第4期2017年4月
Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique
DOI ： 10.13462/j. cnki. mmtamt. 2017.04.004
组合机床与自动化加工技术
No. 4
Apr. 2017
文章编号：1001 -2265(2017)04 - 0014 - 04
可控RRRPP型机构的可动性与轨迹图谱研究#
宋胜涛,赵建文，马瑶，金航旭
(中北大学机械与动力工程学院<太原030051)
摘要：文章以RRR型和PPR型二级杆组为基本杆组所组成的RRRPP构型为研究对象，首先，在选定
原动件以及运动类塑的前提下，分析了机构的可达工作空间以及奇异位形，得到了该机构的可动性 边界条件;其次，在此基础上,研究了机构在不同可控因素下末端输出点的轨迹图谱;最后^研究了快 速绘制机构的灵活工作空间的方法。研究绪果为工程设计者在给定的工作轨迹设计机构时提供了 有价值的参考。
关键词：RRRPP型机构；工作空间；奇异位形；可动性;轨迹图谱 中图分类号:TH112;TG506 文献标识码:A
Research on Mobility and Trajectory Atlas of Controlled RRRPP Mechanism
SONG Sheng-tao,ZHAO Jian-wen,MA Yao,JIN Hang-xu
(School of Mechanical and Power Engineering, North University of China, Taiyuan 030051,China) Abstract： This paper uses the RRRPP configuration formed by the basic lever RRR and PPR assur group grade H as the research object, firstly, on the basis of the driving link and its motion type was selected, the reachable workspace and singular configuration of mechanism was analyzed, the mobility boundary conditions of mechanism was obtained ； Then, based on which, the trajectory atlas of the end-effector of mechanism under different controllable factors was analyzed； Finally, the method of rapid-drawing the flexible workspace of the mechanism was analyzed. The results provides a valuable reference for the engineering designers to design mechanism with specific work trajectory.
Key words ： RRRPP mechanism ； workspace ； the singular configuration ； mobility ； the trajectory atlas
〇引言
两自由度平面五杆机构是最筒单的机器人机构， 而任何一种机构都有可能成为组成机器人的重要组成 部分，诸如五杆机构的打结器m、油業钵苗移栽机[2]、 下肢康复训练机构[3]和动臂-斗杆机构[4]等现代机器 中得到广泛应用。平面五扞机构的基本构型13种[5]， 包含转动副（R)和移动副（P)两种铰链，按照含有的 转动副和移动副的数S共分为5类，分别是5R (RRRRR)、4R1P(RRRRP、.RRRPR 和.RRPRR)、3R2P (RRRPP、. ：RRPRP、RRPPR、RPRPR、：PRRRP 和 PRRPR)、2R3P.(RPRPP、RPPRP 和 PRPRP.)。芄,杆机 构的研究大多数集中在5R型全转动副机构上和少数 的单移动副涉及可动性求解空间3]和奇异 性[9]等多个方面e含两个移动副五杆机构的系统性研 究目前不多身皇对于末端输出点的输出轨迹与可控 性因素之间的规律研究相对薄弱。
可动性作为机构尺寸综合的前提，针对RRRPP M 曲柄滑块平M机构，貴先从可动性条件入手，在文献 [10 ]对称四杆机构输出曲线形状图谱的基础j;,.进一
.歩:請五杆机构未端输出点的输出轨迹与可控性H素之
间的关系图谱进行研究，找出两者之间的影响规律为 RRRPP型五杆机构的设计提供了理论依据„
1 RRRPP型平面五杆机构数学模型描述
图1为:RRRPP型平面五杆机构运动简图表示。 由3个转动副和2个移动副，将2个RR遒二副构件 (连杆1、连杆2)、2个RP _二副构件（滑块3和机架 5)和1个PP型二副构件（连杆4)连接起来。该运动 链可由7个参数定义，分别是杆长A和以杆4的角度 〇!、移动副偏距.和滑块位移鐘石和
收稿日期:2.016-12-0S
基金项目：国家S然科学棊金资ffl項目:P乜《淑6)作者简介:雜涛(W79—).男人，中;攀祕»辑，博士,■貧#囟为现代机械扉十理论与方鋪舞_mail)96551652()(i.
