相似三角形练习题

1.下列四个三角形中，与右图中的三角形相似的是 （ ）

A. B. C. D.

2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是 （ ）

A

． DC C． B． B A． 3.已知△ABC和△A′B′C′是位似图形.△A′B′C′的面积6cm2，周长是△ABC的一半.AB＝8cm， 则AB边上的高等于 （ ）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm

4.如图Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（ ） A．bac B．bac C．bac D．b2a2c

第4题图 第5题图 第6题图

5.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是 （ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2

6.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影

子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为 （ ） A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米

7.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶 （ ） A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m

8.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD=（ ）

A.2:3 B.3:2 C.1:2 D.2:1

C′

C D D′

A D 2221OD′，则A′B′:AB为 2

第8题图 第9题图 9.如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知 BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

10.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，下列结论不正确的 ．．． 是 （ ） A.BF=

1DF B.S△FAD=2S△FBE 2C.四边形AECD是等腰梯形 D.S△DAB=6S△FBE

11.如图，已知D、E分别是ABC的AB、 AC边上的点，DEBC,且SADES四边形DBCE1 那么AE:AC等于 （ ） A．1:9 B．1:3 C．1:8 D．1:2

A A

F

H

I J

C B B 第11题图 C 第 12 题图 第13题图

G 12.如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有 对． 13.在Rt△ABC中,C为直角,CDAB于点D,BC3,AB5,写出其中的一对相似三 角形是 _ _ 和 _ _ ； 并写出它的面积比_______ . 14.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交 BD于点F，如果

D E E BE2BF， 那么 ． BC3FDA A1 A2 A4 A5 B C

A3

15.如图，已知直角三角形ACB，AC=3，BC＝ 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1， 再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作 C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC， 垂足为C2……，这样一直做下去，得到了一 组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2……，则第 10条线段A5C5= ．

16.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形， 连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG 与AD相交于点N．

求证：ANDNCNMN.

C5C 4 C3 C2 C1

17.已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，E、F分别是AB和BC边上的点.

（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC.若AD =4， BC=8，求梯形ABCD的面积S梯形ABCD的值；

（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k·EF（k为正数），试猜 想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.

18.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=

1CD. 2（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积.

19.如图，E是矩形ABCD的边DC延长线上一点，连结AE分别交BC，BD于F，G．

（1）图中有全等三角形吗（对角线分矩形所得两个三角形除外）？若有，请写出一对来；若没有，请添加

一个条件（不添加辅助线和不改变图中字母），使得图中有全等三角形，并写出来； ．．．． （2）图中有相似三角形吗？设矩形ABCD的周长为20，对角线长为213，求CE的长，

使得你找出的一对相似三角形的相似比为2:3． ．．A

G B

F D

C E

20.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与C重 合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE10cm，△ABF的面积为24cm，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2ACAP？若存在，请说明点P的位置， 并予以证明；若不存在，请说明理由．

21.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶 点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形 ．．．．．以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2︰1．

22.如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼． （1）在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕 原点O旋转180°后得到的图案； （2）在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将 原小金鱼图案以原点O为位似中心放

大，使它们的位似比为1：2，画出放大 x 后小金鱼的图案．

23.如图（1）是夹文件用的铁（塑料）夹子在常态下的侧面示意图．AC，BC表示铁夹的两个面，O点是轴，

ODAC于D．已知AD15mm，DC24mm，OD10mm． 已知文件夹是轴对称图形，试利用图14（2），求图14（1）中A，B两点的距离．

O

(2) (1) ABCD中，AB=2，AD=324.在矩形．

（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明； ．

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出 旋转度数；若不能，请说明理由．

2

25.如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，OAB90，点O为坐标原点，点A在x轴

的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA2，AB23，BM:MO1:2． （1）求OB和OM的值；

（2）求直线OD所对应的函数关系式；

（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形 OABD的边于点E（E异于点A），设OPt，梯形OABD被夹在OAE内的部

分的面积为S，求S关于t的函数关系式． y D B M x O A

26.已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE， 且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BECD；②△AMN是等腰三角形．

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到 图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

27.小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：

（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DFAE交AB于F，求证：AEDF； （2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，

EF的值； GH（3）如图3，矩形ABCD中，ABa，BCb，点E，F分别在AD，BC上，且EFGH，

EF 求的值．

GH 且EFGH，求

28.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线 段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且

AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (ab，k0)，

第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=

29.如图Rt△ABC中，C90，AB50，AC30，D，E，F分别是AC，AB，BC 的中点．点P从点D出发沿折线DEEFFCCD以每秒7个单位长的速度匀速运动；

点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKAB，交折线

1，求BE2DG2的值． 2BCCA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点

． P，Q运动的时间是t秒（t0）

（1）D，F两点间的距离是 ；

（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EFFC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连结PG，当PG∥AB时，求出t的值．

30.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开” 纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸 ．．．

的短边长为a．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按 如下步骤折叠：

第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠， 点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE；

第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a的代数式表示． 的值是 ，AD，AB的长分别是 ， ．

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值； 若不相等，请分别计算它们的比值．

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分 别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M90，MNMQ2PQ，且四个顶点 M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯 形的面积．

31.如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶 点，∠BAC =∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、 AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直 角坐标系(如图2).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算 验证BD2＋CE2=DE2.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不 成立,请说明理由. y A A 222 B D E G C B D O E G C x F =AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点 32.如图，在F △ABD和△ACE中，ABE交于点G． F，BC与AD相图1 （1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由； 图2 （2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG 和 FB的比例中项吗？为什么？ AC F GBD

33.（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延 长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．

B F D

A E C 图 1

（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的 延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．

B

F

D

A C E 图 2

34.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD， BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请 说明理由．

C D

M N

35.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线

PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若

A F B PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上. E 以线段PT为一边作正方形

（1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.

36.在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且

BPF60．

（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线l向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请

写出来（不证明），若不成立，请说明理由； （3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF明：结论中不得含有未标识的字母）

37.如图，在矩形ABCD中（AB >CD），E为线段AD上的一个动点（点E不与A、D两点重合），连结EC，过E点作EF⊥EC交AB于F. 连结FC ．

（1）△AEF与△DCE是否相似？并说明理由；

（2）E点运动到什么位置时，EF平分∠AFC，证明你的结论．

1并说明理由．（说PE？请写出探究结果，

2

38.已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．

（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

PQADPCABS△APQ3y，（2）在图中，联结AP．当AD，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，

S△PBC2其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量

的取值范围；

（3）当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小． A

P D

A

P

P Q B

图1

C

（Q） B

C

图2

Q B

图3

D A

D

C