第３２卷第８期 ２０１１年８月 湖南科技学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｌ０１．３２ ＮＯ．８ Ａｕｇ．２０１ １ ．＿－．１ Ｃｊ 同 阶常系数线性差分方程的解的研究 劳智 （广州大学，广东广州５１００００；广东海洋大学寸金学院，广东湛江５２４０３３） 摘要：在文献【５］中，论文作者将常系数齐次线性差分方程改写为矩阵与向量乘积形式的递推关系，并运用相似矩阵 的理论给出了常系数齐次线性差分方程通解的解析形式。在论文中，则通过引进算子把常系数齐次线性差分方程化为一些式 子之积，再利用算子相关的引理，简便地得到ｋ阶常系数齐次线性差分方程ｋ个线性无关的解，从而得到通解。 关键词：差分方程；常系数差分方程；算子 中图分类号：０１５５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－２２１９（２０１１）０８－００１９－０５ 引进算千： ＝Ｙ “，Ｅ Ｙ ＝Ｅ（Ｅｙ ）＝Ｅ（ｙ ＋１）＝Ｙ ＋２，…，Ｅ Ｙ ＝Ｙ¨ 其中：用Ｉ表示恒等算子，即ｔｙ ＝Ｙ 。 在解常差分方程时常用到以下算子的有关引理： 引理１ （Ｅ一 ，）（Ｅ一 １）ｙ ＝（Ｅ一 ，）（Ｅ一 ，）ｙ 证明： （ 一 ）（ 一 １）ｙ ＝ Ｅ２一九ＩＥＩ一九ｊＥｌ＋ ｊＩ２、ｙｎ ＝【Ｅ 一（ 十 ）Ｅ十 ，］Ｙ ＝（Ｅ一２ｊＩ）（Ｅ一 ，）ｙ 即算子满足交换律。 引理２（Ｅ－Ｍ）（Ｐａ（ｎ）２ｎ）＝ 一１（ｎ） 其中 （，１）为ｎ的 次多项式。 证明：不妨设 Ｐａ（ｎ）＝ａｏ，ｚ ＋口ｌ，毫 ＋…＋口 ｌｎ＋ａ ， 则（Ｅ一 ）（ （，１） ） 收稿日期：２０１１一ｏ４—１５ 作者简介：劳智（１９７３一），女，广东化州人，广东海洋大学寸金学院讲师，广州大学在职硕士研究生，主要从事常微 分方程理论及其应用研究。 １９ ＝（ －Ｍ）（ａｏ ＋以ｌ，ｌ ＋…＋口 ＿１ｎ＋Ⅱ ） ：【ａｏ（，ｌ＋１）口＋Ⅱ１（，ｌ十１） 一十…＋ｄ ＿】（，ｌ＋１）＋Ⅱ ］， ＋ ・（ａ０ ＋口１，ｚ 十…＋以 ＿】，ｌ＋口 ） “ ＝（口ｏｆ（，ｌ＋１） 一ｎ 】＋口ｌ［（ｎ十１） 一ｎＯ，－１】＋…＋ｎ ＿ｌ［（，２＋１）一 】）， ＝ （ ） 由引理２可知：算子（Ｅ一 ）每作用一次，多项式 （ｎ）降低一次。故： 引理３ （Ｅ一 ） （Ｐａ（ｎ）２ｆ１）＝０ 定理１ 如果Ｙ（¨，Ｙ（ ）是七阶常系数齐次线性差分方程 Ｙ肿 ＋Ｐ ｌＹ ＋ 一１＋…＋ＰｏＹ ＝０ （１） 的两个解，那么 ＝ＧＹ ＋Ｃ２ｙ‘ ，（ ，Ｃ２是任意实数） 也是方程（１）的解。 定理２如果．），（ｎ，），（ ，…，ｙ（ ）是方程（１）的七个线性无关的特解，那么 Ｙｎ＝Ｃｌｙ（ ）＋Ｃ２Ｙ（ ）＋…＋Ｃ Ｙ（ ，（Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃ 是任意实数） 就是方程（１）的通解。 