含参不等式恒成立问题

专题课含参不等式恒成立问题

－－参数取值范围求解策略

知识梳理:“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

(一)、判别式法：

●若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

2f(x)axbxc(a0,xR),有 【类型1】:一般地，对于二次函数

a0a0.00f(x)0f(x)0(1）对xR恒成立; (2）对xR恒成立

2f(x)axbxc(a0) 【类型2】：设

（1）当a0时，

bbb2a或或2a2af(x)0在x[,]上恒成立f()00f()0，

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f()0 f(x)0在x[,]上恒成立f()0

f()0（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立f()0

bbb2a或或2a2af()00f(x)0在x[,]f()0 上恒成立

2ylg[(a1)x(a1)x1]的定义域为R，求实数a的取值范围。 例1．已知函数

2例2．一元二次不等式xbx20在1,2上恒成立，求实数b的取值范围。[答案b3]

(二)、最值法：

●将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

(1）f(x)a恒成立af(x)min

( 2）f(x)a恒成立af(x)max

232f(x)7x28xa,g(x)2x4x40x，当x[3,3]时，f(x)g(x)恒成立，例3．已知

求实数a的取值范围。答案[45,)

x22xaf(x),x[1,)x例4．函数，若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，求实数a的

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取值范围。答案:a3

(三)、分离变量法：(参变分离法)

●若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

(1）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max

(2）f(x)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(x)max

实际上，上题就可利用此法解决。

22略解：x2xa0在x[1,)时恒成立，只要ax2x在x[1,)时恒成立。而易2h(x)x2x在[1,)上的最大值为3，所以a3。 求得二次函数

2例5．已知函数f(x)ax4xx,x(0,4]时f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。[答

案:(,0)]

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

（四）、变换主元法：

●处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

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22x1m(x1)对满足2m2的所有m都成立，求x的范围。 例6、若不等式

解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：

m(x21)(2x1)0，；

2f(m)m(x1)(2x1)， 令

则2m2时，f(m)0恒成立，

22(x1)(2x1)0f(2)02f(2)0所以只需即2(x1)(2x1)0，

所以x的范围是

x(1713,)22。

2xa[1,1]练习：对任意，不等式(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为

2(x2)ax4x40在a[1,1]上恒成立的问题。 一次不等式

2解：令f(a)(x2)ax4x4，则原问题转化为f(a)0恒成立（a[1,1]）。

当x2时，可得f(a)0，不合题意。

f(1)0当x2时，应有f(1)0解之得x1或x3。

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故x的取值范围为(,1)(3,)。

反思：对于一次函数f(x)kxb,x[m,n],(k0)有：

f(m)0f(x)0恒成立,f(n)0

f(m)0f(x)0恒成立f(n)0

（五）、数形结合法：

●数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；

2）f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。

4x1a3,若恒有f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.

例7．设f(x)x4x ,

2g(x)巩固练习

1、求使不等式

asinxcosx,x(0,)42恒成立的实数a的范围。（a2）

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2f(1axx)f(2a)对于任意(,)2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式

x[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。（a1）

(x1)2logax3、当x(1,2)时，不等式恒成立，求a的取值范围。（1(1)n1(1)a2n4、若不等式

n对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

5、对数列an和bn，若对任意正整数n，恒有bnan，则称数列bn是数列an的“下界数列”.

（1）设数列an2n1，请写出一个公比不为1的等比数列bn，使数列bn是数列an 的“下界数列”；

n22n7，求证数列bn是数列an的“下界数列”；

（2）设数列

an2n23n10,bn7,n117an2,bn7,nN,n2nnn1（3）设数列，构造：

Tn(1a2)(1a3)(1an)，

Pn(1b1)(1b2)(1bn)，求使

TnkPnn2,nN对恒

成立的k的最小值.

1bn()n2等，答案不唯一； 5.1）

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371an2(n)248，当n1时an最小值为9, （2）

71111221(12)1aa1772a3a2a1,4nn52, 222，则

bn12n因此，n4时，bn最大值为6，所以，

bnan，数列

bn是数列an的“下界数列”

；

（3）

Tn(11111324(n1)(n1)n1)(1)(1)2222222n， 23n23nn1n1n27kn17k[]maxkPnn222(n7)，2(n7)n，n， 不等式为2n，

n1t222(n7)2(t2t8)182(t2)t，

设n1t,t3，则

n1388[]maxtt222，t单调递增，t3时，t取得最小值，因此2(n7)当t3时，

3.k的最小值为22

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