＝ 数理化解题研究 ２０１８年第Ｏ４期总第３８９期 差比型数列前 项和公式 杨春猛 （云南省玉溪第三中学摘６５３１００） 要：处理高中数学中“等差乘以等比”型数列的主要方法是错位相减法，计算化简过程比较复杂，ｅｇｇ－ 推导出一个方便记忆和计算的公式：ｓ ＝ 手 关键词：差比数列；错位相消；前ｎ项和 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ ，以便大家使用． 文章编号：１００８—０３３３（２０１８）０４—００２６—０２ 一、问题的提出 评析上述公式在使用时的技巧性在于分子的ｇ 往 上乘时，等差等比各乘一个ｑ． 处理高中数学中“等差乘以等比”型数列的主要方法 是错位相减法，在具体计算过程中计算方法是比较容易 呦口 ＝ 盟 鲁 ４”。，方便和后项合并同类项，如上例（ ）式． 中的 掌握的，计算化简过程却比较复杂，很多学生不容易计算 出正确的结果，笔者针对这一问题推导出一个方便记忆 和计算的公式，以方便大家使用． ４ 一个乘在（４ｎ＋２）４ 中的４ 上，一个乘在（４ｎ＋２）４ 中的 ４ｎ＋２上．使得（４ｎ＋２）４ 的指数部分４ 乘以公比４后，变为 例２设数列｛ｏ ）的前ｎ项和为Ｓ ６１，。＝１，且对任意 二、公式 记ｃ ＝ａ ｂ ，其中｛ｎ ｝是等差数列，｛６ ｝是等比数列， 正整数ｎ，满足２ａ ＋Ｓ 一２＝０． （１）求数列｛ｏ ）的通项公式； 则｛ｃ ｝的前ｎ项和ｓ ＝ ｝ ：ｏ！ｏ６。，就是｛ｃ ｝中的ｎ取０时的值． ．其中ｃ。 （２）设６ ＝ｎＯ，：，求数列｛６ ）的前ｎ项和Ｔ． 解（１）略．（２）由（１）知，６ ＝ｎｎ２ ＝者，则 三、应用 设等差数列｛ｏ ）的前ｎ项和为Ｓ ，ａ，＝５， ＝２５． ４Ｔ￣（１）求数列｛ｎ ）的通项公式； （２）设６ ＝ａ ２“，求数列｛６ ）的前ｎ项和 ． 解（１）略． ＝（４ｎ＋２）４“， （２）由（１）知，６ ＝ａ．２ ＝（２ｎ＋１）２ 一手＋砉 ·＋ ＋者，① －４＋２＋丢 ·＋ ＋ ｎ，② （者一。）（÷）２一（ 一·） （ 一÷） Ｉ ｎ 一贝０ Ｔ＝６·４ 十１０·４ 十ｌ４·４ 十···十（４ｎ十２）４ ， ４Ｔ＝６·４ ＋ｌ０·４。＋ｌ４·４ ＋…＋ｆ４ｎ＋２）４“ ． 【（４ｎ＋２）４ 一２］４ 一［（４ｎ＋６）４ 一２４】 ｎ一 （ 一 ）］ ９ －（１—４） 一一 【（ 鱼 ±墨） ：： 二三 ］二【（ ±鱼） ：： 二 ！ （１—４） （【 一 下９ 一一¨ｏ ）Ｊ ． ， １２ｎ．． ． ．．．－１６＋１６ ． ．．—— ．．．．．．）９ 一—— ！ ± ２ ：： 二 ９ ‘ 一 ９ ９×４ 一 收稿Ｅｔ期：２０１７—１Ｉ一０ｌ 作者简介：杨春猛，男，中学一级教师，从事高中数学教学 一２６一 ２０１８年第Ｏ４期总第３８９，期 ＝数理化 究 １一ｑ ＝ 例３ 已知数列｛ａ ｝的前ｎ项和为ｓ ，（ａ 一Ｓ ） Ｓ ·Ｓ （ｎｉ＞２），且。