会东县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

会东县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（ ） A．（0，2） B．（0，3）

2． 给出下列两个结论：

C．（0，1） D．（0，5）

①若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；

②命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”；

则判断正确的是（ ） A．①对②错

B．①错②对

C．①②都对 ，则（ ）

D．①②都错

3． 设D为△ABC所在平面内一点，A．C．

B．D．

4． 已知集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则集合A∪B=（ ） A．{5，8}

B．{4，5，6，7，8} C．{3，4，5，6，7，8}

D．{4，5，6，7，8}

5． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）

A． B． C． D．

x2y26． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31

若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2

A.2 B.3 C. 21 D. 31

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

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7． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（ ） A．16

B．6

C．4

D．8

8． 已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）

A．9． （

B．

0

或36+

C．36﹣

2

D．或36﹣

）﹣（1﹣0.5﹣）÷

B．

的值为（ ）

C．

A．﹣ D．

10．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）

A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法确定

11．已知集合AxN|x5，则下列关系式错误的是（ ）

A．5A B．1.5A C．1A D．0A 12．函数

A．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数

是（ ）

B．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数

二、填空题

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13．三角形ABC中，AB23,BC2,C60，则三角形ABC的面积为 . 14．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . 15．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是 ． 16．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且|= ．

•

=24，

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且则△ABC的面积是 ． 18．下列命题：

①集合a,b,c,d的子集个数有16个； ②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)0；

③f(x)(2x1)2(2x1)既不是奇函数又不是偶函数； ④AR，BR，f:x⑤f(x)2|=2，则

1，从集合A到集合B的对应关系f是映射； |x|1在定义域上是减函数． x其中真命题的序号是 ．

三、解答题

19．已知cos（

20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是等腰梯形，AB=CD=AD=1，BC=2，E，M，N分别是所在棱的中点．

（1）证明：平面MNE⊥平面D1DE； （2）证明：MN∥平面D1DE．

+θ）=﹣，

＜θ＜

，求

的值．

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21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.

（1）求证：PQ//平面SAD； （2）求证：平面SAC平面SEQ.

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22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（（1）求f（1）的值；

）=f（x1）﹣f（x2）．

（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．

23．本小题满分12分已知椭圆C的离心率为Ⅰ求椭圆C的长轴长；

6，长轴端点与短轴端点间的距离为2． 3Ⅱ过椭圆C中心O的直线与椭圆C交于A、B两点A、B不是椭圆C的顶点，点M在长轴所在直线上，且

2OMOAOM,直线BM与椭圆交于点D，求证：ADAB。 2

24．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．

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会东县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】A

32

【解析】解：∵f（x）=x﹣3x+5，

2

∴f′（x）=3x﹣6x，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故选：A．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

2． 【答案】C

【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．

②根据逆否命题的定义可知②正确． 故选C．

=

；

【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．

3． 【答案】A 【解析】解：由已知得到如图 由故选：A．

=

=

【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量

4． 【答案】C

【解析】解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}， ∴A∪B={3，4，5，6，7，8}． 故选C

表示为

．

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5． 【答案】A

【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段， 上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：

故选A．

【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．

6． 【答案】D

2222【解析】∵PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF2F1F24c，1PF20，∴PF|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)， (PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

rPF1PF2F1F2312c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2cc，整理，得

22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a7． 【答案】D

【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC=∴S△ABC=absinC=故选：D．

8． 【答案】D 【解析】

=8．

=，

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【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可． 【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界）， 有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：

．

故选D

9． 【答案】D

【解析】解：原式=1﹣（1﹣=1﹣（1﹣

）÷

）÷

或

=1﹣（1﹣4）× =1﹣（﹣3）× =1+ =． 故选：D．

【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．

10．【答案】A

【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定， 而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中， ∴甲地的方差较小． 故选：A．

【点评】本题 考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．

11．【答案】A 【解析】

试题分析：因为AxN|x5 ，而1.5N,1N,.5A,1A，即B、C正确，又因为0N且

05，所以0A，即D正确，故选A. 1

考点：集合与元素的关系.

