二项式定理
二项式定理的定义 二项式定理的证明
二项展开式的通项
二项式系数的性质
知识内容
」、
定义：
0
1 _ n
4 n _
2
°
°
--r
n
*
（a 亠 b）n
_Ca - Cb - C
n
亠亠-亠 Cn' （nWN ），这一公式表示
（a - b）n的二项展开式；上述二项展开式中各项
的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做 的系数=0,1,2，…，“）叫做二项式系数，第r
T「+ =C ；a\"丄匕「叫做二项展开式的通项公式.
项叫做二项展开式的通项，用 T「“表示；
- 二项展开式的特点与功能
1. 二项展开式的特点
项数：二项展开式共 n・1 （二项式的指数+1）项；
指数：二项展开式各项的第一字母 a依次降幕（其幕指数等于相应二项式系数的下标与上标的 差），第二字母b依次升幕（其幕指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和 均等于二项式的指数n ；
系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数； 幕指数；
2. 二项展开式的功能
注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予
a, b不同的取值，则二项式展开式演变
母函数”，它是解决组合多项式
上标等于该项的项数减去
1 （或等于第二字母b的
成一个组合恒等式•因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的 问题的原始依据.
又注意到在（a ■ b）b的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则 易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列•因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证 明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据.
二项式系数的性质
1对称性：在二项展开式中，与首末两项
2
等距离”的两项的二项式系数相等.
单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最
n
大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数
n
C孑最大；当n为奇数时,
二项展
丄
n 1
开式中间两项的二项式系数
组合总数公式：C 3n C n C
4
0
1
2
n
n
2
C n
，C n2
相等，且最大.
即二项展开式中各项的二项式系数之和等于
C
^2
的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和, 一分为二”
例题练习
【例
1. 二项式定理及其展开式
1
求（X • —）5的展开式.
(x -丄)5 =C 5x5(^)°
X
x
1
【解
4
15
1
X
C
X (-)
C
C(;)
1
3
4
5
X
X ()-
X
1
1
4
CX (5
5
0
1
5
；)
5
3
1
1 1
=x +5x +10x+10—+5 = + 厂
Xxx
【例2】 0. 9915
的近似值（精确到 0.001 ）是
【解析】 5
5
2
0. 991 =(1-0 . 009) =1-5 >0. 009+10 X0.009)…
~-0.045+0 . 00081 ~056
【例3】 求证：(1 ) n n」_1 能被(n -1)2 整除(n • N , n _ 3);
【证明】为利用二项式定理，对 nn丄中的底数n变形为两数之和n _3，且 n^N , 二
=[1 亠(n—1)]\"丄
于是有 n n —1 =[1 - (n —1)] n 丄-1
+Cn 丄(n —1 ) + C ・丄(n —2 ) +... +Cn 亠(n —1
= C」(n —1 丄(n —2 j
+... +仁(\"—1
.
（或差）=n
C」n
_1
M )
〜n 1
注意至U n _3 ，且n三N
，故1 • C 丄■ C 丄n 一1 ]亠…
n
n
■CnJ n
因此由()式知nn 1 _1能被(n _1)2整除;
2. 二项式系数
B. 14
C. ->8
D. 28
一(1 -X)
【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求, 化整为零”为基本方法之一,
8
= 8 8
8 8
8 . .
(x _1)(x M)
x ■(x -1) _(X 1) ，又(1 - x)的展开式中【例4】 在二 x(1 - x) _(1 - x)
(x_1)(x.1)8的展开式中X5的系数是(
)
的系数为C 8
4 5 4
3
原展开式中X的系数为C 8 -C 8
二C 8
「C
8 =14
，应选B .
【例5】 设k =1,2, 3,4, 5，则(x ■ 2)5的展开式中xk的系数不可能是(
)
A.
10
B. 40
C.
50
D. 80
【分析】立足于二项展开式的通项公式： T— =C；x5丄2「(r =0,1,2，…，5)
•••当 k=1 时，r=4, x1 的系数为 C 5 24 =80 ; 当 k=2 时，r=3, x2 的系数为 C 5
-2 3 = 80 ；
当k=3时，r=2, x3的系数为C 5 2 2 =40 ； 当k=4时，r=1, x4的系数为c5 21 \". •综上可知应选C.