ｌ＝１，口２＞０． （１）求ａ 的值，并证明｛ｓ ｝的等比数列； （２）设ｂ ＝（一１） ｌｏｇ２Ｓ ，Ｔ＝ｂ ＋ｂ２＋…＋ｂ ，求 ． 解 （１）略．（２）由（１）知，Ｓ ＝４ ． ‘．．（ａｎｂ ＋２一ａｏｂ２）～（ａ ＋ｌｂ ＋１一ａｌｂ１） ＝＝一 １——ｑ （ａ．ｂ 一ａｏｂ０）ｇ ～（ａｎ＋ｌｂ ＋ｌ—ａＩｂ１） １一ｑ ｂ ＝（一１） （２ｎ一２）， 一（ｃ 一ｃ０）ｑ 一（ｃ ＋１一℃１） 【（二 ！ 二 ２± ３ ｆ二 ！：二［【二 ： （ ２二 ］ ［１一（一１）】 一一 ｆ二 ！：：Ｉ＿（ 二 ２± 二（二 ）：：： ４ ＋所 ＝ ． ： （二 ：：（ 二 ２ 。 其中Ｃｏ＝ａｏｂ０，ａ０＝ａ。一ｄ，是ａｔ的前一项，也就是０ ＾ ２。 ＝０ ＋（ｎ一１）ｄ中的ｎ取０时的值．同理，％＝ ，是ｂ 的 四、推导过程 ｅ ＝ａ ｂ ， 前一项，也就是ａ ＝ａＩｑ 中的ｎ取０时的值． 所以Ｃ。＝ａ０ｂ。，就是ｃ 中的ｎ取０时的值． 所以Ｓ ＝ａｌｂｌ＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ３＋…＋ａ 一ｌｂ 一１＋ａ ６ ｑＳ ＝ａｔｂ２＋ａ２ｂ３＋ａ３ｂ４＋…＋ａ ｔｂ ＋ａｎｂ ＋Ｉ 一参考文献： ［１］蓝云波．差比型数列前ｎ项和的三种求解方法 所以（１一ｑ）Ｓ ＝ａ１ｂｌ＋ｄ６２＋ｄ６３＋…＋ｄ６ 一１＋ｄ６ 一 。 ６ ＋，．＝ｎ。６ ＋ 一。 ６ ＋， ［Ｊ］．中学生数理化：高二高三版，２０１６（１）：８—８． ［２］于克清．探究差比型数列求和的方法［Ｊ］．中学 数学教学参考，２０１６（ｚ３）：８２—８３． ［责任编辑：杨惠民］ ａ１ｂｌ—ａｌｂ２＋ｄ６２一ｄｂ ＋ｌ—ａ．ｂ ＋ｌ＋ａ ｂ ＋２ １一ｑ 例析用导数求切线方程的几种类型 马涵坤 （河北省衡水第一中学摘说明． ０５３０００） 要：在导数的学习中，求切线方程是其重要应用之一．本文就这类问题的常见类型加以分析，并举例 关键词：切点；斜率；切线 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—０３３３（２０１８）０４—００２７—０２ 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 用导数求曲线的切线方程的方法为：设Ｐ（ 。，Ｙｏ）是 曲线Ｙ＝ ）上的一点，则以Ｐ为切点的切线方程为ｙ— 题目中点明切点，只需求出切线的斜率，并代入点斜 式方程即可． 例１ 曲线 ＝ 在点（１，１）处的切线方程为 Ｙ。＝， （ ）（ — 。）．当曲线Ｙ＝，（ ）在点Ｐ（ｘ。 方程为 ＝ ．下面例析几种常见的类型及解法． 。））的 切线平行于Ｙ轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线 收稿日期：２０１７—１ｌ—Ｏ１ 作者简介：马涵坤，在校学生 一２７—
