中数学试卷
一、选择题（共10小题）. 1．sin30°的值是（ ） A．
B．
C．
D．
2．“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．在下列方程4（x﹣1）（x+2）＝5，x2+y2＝1，5x2﹣10＝0，2x2+8x＝0，
＝
A．6个
中，其中一元二次方程的个数有（ ） B．5个
C．4个
D．3个
＝0，
4．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
5．如图．直线y＝2x分别与双曲线y＝（x＞0）、y＝（x＞0）交于P，Q两点，且OP＝2OQ．则k的值（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，直线l1∥l2，AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1，则AE：EC是（ ）
A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2
7． 在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ） A．1，0
B．﹣1，0
C．1，﹣1
D．无法确定
9．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′、AC′分别交对角线BD于点E、F，若AE＝4，则EF•ED的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
10．AB＝2，如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值（ ）
A．2+6 B．6 C．+3 D．4
二、填空题（每题3分，共12分） 11．方程2x2﹣3x﹣2＝0两根的和 ． 12．在函数y＝
（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，
y3），函数值y1，y2，y3的大小为 ．
13．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝3，则BC的值为 ．
14．如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，B′折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，D′＝2，BE＝BC．则矩形纸片ABCD的面积为 ．
三、解答题（共72分） 15．（5分）计算：
16．（5分）解方程：（2x﹣3）（x﹣4）＝7．
17．（5分）如图，在矩形ABCD中∠ABD＝60°，用尺规作图在线段AD上找到点P，使得AD＝3AP（不写作法，保留作图痕迹）．
．
18．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在AB上，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．
19．（7分）2017年《星洲日报》报道，西安被国际知名旅游指南《孤独星球》评选为亚洲十大最佳旅游地．截止2020年1月，西安已有4家国家5A级旅游景区，分别是A：西安市秦始皇兵马俑博物馆（2007年）；B：西安市华清池景区（2007年）；C：西安市D：大雁塔•大唐芙蓉园景区（2011年）；西安市城墙•碑林历史文化景区（2018年）．欢乐同学与父母计划在周末期间从中选择部分景区游玩．
（1）欢乐同学一家选择D：西安市城墙•碑林历史文化景区（2018年）的概率是多少？ （2）若欢乐同学一家在选择D：西安市城墙•碑林历史文化景区（2018年）后，他们再从剩下的景区中任选两个景区去游玩，试求选择A、C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概）
20．（7分）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ的高度．（结果保留根号）．
21．（7分）环保，现在是目前世界上最热门的话题之一，我国的环境问题主要表现在污染物排放量相当大，远远高于环境的自净力，某厂工业的废气年排放量为450万立方米，为改善我市的大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．
（1）求每期治理中废气减少的百分率是多少？
（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元．问两期治理完后共需投入多少万元？
22．（7分）已知：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠D＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）当E是边AB的中点时，试求CH的长度．
23．（8分）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA使OA⊥AB于A，连结OC，并延长交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若A（1，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求∠EOD的度数．
24．（10分）【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数关系式y＝kx+b，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是直线l上任意两个不同的点，过点P1、P2分别作y轴、x轴的平行线交于点G，则线段P1G＝|y1﹣y2|＝|（kx1+b）﹣（kx2+b）|＝|kx1﹣kx2|＝|k|•|x1﹣x2|，于是有
＝
＝
＝|k|，即
的值仅与k的值有关，
不妨称＝|k|为直线l：y＝kx+b的“纵横比”．
【直接应用】（1）直线y＝2x+1的“纵横比”为 ；直线y＝﹣x+1的“纵横比”为 ．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线l：y＝kx+b（k＞0）与直线l′：y＝mx+n（m＜0）互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析k与m的关系，并加以证明． 【综合应用】（3）如图3，已知A（8，0），P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB．设此时点B的运动轨迹为直线l，若另一条直线m⊥l．且与y＝有且只有一个公共点，试确定直线m的函数关系式．