定理３方程（１）的特征方程为 ＋ｐ 一Ｉ ＋．．．＋ｐＩ ＋Ｐｏ＝０ （２）。 根据特征根的情况，可以写出对应解的各项见表３－１： 特征方程（２）的根 方程（１）通解中对应的项 （１）单实根 给出一项Ｃ （２） ：重实根 给出 项（ｃｌ＋ｃ２ｎ＋．．．＋ｃｊｎ 一 ） （３）一对单共轭复粮 ．２＝ ±ｆ 给出两项（Ｃ１ ＣＯＳｎＯ＋Ｃ２ ｓｉｎｎＯ）ｒ （４）－－￣ｃｒｊ重共轭复根 １．２ ＋ｉｌｆ 给出２ｊ项 ｌｉ（（ｃｃ川＋ｃ ＋＿１＋ｃ２ｎ十・・‘＋ｃ．． ＋ｃ２，Ｉ ）』月 ）ｃ０ｓ，ｌ ｓｉｎｎＯ｝＋ ｌ， ． 则（１）的通解为Ｙ ＝ｃｌｙ‘ ＋Ｃ２Ｙ ＋…＋ＣｋＹ‘ ，其中Ｃ１，Ｃ２，…，Ｃ 是任意实数，且通解Ｙ，ｌ中的每一项都由特征 方程的一个根所对应，其对应情况如表３．Ｉ。 证明：由定理３可知，要求方程（１）的通解，就要找出它ｋ个线性无关的解。 ２０ 先找 Ｙ ＝ （３） 形式的解。 若（３）为方程（１）的解，则 ＋Ｐｋ＿ｌ￣，ｎ 一 ＋…＋ｐｏ２＂＝０ （ ＋Ｐｋ＿ｌ￣ｋ ＋…＋ＰＯ）＝０ 即 ＋Ｐｋ＿ｌ：ｌ，ｋ一 ＋…＋ｐ０＝０ （２） 将上式称为方程（１）的特征方程，记为（２）。 设方程（２）可以分解为： （ 一 ）嘶（ 一 ） …（ 一 ） ＝Ｏ （４） 其中口ｌ＋ ２＋…＋ ，，ｌ＝ｋ。 引进算子 ， Ｅｙ ＝Ｙ肘ｌ，Ｅ２ｙ ＝Ｅ（Ｅｙ ）＝Ｅ（）， ＋１）＝）， ＋２…．，Ｅｋｙ Ｙ ＋ Ｅｋｙｎ Ｙｎ＋ ， 且ｔｙ ＝Ｙ 。 则方程（１）可以写成 （Ｅ ＋Ｐｋ－１Ｅ 一 ＋・・・＋ｐｏＥ）Ｙｎ＝０ （５） 由方程（４）可知，方程（５）可以写成 （Ｅ一 ，）啦（Ｅ一２２１） …（Ｅ一２ｍＩ） Ｙ ＝Ｏ （６） 由引理１可知，箅子满足交换律。故不妨考虑 （ －，；１１１）嘶Ｙ ＝０ （７） 若ａｌ＝１，即 为单根。此时， （Ｅ一 ，） ： 州一 ¨＝０ 即 Ｙ ： 是方程（７）的解，也是方程（６）的解。 若ａｌ＝２，此时由引理１，得 （Ｅ一 Ｊ） （ ）：（Ｅ－２１Ｉ）（Ｅ一 ，）（，ｚ ） ： 一 ，）【 ＋１） 州一Ａ・ 】 ：（Ｅ一 ，） ２１ ： 一 ＝Ｏ 即 Ｙ ＝ 是方程（７）的解，也是方程（６）的解。 由引理３ （Ｅ一 ）叶 （ （，ｚ） ）＝０ 可知 （ 一 ，）嘶（ｎ ～ ）＝０ 即 Ｙ ＝，ｚ 一 是方程（７）的解，也是方程（６）的解。 故，一般的 ，有 个解，分别是 ４ｎ， ， 。 ，…，ｎａ＇ｌ－ｌ￣，ｎｌ 因此，有ｋ个线性无关的解 ２ 一 ２ ， ， ，…， ， ， ， ，…，ｒｔａ２－１￣，…， ，ｎ ，ｎ２ ，…，ｎｏｒｍ－１ 。 故方程），ｎ＋ ＋Ｐｋ一１Ｙｎ 一Ｉ＋…＋ＰｏＹｎ＝０（１）的通解为： ｃＯ４．