(完整word版)六年级奥数蝴蝶模型

一、蝴蝶模型与任意四边形

S1S2S3S4 在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。

推导：由等积变形模型可知：

SAOBAO SBOCOCSAODAO SCODOCSAOBSAOD SBOCSCODS1S4 S3S2即S1S2S3S4

二、蝴蝶模型与梯形 ① ②

S1S2S3S4 S1S2

推导：① 同上

② 过点A作三角形ABC的高h1，过点D作

△BCD的高h2 AD//BC

h1h2（两平行线之间高相等）

1 SABCBCh1

21 SBDCBCh2

2 SABCSBDC S1S3S2S3 S1S2

三、蝴蝶模型与平行四边形 （一） ① S1S2S3S4 ② S1S2S3S4

推导：① 同上

② SABCSBCD SBCDSACD （同底等高） S1S4S2S4 S4S2S3S2 S1S2 S3S4 OBOD OAOC S1S3 S2S4

（二）S1S2S3S4 即：对角平行四边形面积乘积相等

（在平行四边形ABCD内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF）

推导：连接GE、EH、HF、FG，过点E作EM垂直于GH于点M

1 SOGEOGEM

2 S平行四边形S1OGEM SOGE1S1 2

同理可得：SOGF111S3 SOFHS2 SEOHS4 222 由蝴蝶定理可知：SOGESOFHSOGFSEOH

1111 S1S2S3S4

2222 S1S2S3S4 四、蝴蝶模型与长方形

（一） ① S1S2S3S4 ② S1S2S3S4

（二）S1S2S3S4 即：对角长方形面积乘积相等

五、蝴蝶模型与正方形

“子母图”——两共线相邻的正方形

在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。

例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？

分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。

解：由蝴蝶定理可知：S∆BOC=S∆AOD=6 ∴S∆DOC=6×6÷4=9

∴梯形ABCD的面积是9+6+4+6=25 答：梯形ABCD的面积是25。

例2：如图，求阴影部分的面积。（单位cm2）

分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。

解：S阴影=28×6÷12=14（cm2） 答：阴影部分的面积为14平方厘米。

C A 6 4 O D B 28 12 6 例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC，所以AC平行于GE，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG和三角形COE面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE的面积，即小正方形面积的一半。

D A 解：连接AC

G F

∵AC∥GE

O ∴由梯形的蝴蝶定理可知：S∆AOG=S∆COE

B E C 1

∴S阴=S∆COE+S∆GOE=S∆GCE=2×6×6=18（cm2）

答：阴影部分的面积为18平方厘米。

练习题

1. 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC，BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米。公园由6.92平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？

2. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。

3. 如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为30 cm2，△CDQ的面积为80 cm2，求阴影部分的面积。

4. 如图，四边形ABCG和CDEF都是正方形，DC等于12厘米，CB等于10厘米，求阴影部分的面积。