第23讲 代数证明

第二十三讲 代数证明

代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．

在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有：

(1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进；

(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，

左边1(右边0)． 右边 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．

代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．

例题求解 【例1】(1)求证：

xaxa2yaya2zaza21113 xayazaa（2）求证：(a)2(b)2(ab1a1b12111)4(a)(b)(ab)． ababab 思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联

系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较． 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．

代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．

【例2】 已知xyab，且x2y2a2b2． 求证：x2001y2001a2001b2001．

(黄冈市竞赛题)

思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x、y与a、b间关系，寻找证题的突破口． 【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用ai和bi，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．

求证：a12a22a182b12b22b182．

(天津市竞赛题)

思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键． 【例4】 已知ax3by3cz3，且

1111． xyz 求证：3ax2by2cz23a3b3c．

思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的

同一个代数式．

(abc)3(bca)3(cab)3(abc)3 【例5】 已知abc0，证明：四个数、、、

abcabcabcabc中至少有一个不小于6．

(北京市竞赛题)

思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可． 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有： (1)将已知条件直接代入求证式； (2)变换已知条件，再代入求证式； (3)综合变形巳知条件，凑出求证式；

(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．

不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识： (1)若A—B>0，则A>B； (2)若A—B<0，则A0）

x (5)若a1a2aM，则a1、a2、、an中至少有一个大于

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1．已知PM． nabbcca，q，r=，求证：(1p)(1q)(1r)(1p)(1q)(1r)． abbccax2y2z2abcxyz 2．已知1，0．求证：2221．

xyzabcabc3．已知：

abbcca，求证：8a9b5c0． ab2(bc)3(ca) 4．设39432的小数部分为b，求证：394322b．

5．设x、y、z为有理数，且(y—z)2+( x－y)2+(z—x)2=(y+z－2x)2+(z+x－2y)2+(x+y—2z)2，求证：

(yz1)(zx1)(xy1)(x1)(y1)(z1)2221b1．

(重庆市竞赛题)

6．已知14(a2b2c2)(a2b3c)2，求证：a：b：c=1：2：3． 7．已知 8．若

11111，求证：x、y、z中至少有一个为1． xyzxyzyxyyzzttxxzt，记A，证明：Ayztztxtxyxyzzttxxyyz是一个整数． (匈牙利竞赛题)

abcabc9．已知0． 0，求证：

bccaab(bc)2(ca)2(ab)210．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p倍，乙单独做所

需时间为甲、丙两人合做所需时间的q倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间

的x倍，求证：x (天津市竞赛题)

pq2． pq111．设a、b、c均为正数，且abc1，证明：12．如果正数a、b、c满足ac2b，求证：

1119． abc11bc2caab．

(北京市竞赛题)

13．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：

①若a2abc0，且c>1，则01且01．

试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)