x2nn2) 3nlim(1x)lim[(1x)]解：①x0=x02x1x2[lim(1x)]x01x2e2

②lim(n2nn21n351n315)=lim(1)lim(1)lim(1)e1e

nnn3nn3n3n3 小结

sinx1n0x利用求函数极限需注意到：

lim0①函数的特点是“0”形式．

②有时常需要用到三角函数公式，或“变量替换”等方法，化为标准型，从而求出极限。

lim(1x)e1x利用x0，求函数极限时需注意：

函数的特点是幂指函数型，其底为1加一个无穷小量，指数为无穷大量．两者恰好为互为倒数

②常用要对因数的自变量作适当的变换，使之变成标准形，然后再求极限.

3.利用夹逼性定理与单调有界原理

定理 如果XZY,而limX=limY=A,,则limZ=A

lim(求

n1n121n21n122112nn 12)解：设Xn

lim(nn22nn

)于是有

nnn2Xnlimnnn1n2

lim而

nnn121nn

2从而

limxn1x

lim(即

n1n121n2212nn=1

liman.)例6、设数列a12,a222,,an=222,,求n

解：显然有an0(n1,2,3....).且a1a2...an...,a1=2<2,a2=22<2,…,

an1=

limann2an<2,…,从而数列{an}为单调增加有界数列，由单调有界原理，可知

liman存在 .设n=A,因为an1=

2an,即an1=2+an,取极限得A=2+A,得

2A=2或A=-1(不合题意，舍去) 故nliman2

从此例可看出，单调有界原理不单纯有理论上的意义，它常常同时结我们提供求这个极限的值的新途经．但要注意，首先极限要存在，否则可能导致很荒谬的结论．

4．利用函数的连续性

若f(x)是初等函数，且x是f(x)的定义区间内的点，则有

0xx0limf(x)=f(x0).

例7 ①求lim(xx21x2)

xxlim(xx1x)=

1122xlim(xx21x2)(xx21x2)(xx21x2)=

xlimxx21x=

xlim1111x2=101=2

limf(x)f(a)xa.

②设f(x)=(x2a2)g(x),其中g(x)在x=a处连续，求xa

f(x)f(a)(x2a2)g(x)0limlimlim(xa)g(x)2ag(a)xaxaxaxa解 =xa

5．利用换元法与等价无穷小的性质

sin(x2y2)tg3x12lim,lim,lim(ctgx)222x0,y0x0sin5xx0xxy例8 求① ② ③ 解 ①令u=x+y,则当x0,y0时u0

222sinx(y2)sinulimlim122x0,y0x0xyu所以 =

②当x0时，tg3x3x,sin5x5x

tg3x3x3limx0sin5xx05x5 lim③

1sin2xx2cos2xsin2xx2cos2xsinxxcosxsinxxcosx2lim(2ctgx)limlimlimx0xx0x0xx2sin2xx4x3x0sinxxcosxxsinx2lim =2

x0x03x23x3=2lim 这里第二个等式中用了等价无穷小替换，并进行因式分解，将极限不为零部分因子取极限后，再运用洛必达法则才比较简便． 注意：①常用的等价无穷小替换有

1当x0时,sinx~x,tgx~x,In(1+x)~x,ex1~x (1-cosx)~x2

2 ②作等价无穷小替换对，通常不能将分子或分母的和式中的某一项或若干项以其等价无穷小替换，可以将分子、分母中乘积因式分别用等价无穷小替换，否则会出现错误.如本例③中

x2x2cos2x2sinxxcosxlim1cosx22limlim1xsinxx0222x0x0xsinxsinx = 这种做法显然是错

222误的.

6.利用洛必达法则

Inctgxexex2xsinxlimlimlim(ctgx)例9 求①x0xsinx ②x0Inx ③x0

0解 ①为“0”型

exex2xexex2exexexexlimlimlimlim2x0x0x0x0xsinx=1cosxsinxcosx  ②为“”型

1(csc2x)Inctgxxctgxlimlimlim1 x0x0x01Inxcosxsinxx ③为“”型

x00lim(ctgx)sinxlimex0sinxInctgx(exlimsinxInctgx)

而

1csc2xInctgxsinxctgxlimsinxInctgxlimlimlim0x0x0cscxcscxctgxcos2xx0

从而

x0limctgxsinxe01

运用洛必达法则求极限应注意：

00\"\"0\"仅对“0“与型未定式适用，其它未定式”0.\",\"\".0化为0与型。前0两种采用恒等变形的方法；后三种采取先化为指数形式化为0与型。

应对分子分母分别求导，不是对整个分式求导。

limf'xfxlimg'x不存在，gx也不存在，不能由此断言只能说明罗比答法则无效，

若

应采用其它方法。

7.利用泰勒展开式

(n)定理 若函数f(x)在点x=x0具有直到n阶的导数，并且f(x)在x=x0处还是连

续的，则有

f''(x0)f(n)(x0)(xx0)n2f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)o(xx0)n2!n!

