19．1 多边形内角和
1．理解并掌握多边形的内角、外角等概念； 2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．(重点、难点) 一、情境导入 观察下列图片，你能找出哪些我们熟悉的图形？ 今天我们给图形取了一个统一的名字——多边形，那么什么是多边形？如何定义多边形呢？ 二、合作探究 探究点一：多边形内角和 【类型一】 多边形的概念 一个长方形剪去一个角，则它有可能是________边形． 解析：如图所示：沿对角线剪去时，可得到三角形；沿一个顶点和另一边上的一点剪时，可得到四边形；当沿相邻两边上的任意两点(不包含两端点)剪时，可得到五边形．故填：三或四或五．
方法总结：掌握多边形的概念是解决此类问题的关键，但注意分类讨论不要遗漏． 【类型二】 多边形的内角和与外角和 若一个多边形的内角和是其外角
和的3倍，求这个多边形的边数．
解析：任何多边形的外角和都是360°，即这个多边形的内角和是3×360°，n边形
的内角和是(n－2)·180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：设多边形的边数为n，根据题意，
得(n－2)·180＝3×360，解得n＝8.则这个多
边形的边数是8. 方法总结：已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
【类型三】 多边形的对角线 五边形ABCDE中，从顶点A最多
可引________条对角线，可以把这个五边形分成________个三角形．若一个多边形的边数为n，则从一个顶点最多可引________条对角线．
解析：不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形中，与一个顶点不相邻的
顶点有(n－3)个，
因而对角线有(n－3)条．这(n－3)条对角线可以把这个n边形分成(n－2)个三角形．据此即可求解．五边形ABCDE中，从顶点A最多可引2条对角线，可以把
这个五边形分成3个三角形．若一个多边形的边数为n，则从一个顶点最多可引(n－3)条对角线．故答案是：2，3，(n－3)．
方法总结：本题考查的是多边形的对角
线的相关知识，熟记对角线的确定方法是解
答此题的关键． 【类型四】 正多边形 一个正多边形的每个外角都等于与它相邻的内角的2
5，求这个正多边形的边
数．
解析：正多边形的每个内角都相等，每
个外角也都相等，可以根据正多边形的内角
和、外角和与边数的关系求解．也可以根据相邻的内角和外角的互补关系求解．
解：解法1：(直接设元法)正多边形的
边数为n，则它的每个外角为360°
n
，每个内角为
（n－2）·180°n，那么360°
n
＝
（n－2）·180°n×2
5
，解得n＝7.
答：这个正多边形的边数是7.
解法2：(间接设元法)设这个正多边形的每个内角为x°，则每个外角为(2
5x)°.由
题意，得x＋290022
5x＝180，解得x＝7，5x＝5×9007＝360360
7.∴每个外角是(7)°，∴这个正多边形的边数为360÷3607
＝7.
答：这个正多边形的边数为7. 方法总结：(1)正多边形的每一个内角都相等，每一个外角也都相等；(2)正n边形的每一个内角都等于（n－2）·180°
n；(3)正n
边形的每一个外角都等于
360°
n
；(4)多边形的每个内角与其相邻的外角都互补．
探究点二：多边形的不稳定性
下列图形中具有稳定性的是
( )
解析：三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，因而具有稳定性的是C.故选C.
方法总结：本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
三、板书设计
本节课主要探索多边形的内角和公式．内角和是化归为三角形将问题解决，而外角和则关注内角与外角的关系，将外角和化归为内角和，化归思想是数学中的重要思想方法，应对学生进行训练和强化．通过例题的一题多解，拓展学生的思路，四边形的不稳定性的应用让学生再次感受数学来源于实践，可以激发学生学习数学的兴趣.