【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式.
【例6】 在(1 -X)5 (—x)6 • (1 —X)7 • (1 —X)8的展开式中，x 3的项的系数为(
D.
-21
5
4
5
【分析】考虑求和转化，原式
(1 -X) [1 _(1 -X)] (1 -X)
1 一(1 _
A.
74 B. 121
又(1-X)5的展开式中x4系数为C 5 , (1-X)9的展开式中x4系数为C 9
4
4
原展开式中X3项的系数为C5_C
9=：「121，应选D .
x4的系数为)
已知(一二
【例
(n • N “)的展开式中奇数项的二项式系数之和等于
512，试求:
(1 )二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项；
(3)系数最大的项.
【解析】由题意得
+C 2
+
C \"
十…=2n
丄=512
n
n
n
• •• n =10
30 _5 r
•二项展开式的通项公式为 Tr八=c ；丄-1)\" 2丄.x 6 (r =0,1,2,…10 )
(1 ) I n =10 , •二项展开式共11项
•••二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大
5
一1
: 63
•所求二项式系数最大的项为2r
(r —1)! (11
丁
6
(2)设第r+1项系数的绝对值 c ； .2丄最大,
厂 r
则有
C
10
C 10
10 !
r! (10 _r)!
10 !
r! (10 —r)! r ：和1 1
--------- >- 10 _r 2 11 r
2
r
解之得-33
N，故得r=3
-_C 10 2
T4 二一15 x 2
•所求系数绝对值最大的项为
(3 )由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在 又
.2」>C十2丄虻
r取偶数0, 2, 4, 6, C 108, 10时，相应的各项系数分别为Ur 兰 10)
r
「丄 _£r 1 )
-C_4
C
0 0
102
,
C
102
2,1 ,
102
C
102
,
2
.C —>
r —
C
即分别为1,竺,105
45
1
4
8
10
-r)!
256 2
5 项(r=4)，即 T
105 5 由此可知，系数最大的项为第5 ----- x 3
8
•第4项系数的绝对值最大
2
_10
8 10 10 2
，
C
10
105 32
r取偶数的各项内
点评：
(1)解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认
定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数•二者在特殊情况下方为同一 数
1 10
(2)这里(.x
值.
3
）10展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 (、_x .
1
)10
2 Jx
2；』x
展开式中系数最大的
（3）本题解法一题两制”：对于（2）
，我们运用一般方法进行推导；对于（ 3） ，我们运用认知、列
举、比较的方法导出目标•当指数
n数值
3）的解法颇为实用.
较小
【例 8】 设(4x _1 ) 200 - a0
-.3 x -.-a2
x2
11 a
200 X
200
，求
项，必要时可适时转化.
① 展开式中各二项式系数的和; ②
展开式中各项系数的和;
③a1 -.-a
3亠 亠玄佃的值 ④a 2 -“4亠 亠a 200的值
【解析】令 f(x) =(4x _ 1 ) 200 =a2
0
■ a1
x - a2
x
亠.亠a 200
x
200
①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和 C
0 2 200
200
C 亠 •亠 C 200 200 200 = 2
C
②展开式中各项系数的和
a0 a1 a2 ■■■■
200
：|l，a
④仿③得a0
③注意到 亠a2
亠a4
亠'亠a
200
（3 亠a
f (1) =a 0
- a1
- a2
・a3
…-a
2
°°
2
'a 200
, f ( 一1) = a0
-a 199
200
199
.f ⑴ _ f ( _1) =2®
• a3 亠-亠)
1
1 200
a1 - a3 a5 川…什a^
[ f ⑴ 一 f( -1)]
(3 -5
200
)
2
2
200
t
-5
)，又
a° 二 f(0)二 1
82
7」八一2
200
=：1( 3 200 -
5 200
) 一1
2
⑤解法一（直面原式）：
f(-1)二a。一a〔 一a? —a3 …
一 a199
a
200
\"a199
_ a
200
= a
0
_ f ( -1)
,又 a0 二 f (0)二1
-
-a 199
' a200
— f
( _1)
- 1
a
1
• a2
_a3
- a4
再由二项式的展开式知,
a
0 , a 2 ,
, a
200
_ R , a
1 , a 3 , a199
200
ai
-a2
a
200
—(-a 1 ) ■' a 2 ■' ( -a 3) ■' a ( -a 5
199 ) ■''a 200 = f ( -1) - 1
二
⑤d| “|a
2|…十200的值
点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根
-1
据问题的具体情况，对未知数
x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值.
