第３９卷第１Ｏ期 湖州师范学院学报 Ｖ０１．３９ Ｎｏ．１Ｏ ２０１７年１Ｏ月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ０ｃｔ．，２Ｏ１７ Ｍａｔｌａｂ在课堂教学中的应用 Ｎｅｗｔｏｎ插值浅析 郑敏玲，欧阳成 （湖州师范学院理学院，浙江湖州３１３０００） 摘要：Ｍａｔｌａｂ是一个很重要的数学处理软件，特别是在数值计算领域里，它的重要性更是非常明显．通过分析 Ｎｅｗｔｏｎ插值的基本思想、实现和应用，对如何利用Ｍａｔｌａｂ编程提高人们对这些知识的掌握和理解做了新的探索 和尝试，并对插值余项定理进行了实例验证． 关键词：课堂教学；数值分析；Ｍａｔｌａｂ 中图分类号：０１７ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００９—１７３４（２０１７）１０—００１９—０６ ＭＳＣ ２０１０：６５Ｄ０５ 数值分析是为计算数学、物理及工科类专业开设的专业基础课，不仅具有很高的理论性，还与实际结 合较紧密．由于数值分析着重研究求解问题的数值方法以及与此相关的理论，因此算法推导是这门课程的 重要特点．然而，大量的算法和公式增加了它的难度，降低了它的吸引力．为了提高学生的学习兴趣，在教 学中可以通过Ｍａｔｌａｂ实例演示增加学生对教学内容的理解，提高学生的数学应用能力 ］．本文将以插值 为例，介绍在课堂上如何利用Ｍａｔｌａｂ帮助理解数值分析中的一些重点、难点内容，为师生提供参考． 插值方法主要有Ｌａｇｒａｎｇｅ插值和Ｎｅｗｔｏｎ插值两种，这两种方法各有优势与不足．在一般的数值分 析教材中，往往以Ｌａｇｒａｎｇｅ插值为主，而Ｎｅｗｔｏｎ插值没有受到足够的重视．实际上，Ｎｅｗｔｏｎ插值中包含 丰富的理论和数值思想方法．本文将对它进行深入探讨，并利用Ｍａｔｌａｂ讨论它的实现与应用． １ Ｌａｇｒａｎｇｅ插值和Ｎｅｗｔｏｎ插值 为得到Ｌａｇｒａｎｇｅ插值ＬＮ（ｚ），首先求各插值节点ａ≤ｘ。，ｘ 一，ｘＮ≤ｂ对应的Ｌａｇｒａｎｇｅ基函数 Ｚ （ ）： Ｎ 一 ～ ｚ （ｚ）一１＿ｒ ， ， ｊ≠ｔ ｚｉ— Ｊ 然后通过线性组合得到插值函数： Ｎ ＬＮ（ ）一 ｙｉｌｌ（ｚ）． ｆ—ｏ 注意到基函数与节点的函数值无关，因此Ｌａｇｒａｎｇｅ插值方法简单，容易实现，这是它的优点；但是由于基 函数依赖所有节点，若想增加一个节点，得到更高一次的插值多项式，则所有基函数都将随之改变，在这种 情况下，利用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值则不方便． 在Ｌａｇｒａｎｇｅ插值中，计算ｚ （ ）需要２Ｎ次加法、Ｎ一１次乘法、Ｎ次除法运算，因此计算所有的基函 数共需要（４Ｎ一１）（Ｎ＋１）次算术运算．此外，利用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值求导数的运算更复杂．相比之下，Ｎｅｗ— ｔｏｎ插值的计算简单得多． 为了便于讨论Ｎｅｗｔｏｎ插值的特征，本文引入差商的另一种定义［３］：设Ｐ （ｚ）是函数ｆ（ｘ）在节点 ，ｚ㈩，…，ｚⅢ上的是次插值多项式，则称多项式Ｐ （ｚ）中Ｘ 的系数为函数厂（ｚ）在节点ｚ ，Ｘ州，…， 收稿日期：２０１７—０８—１５ 基金项目：湖州师范学院教改项目（ＪＧＢ１６０２１）． 通信作者：郑敏玲，博士，副教授，研究方向：复杂系统动力学行为的理论、数值模型与应用．Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｈｅｎｇｍｌ＠ｚｊｈｕ．ｅｄｕ．ｃａ ２０ 湖卅ｌ师范学院学报 第３９卷 ｚ 上的是阶差商，记作ｆｉｘ ， 项式，则 ，…，ＸＨ ］． 按照上述定义，若Ｐ （ ）和Ｐ川（ｚ）分别是基于节点ｚ ， ¨，…， ｍ（ 分别取惫和愚＋１）的插值多 Ｐ＾＋１（ ）一Ｐ （ｚ）一Ｃ（ｚ—ｚ ｏ）…（ —ｚ＾）， 根据定义，．２７抖 的系数Ｃ应为ｋ＋１阶差商，即 Ｃ—ｆｉｘ ０，ｚ 一，ｚ ］． 于是 Ｐ ＋１（ｚ）：：：Ｐ （ ）＋ｆｉｘｏ，Ｘ１，…， ］（ — ｏ）…（ — ） 成立．