特别当x0=0时，

f(0)2f(n)(0)nxxf(0)x2!f(x)=f(0)++…+n!+o(xn) (x0)

例10 求 ①limx22cosxen0x4x22

1lim[xx2In(1)]x ②x解：①因为e

x21x22)+()o(xn) (x0) =1+(

22!2x2x4o(x5) (x0) cosx=1-2!4!coxselimx4于是 x0x221o(x4)1limx01212x4

10,x ②因为当 x 时，所以

111212()o(())1x2xx In(1+)= (x+) x111lim[xx2In(1)]lim[o(1)]x=x2 从而 x=2

题①若采用洛必达法则较繁，题②用其它方法就不太好做了.

8.利用定积分及性质

12n1n!lim(sinsinsin)limxnx0nnnn例11 求① ②

n

n!e解：①因为 nnn1n!Innnne1nkInnk1n

n!lim1nInklimn01Inxdx1nnk1 x0n=e=e=e

1nR112n12limsinlim(sinsinsin)nsinxdxnR1n=0nnn ②xn= 注意：此两题(特别是②题)不采用定积分定义就不太好做．一般来说，如果是n项和式或可化为n项和式)当n求极限时，可考虑用定积分来求．

npsinxxnlimdxlimdxnnn01xx例12 求① ②

1解： 由定积分中值定理可知

xndx01x①=

1n(10) (0<<1) 11xnnlimdxlim(10)n01xn1从而 ==0

②

npnsinxdxx=sinnpnpn1np

dx=sinIn (n<从而

limnnsinxdxlimnpx= nsin In=0

n当原函数不易求出(如①)或不能用初等函数表示时(如②)，可考虑用积分中恒定理

9.利用级数收敛的必要条件

n!3nlimnlimnnn例13 求① ②nn!2

n!nnn1解：①考察级数



Un1(n1)!nnlimnUn(n1)n1n!n因为 ==

limnlim[11]11e(1)nn

n!n!收敛lim0nnnnnn1所以，级数，从而

n3n3收敛lim0nnn!2nn!2n1 ②类似可证明级数，从而

 这两题都不好用前面所讲的方法解决.

10.利用司特林公式

n公式：n!=2n()ne12n (0<<1)

e求limnn!

n21nn1nne12n3lim(2n)lim()lime111lim[{2n)()]2n32nnnn2e2n12n2ne解：limn!==

n11注：当题目中出现有n!时，可考虑用司特林公式.

参考文献：

[1]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程（上册）.北京：高等教育出版社，1999.6. [2]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程（下册）.北京：高等教育出版社，1999.6. [3]《数学手册》编写组编.数学手册.北京：高等教育出版社，1979.5. [4]王昆扬.数学分析专题研究. 北京：高等教育出版社,2001.6. [5]李成章，黄玉民.数学分析.北京：科学出版社，1999.5. [6]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社,1993,5. [7]张筑生.数学分析新讲.北京大学出版社,1990,1.

[8]辛钦著；王会林，齐民友译.数学分析八讲.武汉大学出版社，1998,7. [9]吉林师范大学数学系数学分析教研室.数学分析讲义.人民教育出版社，1960,8. [10]东北师范大学、延边大学、四平师范学院、内蒙民族师范学院数学系.数学分析. 人民教育出版社，1982,9.

The study begs the method of the extreme limit

Gui qing-Cai

(Department of Mathematics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,China)

[Abstract]:The mathematic theories in high etc. is more and more with method drive broadly applied in industry, agriculture, military with science technique realm, but the extreme limit then studies the one of the mathematic and main methods in high etc, controling the extreme limit begs the method and then pursue studies very high etc. mathematics beat the bottom the firm foundation, this text emphasizes the method that discuss begs the extreme limit.

[Key words]: Extreme limit Few row Function Method