25．（12分）如果图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积＝△ABD的面积；
问题探究
（1）在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形．
（2）在图3中，已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF，当CG＝a时，求△BDF的面积． 问题解决
（3）李大爷家有一块正方形的果园如图4所示，由于修建道路，图中三角形BCE区域将被占用，现决定在DE右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BE上．请你在图4中通过画图来确定M点的位置，并简要叙述画法和理由；若AB＝4，CE＝a，
求出上图中tan∠MDC的值．
参
一、选择题（每题3分，共30分） 1．sin30°的值是（ ） A．
解：sin30°＝， 故选：A．
2．“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（ ）
B．
C．
D．
A． B．
C． D．
解：“圆柱与球的组合体”的三视图依次为长方形的上边有一个圆，长方形的上边有一个圆，圆环，故选A．
3．在下列方程4（x﹣1）（x+2）＝5，x2+y2＝1，5x2﹣10＝0，2x2+8x＝0，
＝
A．6个
中，其中一元二次方程的个数有（ ） B．5个
C．4个
D．3个
＝0，
解：一元二次方程有4（x﹣1）（x+2）＝5，5x2﹣10＝0，2x2+8x＝0，共3个， 故选：D．
4．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
解：∵以点O为位似中心， ∴点C对应点M，
设网格中每个小方格的边长为1， 则OC＝＝
＝＝3
∵
＝
＝
，OM＝
＝＝2
＝2
，OD＝
，OB＝
＝2
＝
，OA，OH＝
，OR＝，ON＝
，OQ＝2，
，OP＝
＝2，
∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，
∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ， 故选：A．
5．如图．直线y＝2x分别与双曲线y＝（x＞0）、y＝（x＞0）交于P，Q两点，且OP＝2OQ．则k的值（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图，
联立，
解得：∵x＞0，
或．
∴点P的坐标为（2，4）． ∴OF＝2，PF＝4． ∵QE⊥x轴，PF⊥x轴， ∴QE∥PF． ∴△OEQ∽△OFP． ∴
∵OP＝2OQ，
∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4． ∴OE＝1，EQ＝2． ∴点Q的坐标为（1，2）． ∵点Q（1，2）在双曲线y＝上， ∴k＝1×2＝2． 故选：A．
．
6．如图，直线l1∥l2，AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1，则AE：EC是（ ）
A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2
解：如图所示，
∵AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1 ∴设AF＝2x，BF＝3x，BC＝2y，CD＝y 在△AGF和△BDF中，∴
＝
＝
∴AG＝2y
在△AGE和△CDE中，AE：EC＝AG：CD＝2y：y＝2：1 故选：C．
7． 在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：
（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：
故选：A．
8．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（ ） A．1，0
B．﹣1，0
C．1，﹣1
D．无法确定
解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1． 故选：C．
9．如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′、AC′分别交对角线BD于点E、F，若AE＝4，则EF•ED的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠ADB＝45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'， ∴∠EAF＝∠BAC＝45°， ∵∠AEF＝∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴
，
∴EF•ED＝AE2， ∵AE＝4，
∴EF•ED的值为16， 故选：D．
10．AB＝2，如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值（ ）
A．2+6 B．6 C．+3 D．4
解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°， ∴DF＝DC，
∵2AD+DC＝2（AD+DC） ＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB＝2， 在Rt△ABC中，
∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2， ∴BC＝4， ∴DC＝2， ∴DF＝DC＝1，
∴AF＝AD+DF＝2+1＝3， ∴2（AD+DF）＝2AF＝6， ∴2AD+DC的最小值为6， 故选：B．
二、填空题（每题3分，共12分） 11．方程2x2﹣3x﹣2＝0两根的和
．
解：设方程2x2﹣3x﹣2＝0两根分别是x1，x2， ∴x1+x2＝﹣
＝，
故答案为：． 12．在函数y＝
（k为常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（，
y3），函数值y1，y2，y3的大小为 y3＜y1＜y2 ．
解：∵﹣k2﹣2＜0，∴函数应在二四象限，若x1＜0，x2＞0，说明横坐标为﹣2，﹣1的点在第二象限，横坐标为的在第四象限，∵第二象限的y值总比第四象限的点的y值大，∴那么y3最小，在第二象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2． 即y3＜y1＜y2．