_
2017年4月
宋胜涛，等：可控RRRPP型•机构的可动1生与轨迹图谱研究
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2 RRRPP型平面五杆机构可动性研究
所谓可动性条件，即两个原动件分别按其运动规
律运动时机构所应满足的最小尺寸条件。在两自由度 RRRPP型平面五杆机构中，取连架杆1和4分别作为 原动件1和2进行可动性分析。2.1机构可达工作空间的求解
为了研究方便将机构分解成由机架、杆1和杆2 所组成的开环机构1 (图2a)和由机架、滑块3和杆4 所组成的开环机构2(图2b)两个机构进行研究s
机构i _并坏机构2
图2
分解出的开环机构
容易得出开环机构1末端输出点P的可达工作空
间为图3中由边界和B2所构成的圓环区域，其中 边界贝:暴以0为隱心Z2 - ^海半径.餘圆、.边界S2:晕 以0为圓心^
h为半径的圓。
开环机构2的末端输出点P的可达工作空间为图
4中有边界S3、B4、S5和S6围成的平行四边形，其中 _K3和2?5是13的最太值、54和.拙暴4(的最大瘡
图4运动链2点/>的可达工作空间
由运动链1和运动链2的可达工作空间相交便可
得到RRRPP型曲柄滑块平面五杆机构的可达工作空 间，而_运动链1的可达工作空间包含于运动链2的 可达工作空间时，RRRPP型曲柄滑块平面五杆机构的 可:迗I作:空:间达到義太为运动链1的可达工輸空:间a
2.2机构的奇异位形分析
对于任何机构，在它在运动过程中难免遇到奇异 位形，在这些佼置机构会出现特殊的现象，或者处于死
点不能继续运动、或者失去稳定性，甚至a由度也发生改变。
对RRRPP型乎面五杆机构的死点奇异位形进行 分析找出机构的最大灵活I作空间。根据曲柄滑块的 死点奇异形成原理可知，当® 5中4P垂真于PC时两 机构瞬时失去一个&由度，在两个原动件的驱动下机 构将出现死点而停止运动或者损坏机构。
以〇为原点建立笛卡尔坐标系，H狀丄M时，出 现死点奇异位形时末端输出■点P位置和输人角度0的 关系为；
Xp - *,4 + l2sijt{ir - a) |
(工)
Jp =
- lzc〇»(/n - a) J其中：
J=《1咖沒|
.⑵
* - k
'将式(2)代人到式（1)中,，并消去0得到末端输出
点P的奇异轨迹A :
- ^sinfTT - a) 3* +
+ l2cas，i/ii - a )3*' =
同理可得，当P点位于0点左侧时末端输出点尸
.的奇异轨迹_p2 J,
1»户 + Z2sin(ir - a〉]* + [:vj> - lj；,eos(Tr - a)]* =右
_此可得RRRPP型五杆机构在可达工作空间内
P
点的奇异轨迹，如图6所潘s
2.3机构灵活工作空间及可动性边界条件的求解分析P点奇异轨迹可知，当杆1和杆2重叠时 取得机构灵活1作空间的左边界S3和右边界S5， 如图7所示，其中阴影部分即为机构的灵活工作空间,〇
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组合机床与自动化加工技术
第4期
由此可得HRRPP型平面五杆机构的可动性边界条件为：
,11 < ,2
13(3)
m 4 > < DF
n > < CDCD -+ l2
OE 其中，训、CZ>、0五的长度均可通过图8所示的几
何关系用杆長心DF 出:来，表琢结果如下
CD = =n/ sin( .、m
tt - a)
2(/2 - lx )/sin(TT + (l2- a)~ h ) cot( ^
1 (4)
OE = (/2 - )/sin(TT - a) - n/tan(ir - a) J
将式(4)代入式(3)中得RRRPP型曲柄滑块平面五杆机构的可动性边界条件：
< 12
、113 > n/ sin( tt - a) + (l2 - ^) cot( tt - a)
4 < 2(/2 -
)/sin(TT - a)
>
(5)
m n > < (l2+ l2
- )/sin(TT - a) + n/tan( it - a)3 RRRPP型平面五杆机构的轨迹图谱
3.1轨迹图谱的绘制与分析
由图1可知RRRPP型平窗五杆机构有^、心、心/4、m、n、a七个几何参数以及原动件运动频率乂、/2 两个运动参数。根据图7和可动性边界条件(5)可知， 为保证机构的灵活工作空间最大,就需要将机构的几何 参数H m、n由H a按照可动性条件近似表 示tfi来，取~为参照尺寸，则4 4、_/； :/2可作为替代
H
./；、厶的综合参数，所以最终影响输出点P轨迹
的因素变为/2、a和曲柄的初始角四个参数。
设a = 100。，采用SolidWorks软件进行:实例建
模，分别绘制了以义、/； :/s和曲柄的初始角为变暈 的输出轨迹图谱，如图9 —_s
~I
45 90 1 I 135
1 ( I 180
[ 1 225 I
270
1 I ' 315 I ' 360
I
a曲柄初始角/(”