＋ｃ１．４＂＋Ｃ？ｎ ＋…＋Ｃ￣ｒ１－１ ｏ￣１－１ ＋ｃ ＋ｃ ＋ ｃ ，ｚ ＋…＋ｃ ２－１，ｚＯ￣２－１ ＋…＋ｃ ０／Ｌｎ ＋ｃ １，ｚ ｎ＋ｃ三，ｚ ＋…＋ｃ ｍ一 ｎｔＺｍ－１ 其中ｃ ，ｃ ，ｃｌ２，…，ｃ ～，ｃ ，ｃ ，ｃ ，…，ｃ ～，ｃ ，ｃ ，ｃ三，…，ｃ ～是任意实数。 若 为方程（６） 重实根，则 （ｃｌ＋Ｃ２ｎ＋．．・＋ｃ ｎａｊ－１） 是方程（１）通解的对应项。 若 为方程（６） 重复根，设 ＝ （其中ｒｊ， 分别是 的模及辐角） 由于复根应该共轭成对出现，故 －ｉ ： ， ｒ，ｅ 也是方程（６）的解。 因此， 对应的解为： ｒ；ｅｉｎＯ）。ｎｒ；ｅｉｎＯ） ２ｒ；ｅ ｎ８ｉ。…，ｎ。ｉ一 ｒ ｅ ８ｉ 对应的解为： ｒ ｅ— ８ｉｎｒ ｅ一 ｅｉ ２ ｒ ｅ一 ｏｊａｉ－１ ｎｊｅ－ｉｎＯｊ ．ｎ，…，ｎ共２ 个复解。 由欧拉公式 ｉ８ｅ：ｃｏｓＯ＋ｉｓｉｎＯ．Ｐ一 ＝ｃｏｓ０一ｉｓｉｎ０ 及定理１可知， （ｎ ， 肿 ＋ｎ，ｒ７ｅ－ｉｎ０１）＝ｎ ０ｎ ｃ。ｓ ｎ Ｊ 去（ｎ ｅ们Ｌ ｎ ４ｅ－，．ｅ）：ｎ ｓｉｎ ｎ 』 帆是方程（６）的解。 因此，得到２ 』个实数解 ｃ。ｓ ０ｉ，ｎｒ￣ｃｏｓ ａｊ，ｎ ２ｒ］ｃ。ｓ ０ ，…，，ｚ ｃｏｓ ０ ， ｓｉｎ ０１，ｎｒ，ｓｉｎ Ｏｊ，ｎ２ｒ；ｓｉｎ ０Ｊ，…，，ｚ ｓｉｎ ０Ｊ。 故 【（ｃｌ十ｃ２，ｌ＋．．＿＋ｃＪ ）ｃ。ｓ，ｌ ＋（ｃ川＋ｃｊ＋２ｎ－－ｔ－－－￣－Ｉ－ｃ２Ｊ ）ｓｉｎ，ｌ 是方程（１）通解的对应项。 得证。 例２．１ 求差分方程 Ｙ ＋７—９ｙ ＋６＋２９ｙ ＋５—４５ｙ ＋４＋５５ｙ ＋３—６３ｙ ＋２＋２７ｙｎ＋ｌ一２７ｙ ＝０的通解。 解：该方程的特征方程为 凳一９２ ２９凳一４５ ５５凳一６３ ２７２，一２７＝０ 即 （ 一３）。（ ＋１） ＝０ 其根为： ，２，３＝３， ４５＝ｉ，２６７＝－ｉ ．．根据定理２＿３，得该方程的通解为 （Ｃ１＋ｃ２ｎ＋ｃ３ｎ２）３ ＋（ｃ４＋ ）ｃ。ｓ詈＋（ｃ６＋ｃ７）Ｓｉｎ 其中Ｃ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６，Ｃ７为任意实数。 参考文献： 【ｌ健 士银．一阶常系数差分方程的特解公式【Ｊ】．沈阳工程学院学报，２００８，（１）：９１—９３． ［２】赵士银．一类二阶常系数差分方程特解的简单求法［Ｊ］＿河南教育学院学报，２００７，（９）：１４．１５． 【３］郑桂梅．高等数学【Ｍ］．长沙：国防科技大学出版社，２００８． 【４］祝浩锋．ｋ阶常系数线性差分方程的几种解法【Ｊ】．工科数学，１９９４，（１）：１６—２１． 【５】胡劲松，郑克龙．用矩阵的方法求解常系数齐次线性差分方程［Ｊ】．大学数学，２００７，（３）：１３３—１３４ （责任编校：京华） ２３