13．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝3，则BC的值为 2解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
+
或2
﹣
．
∵∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝3， ∴DC＝
∴BC＝BD+DC＝2如图2，同理可得，
＝+
＝；
，
＝2
．
AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×∴BC＝BD﹣DC＝2
﹣
+﹣． 或2．
﹣
＝2，DC＝＝，
综上所述，BC的长为2故答案为：2
+
或2
；
14．如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，B′折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，D′＝2，BE＝BC．则矩形纸片ABCD的面积为 15 ．
解：方法一：设BE＝a，则BC＝3a， 由题意可得，
CB＝CB′，CD＝CD′，BE＝B′E＝a， ∵B′D′＝2， ∴CD′＝3a﹣2， ∴CD＝3a﹣2，
∴AE＝3a﹣2﹣a＝2a﹣2， ∴DB′＝∴AB′＝3a﹣2
，
＝
＝2
，
∵AB′2+AE2＝B′E2， ∴
解得，a＝或a＝， 当a＝时，BC＝2，
，
∵B′D′＝2，CB＝CB′， ∴a＝时不符合题意，舍去；
当a＝时，BC＝5，AB＝CD＝3a﹣2＝3， ∴矩形纸片ABCD的面积为：5×3＝15， 故答案为：15．
方法二：设CD＝x，则CD′＝x，CB′＝x+2，CB＝x+2， 由题意可得，△AB′E∽△DCB′， ∴
∵BE＝BC． ∴∴
， ，
，
∴AB′＝x，
∴B′D＝x+2﹣x＝x+2， ∵△CDB′是直角三角形， ∴B′D2+CD2＝CB′2， 即（x+2）2+x2＝（x+2）2， 解得，x1＝3，x2＝0（舍去），
∴矩形纸片ABCD的面积为：5×3＝15， 故答案为：15．
三、解答题（共72分） 15．（5分）计算：解：原式＝×1+
×
+
×
．
＝+1+ ＝3．
16．（5分）解方程：（2x﹣3）（x﹣4）＝7． 解：整理得：2x2﹣11x+5＝0， b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×2×5＝81， x＝
＝
，
x1＝5，x2＝．
17．（5分）如图，在矩形ABCD中∠ABD＝60°，用尺规作图在线段AD上找到点P，使得AD＝3AP（不写作法，保留作图痕迹）．
解：如图，点P为所作．
18．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在AB上，EF⊥AB于F，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形．
19．（7分）2017年《星洲日报》报道，西安被国际知名旅游指南《孤独星球》评选为亚洲十大最佳旅游地．截止2020年1月，西安已有4家国家5A级旅游景区，分别是A：西安市秦始皇兵马俑博物馆（2007年）；B：西安市华清池景区（2007年）；C：西安市D：大雁塔•大唐芙蓉园景区（2011年）；西安市城墙•碑林历史文化景区（2018年）．欢乐同学与父母计划在周末期间从中选择部分景区游玩．
（1）欢乐同学一家选择D：西安市城墙•碑林历史文化景区（2018年）的概率是多少？ （2）若欢乐同学一家在选择D：西安市城墙•碑林历史文化景区（2018年）后，他们再从剩下的景区中任选两个景区去游玩，试求选择A、C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概）
解：（1）共有4种可能选择的结果，因此欢乐同学一家选择D：西安市城墙•碑林历史文化景区（2018年）的概率是；
（2）根据题意画图如下：
共有6种可能出现的结果，其中选择A、C两个景区的有2种， 则选择A、C两个景区的概率是＝．
20．（7分）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ的高度．（结果保留根号）．
解：延长PQ交地面与点C，由题意可得：AB＝6m，∠PCA＝90°，∠PAC＝45°，∠
PBC＝60°，∠QBC＝30°，
设CQ＝x，则在Rt△BQC中，BC＝∴在Rt△PBC中PC＝
BC＝3x，
QC＝x，
∵在Rt△PAC中，∠PAC＝45°，则PC＝AC， ∴3x＝6+
x，解得x＝
，
，则电线杆PQ高为（6+
）米．
∴PQ＝PC﹣CQ＝3x﹣x＝2x＝6+
21．（7分）环保，现在是目前世界上最热门的话题之一，我国的环境问题主要表现在污染物排放量相当大，远远高于环境的自净力，某厂工业的废气年排放量为450万立方米，为改善我市的大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同． （1）求每期治理中废气减少的百分率是多少？
（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元．问两期治理完后共需投入多少万元？ 解：（1）设每期减少的百分率是x， 450×（1﹣x）2＝288， 解得：x1＝1.8（舍去），x2＝0.2 解得x＝20%．
答：每期减少的百分率是20%．
（2）两期治理共需投入资金＝450×20%×3+（450﹣450×20%）×20%×4.5＝594（万
元）．
答：两期治理共需投入594万元．
22．（7分）已知：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠D＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）当E是边AB的中点时，试求CH的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B， ∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCE， ∵CD∥BH， ∴∠H＝∠DCF， ∴∠H＝∠BCE， ∵∠B＝∠B， ∴△BEC∽△BCH．
（2）解：∵∠B＝∠D＝60°，BC＝BA， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE＝EB，