()原动件运动频率/1:/2=1:1
—I
t | '
| 1
| I [
' I 1 [ ' I
45 90
135
180
225 270 315
360
b曲柄初始角/(°)()原动件运动频率/1:/2=1:2
—45 I t90
| I 135 | I180
| t 225 1 ' 270 1 1315 1 360
' I
曲柄初始角/(°)
(c)原动件运动频率斤/严^图9
输出轨迹图谱
分析轨迹图谱可知，随着原动件频率的比值与1 的差的绝对值的增大，轨迹的i自相交次数呈增加的趋
势即轨迹越来越复杂；随着&夂比值的增大，轨迹整 体纵横比越来越小而形状的相似度变化很小；随着曲 柄初始角的增大，轨迹的自相交次数和纵横比在不=同 的频率比下有着不同的变化。
3.2连续变化图谱与机构工作空间的绘制
图9中的图谱是按照曲柄初始角度等何距取值所
绘制的部分代表性轨迹，在实际的工程设计中可作为
轨迹匹配的参照，进一步的拟合需要对取值.间距内的 轨迹进行详细的对比，下面介绍一种任取初始角间隔 快速连续输出其轨迹以及用轨迹描绘灵活工作空苘的 方法1
以 a = 100。、
= 2.、A = 60mm；/2 = 1:1
为例进行说明曲柄初始角间隔/? = 15°时快速输出轨 迹的方法。
采用SolidWorks进行简单的机构建模，设原动件 1(曲柄）的转速n = 30 rpm,则机构的运动周期r = 2s,为使曲柄初始角间隔取为15°，那么只需使曲柄的 初始角在机构每个运动周期上增加15° ,即在原动件2 的周期保持不变的情况下使原动件1的转速变为：
n
r3607760/3
= + 360 60 x 15x 2=31. 25 rpm机构的运动时间为：
f = 3jfi
?r = 36(^<2 15
=48s
为了能清楚表示轨迹的形状，按照曲柄的初始角 均分成三个部分进行Motion仿真_，输出的轨迹:如图 10a ~图10c所湯，通过拖动时间轴定位指针就.対以确 定每15°对应的输出轨迹;图10d为曲柄初始角从0变
化到360°时的输出轨迹，其中的阴影区域即为机构的
灵活I作空间，轨迹线仅为曲柄转速《• = 31.25rPm间 隔/3 = 15°时的工作空间轨迹§亦可知,通过改变曲柄 初始角取值间隔/3即可控制机构输出:工作空间轨迹线 的网格大小.b
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宋胜涛，等：可控RRRPP型机构的可动性与轨迹图谱研究• 17 •
(a) 0~120/(0) (b) 120~240/(〇)
(3)机构图谱的研究结果以及快速绘制I工作空间
的方法为RRRPP构型的设计提供了重要的理论依据。
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图10
连续图谱及工作空间
4结论
U)通过对输出轨迹图谱的研究，进一步验证了
RRRPP型平面五杆机构可动性边界条件的正确性。
(2)随着原动件频率的比值:与1的差的绝对值的增 大，轨迹的細交次数呈增加的趋势即轨迹越来越复杂; 随着Z2 乂比值的增大，轨迹整体纵横比越来越小而形状 的相似度变化很小;.随着曲柄初始角的增大，轨迹的自相 交次数和纵横比在不同的频率比下有着不同的变化。
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(编辑李秀敏）
(上接第
13页）
取扩展因子= 2，则得到采用反转法测量的回
转精度的扩展不确定度为15.2nm。
为了确定反转法测量不确定度的准确性,本文使 用点法对反转法测试结果进行了验证，为避免采 磁三点法测錄0寸传感器費身特征的差异性引人的影 响，整个试验过程只采用一个传感器进行数据采集,
分别采用反转法与^法对同一静压主轴进行试 验后得到的回转精度测量数据如图10所示，试验结果 表明两种方法获得的回转精度差异非常小，最大差值 仅为llnm。图11为分别使用反转法与三点法获得的 标准球圆度，由图可知，两者之间最大差值为14mn。 苴使用反转法测量后分离出的标准球圆度为51mn,与 标准球出厂精度50!皿十分接近。并得到在扩展因子 左=2时，采甩三点法测量的回转精度的扩展不确定度 为14.3nm，if反转法评定所得扩展不确定度仅相差 0• 9nm。
4结束语
本文基¥自主研发的气体静压主轴回转精度测试
平台，运用反转法对超精密气体主轴的回转精度进行 丁测量，并对传感器测養球面靶标的非线性误差、电容 传感器安装误差引起的测量误差以及环境因素的影响 进行了深入和全面的研究。给出了一个完盤的圓转精 度不确定评定过程，最终得出在扩展因子2的情 况下，使用自研装置基予反转法测得气体主轴回转精 度扩展不确定度为15.2nm，通过与^点法测量结果的 比对，验证了评定结果的准确性。
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