静电场习题课II

四、电荷与外电场的相互作用

外电场，E外、U外

受力 电势能

研 点电荷 Fq0E外 究

对 点电荷系  Wq0U外

FqiE外i WqiU外i

带电体 象 FE外dq WU外dq

注意：E外、U外是外电场的场强和电势

不包括研究对象自身产生的电场和电势 例：两块导体板的 Q Q

相互作用力 S 解：

F2QQ2020S

A B 例：电偶极子在均匀外电场中受力、力矩、电势能

Pql，q F  E

O F q

解：受力：FFF=qEqE0

力矩：MFll2sinF2sin=Flsin

=qElsin =PEsin

MPE

电势能：WWWqUqUq(UU) 

讨论（1） =qElcos=PEcos=PE

P//E

  E

F0，M0 P 稳定平衡

W （2）PE

PE P F0，MPE W （3）0

P//(E) 不稳定平衡 F0，M0

P

WPE

1

例：均匀带电球体的静电能

Q 解：Q/(43R

R)

3r30EQ240r12rR

rR22r1802Q24320rrRw0rE2

rRwdVWwdVR2R0wdV2R

Q224 = = =

220180r4rdrQ2R320r4rdr2

2450R2580R

3Q200R

例：求：均匀带电直线段在均匀带电球面电场中的电势能

Q  O l l xdx x R

解：dqdx

均匀带电球面在x处的电势UdWUdqQ40x

=

Q40xdx

Q40WdW2lQ40xldxln2

2

例：空气平板电容器， C 电容为C，与电压

为U的电源相连 d 求：两板间距由dnd 过程中，外力作的功 nd 解：方法I：功能原理 U A电源A外力W A电源UQU(CU)U2C

W(1222CU)12UC

AA12212外力W电源2UCUC2UC

CCCC(11nn)

A122外力2UC12UC（11n）>0

方法II： x C(x)0Sx

Q(x)C(x)U0SUx d (x)Q(x)nd S U (x)Q(x)22E22，F吸引EQ(x)Q(x)0SU00S20S2x2F外

2

ndAFSUSU2(1121外dx=0d2x2dx120dnd)12CU(1n)>0

例：接上题，断开电源后， 求：两板间距由dnd

过程中，外力作的功 d 解：方法 I：功能原理

22A 外力WQQnd2C2C

2Q22 =

Q2Cn2CQ2C(n1)12CU2(n1)>0

方法II：F2吸引Q/(20S)F外（不变）

2AF外dx=F（ndd）=

Q外2d(n1)

0S =

Q222C(n1) =

12CU(n1)>0

3

例：平板电容器，U不变，将一厚d、r的介质板插入电容器

S

r d U 求：（1）电场能量变化（2）电源的功（3）电场对介质板作的功 解：（1）W(1212CU22)12UC2=

122U(rC0C0)2

= （2）A电源 （3）A电场

UC0(r1)=

10SU2d2(r1)

2UQU(CU)UC=

0SUd(r1)

W？

=

10SU2d2A电源WA电场A电场A电源W(r1)>0

例：接上题，断开电源后，再插入介质板 求：（1）电场能量变化（3）电场对介质板作的功 S

r d

解：（1）WQ22C12Q22C02=

Q22rC01Q22C010S2d1=

Q22C0r2(11)

= （3）A电场C0U(1r)=2U(11r)<0

W=

10S2dU(1r)>0

例：平板电容器，板面为正方形，边长a，板间距d，带电Q

把一厚d、r的介质板插入电容器x a a Q

r d

Q

x

求：介质板受电场作用力的大小和方向

4

a 解：

 F r

x dx

dAFdxdW

2FdWdx，WQ2C

C(x)0rax0a(ax)dd

=

0ad(rxax)=

0ad[a(r1)x]

WQ2d20a[a(r1)x]

dW2Fdx=

Qd(r1)2a[a(2

0r1)x]若电容器与电压为U的电源保持连接，再做本题。 dA电源dWdA电场

dA电源UdQUd(CU)U2dC

dWd(1122CU2)2UdC

dA电场Fdx

U2dC12U2dCFdx

Fdx12U2dC

F12dC2U10adx2U2d(r1)

例：三个同轴导体圆柱面ABC，半径分别为RA、RB、RCB带电，AC接地

12 RA RB A，B C

RC

求：B内外表面上电荷线密度1/2=？

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解：

12 1 2 A，B C

AB：EBC：EUBA120r，BA ，BC

ABCB220rEdlEdlABCBEcosdlEcosdlRARBRCRB120r(dr)12ln00lnRCRBRBRA

UBC220rdr22

UBAUBC =

220120lnRBRAlnRCRB

1/2=

ln(RC/RB)ln(RB/RA)

例：两个无限长导体圆柱面

U12U0，U2U0 R2 R1 U1 U2 

rP

求：两柱面间电势分布 解：E20r

U12R2R1EdlR2R1EcosdlR2R120rdr20lnR2R1

=U1U220U02U0U0U0

ln(R2/R1)，EU01ln(R2/R1)r

6

U1U(r)rR1EdlrR1Ecosdl

rU01R/RdrU0lnr1ln(R21)rln(R2/R1)R

1U(r)2U00Uln(R2/R1)lnrR

1例：内外半径分别为a、b的金属球壳，带电Q

在腔中偏心处放一点电荷q

q Q r O a b 求：（1）球壳内外表面电量

（2）内表面上电荷在O点电势 （3）O点总电势 解：（1）内表面：q，外表面：qQ （2）q40a

（3）

qq44+

qQ0r0a40b

例：导体球壳

q q q q

q q q q

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