∴CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE＝30°， ∵∠DCF＝∠BCE＝30°， ∴∠ECF＝60°， ∵∠CEH＝90°， ∴∠H＝30°，
∴CH＝2CE， ∵AC＝AB＝4， ∴CE＝AC•cos30°＝2∴CH＝4
．
，
23．（8分）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA使OA⊥AB于A，连结OC，并延长交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若A（1，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求∠EOD的度数．
解：（1）∵OA⊥AB于A， ∴∠OAD+∠BAC＝90°， ∵AC⊥x轴，垂足为D， ∴∠OAD+∠AOD＝90°， ∴∠BAC＝∠AOD， ∵∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴△AOD∽△BAC， ∴
＝
＝
，
∵AB＝2OA，A（1，n）， ∴
＝
＝，
∴AC＝2OD＝2，BC＝2AD＝2n， ∴B（2n+1，n﹣2），
∵顶点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝1×n＝（2n+1）（n﹣2）， 解得n＝1+
，k＝1+
，
（x＞0）；
∴反比例函数的解析式为y＝
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点， ∴OA＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO＝45°， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴CE＝AE， ∴∠ACE＝
＝67.5°，
∵∠OCD＝∠ACE＝67.5°， ∴∠EOD＝90°﹣67.5°＝22.5°．
24．（10分）【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数关系式y＝kx+b，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是直线l上任意两个不同的点，过点P1、P2分别作y轴、x轴的平行线交于点G，则线段P1G＝|y1﹣y2|＝|（kx1+b）﹣（kx2+b）|＝|kx1﹣kx2|＝|k|•|x1﹣x2|，于是有
＝
＝
＝|k|，即
的值仅与k的值有关，
不妨称＝|k|为直线l：y＝kx+b的“纵横比”．
【直接应用】（1）直线y＝2x+1的“纵横比”为 2 ；直线y＝﹣x+1的“纵横比”
为 ．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线l：y＝kx+b（k＞0）与直线l′：y＝mx+n（m＜0）互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析k与m的关系，并加以证明． 【综合应用】（3）如图3，已知A（8，0），P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB．设此时点B的运动轨迹为直线l，若另一条直线m⊥l．且与y＝有且只有一个公共点，试确定直线m的函数关系式．
解：（1）由题意，直线y＝2x+1的“纵横比”为2；直线y＝﹣x+1的“纵横比”为．故答案为：2，．
（2）如图2中，直线l与直线l′的交点为T，过点T作TH⊥CD于H，设直线l交x轴于点C，直线l′交x轴于D．
由题意∴km＝﹣
＝|k|＝k，
，
＝|m|＝﹣m，
∵CT⊥DT，TH⊥CD，
∴∠CHT＝∠THD＝∠CTD＝90°，
∴∠CTH+∠DTH＝90°，∠DTH+∠TDH＝90°， ∴∠CTH＝∠TDH， ∴△CHT∽△THD， ∴
＝
，
∴TH2＝DH•CH， ∴km＝﹣＝﹣1．
（3）如图3中，过点B作BK⊥y轴于K．设P（0，n）（
∵A（8，0），判（0，n）（n＞0）， ∴OA＝8，OP＝n，
∵∠PKB＝∠APB＝∠AOP＝90°，
∴∠BPK+∠APO＝90°，∠APO+∠PAO＝90°， ∵PB＝PA，
∴△PKB≌△AOP（AAS）， ∴BK＝OP＝n，PK＝OA＝8， ∴B（n，8+n），
∴点B在直线l：y＝x+8上运动， ∵直线m⊥l，
∴可以假设直线m的解析式为y＝﹣x+b， 由
，消去y得到，x2﹣bx+2＝0，
∵直线m与y＝有且只有一个公共点， ∴b2﹣8＝0，
n＞0）．
∴b＝±2，
或y＝﹣x﹣2
．
∴直线m的解析式为y＝﹣x+2
25．（12分）如果图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积＝△ABD的面积；
问题探究
（1）在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形．
（2）在图3中，已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CG为边作正方形GCEF，当CG＝a时，求△BDF的面积． 问题解决
（3）李大爷家有一块正方形的果园如图4所示，由于修建道路，图中三角形BCE区域将被占用，现决定在DE右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BE上．请你在图4中通过画图来确定M点的位置，并简要叙述画法和理由；若AB＝4，CE＝a，求出上图中tan∠MDC的值． 解：（1）如图2所示：
连接AC，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，连接AE，△ABE即为所求的三角形；
（2）连接CF，如图3所示：
∵BD、CF分别为正方形ABCD和正方形GCEF的对角线， ∴∠BDC＝∠DCF＝45°， ∴BD∥CF，
∴S△BDF＝S△CBD＝×4×4＝8；
（3）连接BD，过点C作BD的平行线交BE的延长线于M，连接DM，如图4所示：
则S△BDM＝S△CBD，∴S△BDM﹣S△BDE＝S△CBD﹣S△BDE，即：S△DME＝S△ECB， ∴补偿后的四边形的面积与原来的正方形ABCD的面积相等且M在射线BE上； 作MG⊥CD，MH⊥BC交BC延长线于H，则四边形MGCH是正方形， ∴CG＝MG， ∵S△DME＝S△ECB，
∴DE×MG＝BC×CE， ∴（4﹣a）×MG＝4a， ∴MG＝∴CG＝
， ，
＝
，
∴DG＝CD﹣CG＝4﹣
∴tan∠MDC＝＝＝．
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