3. 二项式展开式的通项公式
1
【例9】求（x_ ）9的二项展开式中x3的系数.
x
【解析】展开式的通项为
T
m 1
=C
9 m 9 %
m1
_ (
)
m
= (_1)
m
C
9 2m 9 X ■
根据题意，有9 _2m =3 ,解得m=3 因此，x3 的系数为（_1）3 C3 =（_D3 34 =_84
【例10】求（1 ■ 2x）7的二项展开式中，第 4项的系数和第4项的二项式系数. 【解析】（1 .2x）7的二项展开式的第4项为
3
T3 1
7 3 3
心1 -
（2x）
3
所以第4项的二项式系数为 C7 =35
3
第4项的系数为C 7 8 =280
【例11】求（低+亠）10的二项展开式的第6项.
x
【解析】口二丁：十二。!^振I'亠厂=C； =252 .
1 R
【例12】二项式（x +—）的展开式中常数项的值为 _________
x 1
【解析】展开式的通项为 J 1.=C；x6」（—）r =C；x6②由题意知6-2r=0，即r=3，故有展开式中常数项
x
5
=
「
5
【解
T
(
r 1 =C 10 ' Xi\" 4
1 r
(-3
)
r
r
\") C10
的值为C 6 =20 .
5
打x
依题意，5 r =0，即r =6 .
6
【例
所以展开式的常数项是T7 =（-1）C
展开式中的常数项是
6
； =210
【例14】（2010江西卷理6）（2—.x）8展开式中不含x4项的系数的和为（
A. -1
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反•采用赋
8
值法，令x =1得：系数和为1，减去x4项系数C 8
2 0(_1)8 =1即为所求，答案为 0.
4. 二项式定理在解决整除性问题中的应用
【例15】今天是星期一，再过8n天后的那一天是星期几？
都能被7整除.因此余数为,
C n =1所以应为星期二.
【解析】8n =(7+『=C：7n+Cn7n」+C：7n，+…+Cn^1+Cn因为Cn前面各项都是7的倍数，故
【例16】91 92除以100的余数是( )•
【解析】转化为二项式的展开式求解.
92
1
91
92
91
=(90 亠 92
1)
—90 亠
C
90 2 91
92 90
川…卜 C 92 90
■ C
92
90 1
.
91
上式中只有最后两项不能被
100整除C 90 .1 =92
90 -1 =8281
92
92
8281除以100的余数为81，所以91 除以100的余数为81.
5. 信息迁移
■ ZrM ,
[,t - 2004 2 2004
【例 17】右(1_2x) a0 亠 亠 a2x 亠•亠a 2004 x (x 三 R) , (a0 亠 aj 亠(a0 亠 a2)亠■亠(a0 亠 a 2004 )
= _________ .(用数字作答)
【解析】 设 f (x) =(1—- a0
■ a 1
x ・a2
x 亠'-a
2004
x 2°°4
贝V f (0) =a0
, f (1) =a0
亠a’、a2
亠'亠 a
2004
= 1 .
2
【例18】已知函数f (x)
2
-1 求证：对于任意不小于
n
3
-1
的自然数n，都有f(n) •厂
原式= 2004 a0
- (a1
• a 2 …… ① 2004 ) = 2003 a0
• f(1) =2004 应填 2004.
n
【证明】要证 f (n) > — (n € N ,且n启3，只要证 -_
，即证2n >2n +1(n兰3).
n +1
n
n
0
1
2
n
0
1
n _1
而 2\" =(1 J)\" =C C C
C n
C n
C n
C n
=2n • 1
，故原命题显然成立.