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12．【答案】B 【解析】解：因为==cos（2x+

）=﹣sin2x．

=π．

所以函数的周期为：故选B．

因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．

【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．

二、填空题

13．【答案】23 【解析】

试题分析：因为ABC中，AB23,BC2,C60，由正弦定理得BCAB，即AC，所以C30，∴B90，ABBC，SABC考点：正弦定理，三角形的面积．

1232，sinA，又23sinA21ABBC23． 2【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正

22弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式14．【答案】1 【解析】

试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，

111abcabsinC，ah，(abc)r，等等． 2224Rl1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，

abc需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是111，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直

a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1

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15．【答案】 [，1] ．

【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M， ∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得 2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]， 故答案为[，1]．

16．【答案】 （﹣

【解析】解：∵则：AD：BD=1：5

，

，

，

） ．

设OC与AB交于D（x，y）点 即D分有向线段AB所成的比为

则

解得：

∴又∵|∴

|=2

=（﹣

，，

） ）

故答案为：（﹣

【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，

可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．

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17．【答案】 4 ．

【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，

22

∴sinB=sinAsinC，由正弦定理可得：b=ac，

∵c=2a，可得：b=∴cosB=∵

•

a， =

=，可得：sinB=

=

，

=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，

=4

．

∴S△ABC=acsinB=故答案为：4 【解析】

．

18．【答案】①②

试题分析：子集的个数是2，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③fx4x21为偶函数，故错误.

n对于④x0没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2个；对于

n奇函数来说，如果在x0处有定义，那么一定有f00，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要元素在集合B中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1

根据定义fxfx,fxfx，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A中任意一个

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：∵∵cos（∴sin（

＜θ＜

，∴

+θ∈（

，

），

+θ）=﹣，∴sin（+θ）=sinθcos

，① cosθ﹣sin，②

+θ）=﹣

=

=﹣，

（cosθ+sinθ）=﹣，

+cosθsin

∴sinθ+cosθ=﹣cos（

+θ）=cos

sinθ=（cosθ﹣cosβ）=﹣，

∴cosθ﹣sinθ=﹣

联立①②，得cosθ=﹣，sinθ=﹣，

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∴==

==．

【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．

20．【答案】

【解析】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，

∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE， 又NE⊥DD1，且DD1∩DE=D， ∴NE⊥平面D1DE， 又NE⊂平面MNE， ∴平面MNE⊥平面D1DE．… （2）等腰梯形ABCD中，

∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴AB∥DE，∴AB∥平面D1DE， 又DD1∥BB1，则BB1∥平面D1DE，

又AB∩BB1=B，∴平面ABB1A1∥平面D1DE， 又MN⊂平面ABB1A1，∴MN∥平面D1DE．…

21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ.

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试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF. ∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

1CD. 21CD，即FP//AQ且FPAQ. 2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.

∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.

∴AQ//CD，且AQ

考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 22．【答案】

【解析】解：（1）令x1=x2＞0， 代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，

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故f（1）=0．…（4分）

＞1，

（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（

）＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分） （3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数， 所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）． 由f（

）=f（x1）﹣f（x2）得，

f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，

所以f（25）=﹣2．

即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）

【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键． 23．【答案】 【解析】Ⅰ由已知

c6,a2b24，又a2b2c2，解得a23,b21， a3所以椭圆C的长轴长23 Ⅱ以O为坐标原点长轴所在直线为x轴建立如图平面直角坐标系xOy，

x2不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则由1可知椭圆C的方程为y21；

3设A(x1,y1)，D(x2,y2),则A(x1,y1)

2OM∵OAOM ∴M(2x1,0)

2根据题意，BM满足题意的直线斜率存在，设l:yk(x2x1)， x22y122222联立3，消去y得(13k)x12kx1x12kx130，

yk(x2x)1(12k2x1)24(13k2)(12k2x123)12(4k2x1213k2)0，

12k2x112k2x123x1x2,x1x2,

13k213k2第 15 页，共 16 页

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kADkABy2y1k(x22x1)k(x12x1)k(x25x1)4kx11k

12k2x1x2x1x2x1x2x13k13k2yk(x12x1)13k x1x1kADkAB1 ∴ADAB

24．【答案】

2

【解析】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x，

由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得故f（x）在（﹣∞，在（

（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈，当

，

，x2=，x＞＜x＜）和（

）上单调递增；

；

，x1＜x2， ；

，+∞）单调递减，

时，即a≥4

①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在单调递增，在上单调递减， 因此f（x）在x=x2=

处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，

∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

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