由上面的表达式，可以得到Ｎｅｗｔｏｎ插值多项式Ｐ （ｚ）： Ｐ （ ）一Ｐ ｏ（ ）＋（Ｐ１（ ）一Ｐ ｏ（ ））＋（Ｐ ２（ｚ）一Ｐ１（ｚ））＋…＋（Ｐ （ ）一Ｐ 一ｌ（ ））：＝＝ ｆ（ｘ ０）＋（ —ｚ ０）ｆＥｘ ０，Ｘ１］＋（ — ｏ）（ — １）ｆＥｘ ０， １， ２］＋…＋ （ｚ—ｚ ０）（ｚ— １）…（ｚ一一３２ 一１）ｆｉｘ ０， １，…， ］． 下面考虑差商的几个重要性质．利用上面的定义可以更好地理解差商与导数的关系： 儿ｆｒ ’… ］ ｆ （ ） ‘ Ｊ一 以多项式为例，设 ｆ（ｘ）一７ｘ ＋５ｘ 一２０ｘ ＋３ｘ。＋２ｘ ＋１， 那么，它的６次插值多项式就是它本身ｆ（ｘ），ｚ。项的系数就是函数／’（ ）的６阶差商；它的７阶差商就是 ｚ 的系数，即为０． 接下来考查差商的对称性和表示公式．首先，由插值多项式的唯一性及差商的定义，我们很容易得到 差商的对称性： ｆ［ｘ ｏ，…，Ｘ ，…，Ｘ ，…， ＾］一ｆＶｘ ｏ，…， ，…，ｚ ，…，ｚ ］． 再利用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式，以 。，Ｘ ，…，Ｘ 为节点的插值多项式的最高次项ｚ 的系数为： —— （ｚ一．７２ ｏ）…（ｚ一．７２厂１）（ —ｚ Ｊ＋１）…（ｚ—ｚ ）‘ 于是由上面引入的差商的定义，即得： 一 ］一塞 而 ２ Ｎｅｗｔｏｎ插值的计算 计算Ｎｅｗｔｏｎ插值可以分两步进行：首先计算各阶差商，然后计算插值多项式． 利用秦九韶算法计算Ｎｅｗｔｏｎ插值多项式可以使计算量大大减少 ］． Ｐ （ｓｃ）＝＝＝Ｃ ｏ＋（ｚ—ｚ ０）（ｃ１＋（ｚ— １）（ｃ ２＋…（ —ｚ ２）（ｆ ｌ＋（ — 一１）Ｃ …）））， 其中 （ 一０，１，…，竹）为函数的ｋ阶差商．那么，计算Ｐ （ｚ）的计算量为２ｎ次加法及，ｚ次乘法．算法如下： （１）计算各阶差商Ｃ。，Ｃ ，…，Ｃ ． ①输入 （ｚ。），ｆ（ｘ１），…， （ ），Ｃ一［ｃ ｏ，Ｃ１，…，ｃ ］； ②赋值Ｃ 一ｆ（ｘ ）； ③Ｆｏｒ 一１：７ｌ＂，ｉ：＝＝ ： ， ｆｌ—Ｃｉ ｌ Ｃ ｚ —’ ｉ— Ｔｉ－ｉ —Ｅｎｄ； ④输出ａ． （２）计算Ｎｅｗｔｏｎ插值多项式的值． ①输入节点 ０， １，…，Ｘ 和 ，各阶差商Ｃ一［ｆ ｏ，Ｃ ”，ｃ ］，ｂ—ｃ； ②ｂ 一Ｃ 第１Ｏ期 郑敏玲，等：Ｍａｔｌａｂ在课堂教学中的应用 ③Ｆｏｒ ｋ一 一１ ｔｏ ０， ｂ＾一ｆ ＋（ｚ—ｚ ）ｂ ＋１， Ｅｎｄ； ④输出ｂ． 为了便于Ｎｅｗｔｏｎ插值的其它方面的应用，下面的程序稍做了些修改，用求多项式替代了求多项式的值： ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｉｎ，ｅ３＝ｎｅｗｔｏｎｐ（ｘ，ｙ） Ｉｎｐｕｔ：ｘ：Ｉｘ０ ｘｌ…ｘＮ３，Ｙ＝［ｙＯ ｙｌ…ｙＮ］ Ｏｕｔｐｕｔ：ｎ—Ｎｅｗｔｏｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ Ｎ Ｎ—ｌｅｎｇｔｈ（ｘ）一１；ｃ—Ｙ； ｆｏｒ ｊ一２：Ｎ＋１ ｆｏｒ ｉ＝ｋ：Ｎ＋１ ｃ（ｉ）一（ｙ（ｉ）一ｙ（ｉ一１））／（ｘ（ｉ）一ｘ（ｉ—ｊ＋１））； ｅｎｄ ｙ＝＝＝Ｃ； ｅｎｄ ｎ—ｃ（Ｎ＋１）； ｆｏｒ ｋ—Ｎ：一１：１ ｎ—Ｉｎ ｃ（ｋ）］一［Ｏ ｎ＊ｘ（ｋ）］； ｅｎｄ ３插值余项分析与Ｒｕｎｇｅ现象 设ｆ（ｘ）函数的插值多项式为Ｐ （ｚ），按照多项式插值余项定理， Ｒ （，）一 ）一ｆ（ｘ ）一 ）一 （Ｐ ）一手— —÷ ）一 Ｌ 十ｌ ！ Ｗ （ ＋ ）（ｚ）， ∈ ∈［－ａ，ｂ，ｂ３， 其中： Ｗ（ ＋１）（ ）一（ｚ—ｚ ｏ）（ｚ—ｚ１）…（ｚ—ｚ ）， ｏ≤ ≤ｚ ． 根据插值余项表达式， Ｉ Ｒ ｎ（ 一 ｍａｘ ｛Ｉ ≤）１）． 插值余项定理在《数值分析》中占有重要的地位，它是进行数值误差分析的基础．按照余项表达式，是 否插值节点越多，插值误差越少，这需要对余项定理作仔细分析．余项定理告诉我们：插值余项依赖于两个 方面，即函数本身和插值节点．若ｌ 州 （ｚ）ｌ有界且不依赖于Ｔｔ．那么，当ｎ一。Ｃ时，Ｉ Ｒ （，）Ｉ一０．当函 数的 ＋１阶导数存在且有界时，ｍａｘ｛１ ｗ 十¨（ｚ）Ｉ）决定了余项的大小．