【例 19】求证：2 ：：：(1 - ^)n ::: 3( n _ 2, n 三 N * )
n
【证明】
1 (1 * )
n
)
n
2 n +1 n +1
3
1
'火― n
I
n
1
孑+・・亠+ C 、& —
显然(1 l)n
n
3
n
n
n
1 n (n _ 1) X- =2+
+
X-
n (n —.1)( n —.2)
+ …+
2! n2
3!
1
n (n —1)叮 、：.2
X-
1 1 1
1 1 1 1
< 2+ — + — +— +
••+ — < 2+ —+ 3
•
——+——+ …+ 2n!
2心
1
—口2! 3!
1 n 1
一(一4!
)_
]
2
2 1
1
=2+ ----- 2
----- =3-(—)
：
2
n
-1 :::(1
.丄)n ：：： 3(n _2, n 三 N
n
课堂总结
1. 在使用通项公式Tr i =C nan±br时，要注意：
① 通项公式是表示第r+1项，而不是第r项
② 展开式中第r+1项的二项式系数 C n与第r+1项的系数不同
③ 通项公式中含有 a，b，n，r，Tr 1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素 有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问 题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组） 数且r q
2. 证明组合恒等式常用赋值法
3. 二项式定理应用通常有以下几类题型：
① 通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题
② 系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数 ③ 系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和
④ 利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式 ⑤ 在概率等方面的应用
这里必须注意n是正整数，r是非负整
在
课后检测
【习题1】（2010全国I卷理5） （1 • 2, x）3（1 _3,x）5的展开
B. -2 式中x的系数是（
A. -4
【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用,
一坂）5
12
1 ■-x)
A 14
及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【答案】B
【解析】(1 • 2 .. x)3 (1 _3. x)5 =(1 6.x - 12 x ・8x.. x)(1
故（1 • 2...x）3（1 一3.. x）5的展开式中含 X的项为
1
c5
(-3
、x
)3
的系数为-2.
【习题2】（2x •、、x）4的展开式中
的系数是（
C 24
D. 48
【解析】（2x
，在(1 • 2 ... x ) 4 中,
x的系数为C
【习题3】（2
的展开式中常数项是（
B -14
C 42
D -42
【答案】C
【答案】A
【解析】设（2x3
厂的展开式中的第r+1项是Tr 1 ＜：./x
二c7（2x3
）7
丄
7 2
7
- ( -1 )
C 6 6
7( _1)
■21 21
- 14
【习题4】（2010陕西卷理
x - - （x・R）展开式中x3的系数为
10,则实数a等于（
x
-B. 0. 5
【答案】D
▼C
r
2r x
【解析】•/ T 1 =C a
■
5 _,又令5 -2r =3得r 5
【习题5】若 (x
3
1
xx)n
的展开式中的常数项为 84,则 n=
--2x，所以x
r
3(7_£)
x
2
二 10 =• a 二 2 .
【答案】9
r r
-
r
3n _r
【解析】T r i (X ) ~ -(X ^ ) r 二 Cn X
n
n
入
9 2
令 3n— r=0, ••• 2n=3r • n必为3的倍数，r为偶数 试验可知n=9, r=6时，C - C -84
【习题6】已知（xlgX -i）n展开式中，末三项的二项式系数和等于
值
【解析】由题意C n\" C n\" C n =22 ,
n
n
2 1 0
22,二项式系数最大项为 20000,求x的
n
即 C n C n C ^22，
C
6
(
2000
^^3 二。 lg X
，即 x3lgx =1000
••• n=6 •第4项的二项式系数最大 ,、 1
• x=10 或 x=—
10
【习题
7】（2010安徽卷理 12)
x y 6 .y x
f
( -- --- ) 展开式中,
x3的系数等于
33
【解析】C：（4）4（$）2 = 15x，所以x的系数等于
Jy \\'x
r
当一—・3（7 _r） =0，即r=6时，它为常数项,
2