按照Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ定理，所有，ｚ次 首一多项式中， Ｔ （ｚ）一 Ｔ （ｚ） 的最大模最小．由此得到：如果［ｎ，６］一［一１，１］，为了使ｍａｘ｛１ ｗ ｃ 十¨（ ）Ｉ）最小，插值节点应取为 Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式Ｔ（ ＋１）（ ）的零点． 下面通过两个函数（全纯函数和亚纯函数）说明插值误差与函数，以及插值节点之间的关系． 例 分别比较Ｙ—ｘｓｉｎｘ和Ｙ一 在［一５，５３上的插值多项式及插值误差． 这两个函数在［一５，５］上虽然都是无穷可微的，但是函数Ｙ—ｚｓｉｎｘ在整个复平面上全纯，而函数Ｙ一 ÷ 在复平面上有奇异点ｚ＝＝＝±ｉ，因此这两个函数具有不同的性质．下面我们考虑它们在插值误差上 表现出的不同性质． 湖州师范学院学报 第３９卷 首先把区间［一５，５Ｚ＆等分，分别得到它们的８次插值多项式；然后提高插值节点个数，把区间１Ｏ等 分，得到它们的１０次插值多项式．利用前面Ｍａｔｌａｂ函数ｎｅｗｔｏｎｐ，编程如下： Ｎｅｗｔｏｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｙ—ｘｓｉｎｘ ａｎｄ ｙ一１／（１＋ｘ－２）； Ｎ一８；ｈ—ｌＯ／Ｎ； ｘ一一５：ｈ：５； ｙｌ—ｘ．＊ｓｉｎ（ｘ）；ｙ２一１．／（１４－ｘ． ２）； ｎｌ—ｎｅｗｔｏｎｐ（ｘ，ｙ１）； ｎ２一ｎｅｗｔｏｎｐ（ｘ，ｙ２）； ｘｘ—Ｌ一５：０．１：５ ； ｙｖｌ—ＸＸ．＊ｓｉｎ（ｘｘ）；ｙｖ２—１．／（１＋ＸＸ￣Ａ２）； ｙｙｌ—ｐｏｌｙｖａｌ（ｎｌ，ｘｘ）； ｙｙ２一ｐｏｌｙｖａｌ（ｎ２，ｘｘ）； ｓｕｂｐｌｏｔ（１，２，１），ｐｌｏｔ（ｘｘ，ｙｖｌ，～，ＸＸ，ｙｙｌ， ．ｇ） ｓｕｂｐｌｏｔ（１，２，２），ｐｌｏｔ（ｘｘ，ｙｖ２， ，ＸＸ，ｙｙ２， ．ｇ） 只需把Ｎ的值换成其他值，便可得到其他的插值多项式．插值结果见图１． 图１ 等距节点插值与Ｒｕｎｇｅ现象 Ｆｉｇ．１ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅｑｕｉｓｐａｃｅｄ ｎｏｄｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｒｕｎｇｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ 从图１可以看出，这两个函数的插值结果是不同的．对于全纯函数Ｙ￣Ｘｓｉｎｘ来说，提高插值多项式的 次数可以减少误差，但对于亚纯函数来说，利用等距节点插值，提高多项式的次数不仅不能减少插值误差， 第１Ｏ期 郑敏玲，等：Ｍａｔｌａｂ在课堂教学中的应用 ２３ 反而误差变得更大，这种现象称为Ｒｕｎｇｅ现象． 若利用Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ零点为节点做插值，修改上面编写的程序为： Ｎｅｗｔｏｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｙ＝ｘｓｉｎｘ ａｎｄ ｙ＝＝＝１／（１＋ｘ‘２）； Ｎ一８；ｋ一０：Ｎ； ｘ一一５＊ｃｏｓ（（２＊ｋ＋１）． ｐｉ／（２＊Ｎ＋２））； ｙｌ—ｘ．＊ｓｉｎ（ｘ）；ｙ２—１．／（１＋ｘ．‘２）； ｎｌ＝ｎｅｗｔｏｎｐ（ｘ，ｙ１）；ｎ２一ｎｅｗｔｏｎｐ（ｘ，ｙ２）； ＸＸ－￣－［一５：０．１：５］； ｙｖｌ—ＸＸ．＊ｓｉｎ（ｘｘ）；ｙｖ２＝＝＝１．／（１＋ｘｘ． ２）； ｙｙｌ—ｐｏｌｙｖａｌ（ｎｌ，ｘｘ）；ｙｙ２＝ｐｏｌｙｖａｌ（ｎ２，ｘｘ）； ｓｕｂｐｌｏｔ（１，２，１），ｐｌｏｔ（ｘｘ，ｙｖｌ， ，ＸＸ，ｙｙｌ， ．ｇｅ） ｓｕｂｐｌｏｔ（１，２，２），ｐｌｏｔ（ｘｘ，ｙｖ２，～，ＸＸ，ｙｙ２， ．ｇ） 得到的结果见图２． Ｉ］２基ｆｆ－Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ￣项式的零点的插值 Ｆｉｇ．２ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｚｅｒｏｓ ｏｆ Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ 从图２可以看出，利用Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式的零点为节点，可以显著减少插值误差，尤其对亚纯函数，这 种效果更明显． ２４ 湖州师范学院学报 第３９卷 ４ 结语 利用Ｍａｔｌａｂ实现对数值分析课程中重点、难点内容的教学，可以使抽象的数学公式直观化，使晦涩的 教学内容生动化；可以培养学生的求知欲，提高学生的科研能力；可以提高学生利用数学知识解决实际问 题的能力． 参考文献： ［１］赵景军，吴勃英．关于数值分析教学的几点探讨ＥＪ－］．大学数学，２００５，２１（３）：２８—３Ｏ． ［２］曾繁慧，高雷阜，胡引华．基于Ｍａｔｌａｂ的《数值分析》教学改革研究［Ｊ］．高教论坛，２００８（３）：６０—６１． ［３］ＫＩＮＣＡＩＤ Ｄ Ｒ，ＣＨＥＮＥＹ Ｅ Ｗ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ［Ｍ］．Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ：Ｗａｄｓｗｏｒｔｈ， Ｉｎｃ，１９９１． ［４］ＹＡＮＧ Ｗ Ｙ，ＣＡＯ Ｗ，ＣＨＵＮＧ Ｔ Ｓ，ｅｔ ａ１．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ Ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆ Ｓｏｎｓ Ｉｎｃ，２０１５． Ａ Ｐｒａｃｔｉｃａｌ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ ｆｏｒ Ｔｅａｃｈｉｎｇ：Ｎｅｗｔｏｎ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ＺＨＥＮＧ Ｍｉｎｌｉｎｇ。０ＵＹＡＮＧ Ｃｈｅｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｇｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕｚｈｏｕ ３１３０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｌａｂ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｉｎ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｎｕ— ｍｅｒｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｆｉｅｌｄｓ．Ｂｙ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｉｄｅａ，ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｎｅｗ ｔｏｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ，ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｈｏｗ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ． Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ ｔｈｅｏｒｅｍ ｂｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｌａｓｓｒｏｏｍ ｔｅａｃｈｉｎｇ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ；Ｍａｔｌａｂ ＭＳＣ ２０１０：６５Ｄ０５ ［责任编辑高俊娥］
