(文数)珠海市2013届高三上学期期末学业质量监测

文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合M(1,)，集合Nx|x(x2)0，则MN=

开 始 n＝12, i＝1 A．[0,2] B． (0,) C． (1,0] D． (1,0) a22．已知a，b是实数，则“”是“ab5”的

b3n是奇数? 是 n＝3n＋1 否 n n＝ 2 i＝i＋1 n＝5? 是 输出i 结 束 (第3题图)

否 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线l，m和平面α， 则下列命题正确的是 A．若l∥m，mα，则l∥α B．若l∥α，mα，则l∥m C．若l⊥m，l⊥α，则m∥α D．若l⊥α，mα，则l⊥m 5．已知是虚数单位，复数

i3i13131313A．i B．i C．i D．i

881010101088π4＝

6． 函数y＝sin (2x＋ A．向左平移

C．向左平移

π8π4)的图象可由函数y＝sin 2x的图象

π8π4个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 D．向右平移

个单位长度而得到 个单位长度而得到

337．已知a、b均为单位向量,(2ab)(a2b)=，a与b的夹角为

2A．30° B．45° C．135° D．150°

8．在递增等比数列{an}中，a22,a4a34，则公比q＝

A．-1 B．1 C．2 D．

12

1

xy509．若实数x，y满足不等式组xy0 则2x＋4y的最小值是

x3 A．6 B．4 C．2 D．6

10．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB‖=x1x2y1y2，给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖； ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.

其中真命题的个数为

A. 0 B. 1 C. 2 D.3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11-13题）

11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：

高一 高二 合唱社 45 15 粤曲社 30 10 武术社 a 20 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知C＝

y B A 3，b3，若△ABC的面积为

332 ，则

c= ．

13．如图，F1，F2是双曲线C：

xa22yb221(a＞0，b＞0)F1 O F2 x 的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：xt2x3cos , (为参数）与曲线C2 ：（为参数）,y12ty3sinP(第13题图) DCOAB(第15题图） 2

相交于两个点A、B，则线段AB的长为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

设向量a＝(2,sin)，b＝(1,cos)，θ为锐角． （1）若a·b＝

13

，求sinθ＋cosθ的值； 6

π

（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值．

3

17．（本小题满分12分）

某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：

等级 频率 0.05 2 3 0.15 4 5 m 0.35 n （1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m,n；

（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零

件等级恰好相同的概率.

3

18．（本小题满分14分）

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

（1）求证：BC//平面C1B1N；（2）求证：BN平面C1B1N； （3）求此几何体的体积.

4 8主8 视图 4

19．(本题满分14分)

xy已知椭圆C：221(ab0)，左、右两个焦点分别为F1、上顶点A(0,b)，F2，

ab22侧视

图

4俯视8 图

AF1F2为正三角形且周长为6.

（1）求椭圆C的标准方程及离心率；

（2）O为坐标原点，直线F1A上有一动点P，求|PF2||PO|的最小值．

4

20．（本题满分14分） 已知函数f(x)lnxaxx，其中a为常数，且a0.

12x1垂直，求a的值；

（1）若曲线yf(x)在点（1，f(1)）处的切线与直线y （2）若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为

21.（本题满分14分）

在数列{an}中，a11,an1anan1(nN*).

12，求a的值.

1 （1）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

an （2）设bn12an2013n，求数列{bn}的前n项和Tn ；

（3）设P

i11aiai1，求不超过P的最大整数的值.

22 5

参

一、选择题：CABDA AACDB 二、填空题：

（一）必做题（11-13题） 11、150 12、

7 13、13

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14、 4 15、 6

三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分14分） 解：（1） 因为a·b＝2＋sinθcosθ＝

131

，所以sinθcosθ＝． „„„„„„ 3分 66

42

所以 (sinθ＋cosθ)＝1＋2 sinθcosθ＝．

3

23又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝． „„„„„„ 6分

3

（2） 解法一 因为a∥b，所以tanθ＝2． „„„„„„ 8分 2 sinθcosθ2 tanθ4

所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝＝， 222 sinθ＋cosθ tanθ＋15

cos2θ－sin2θ1－tan2θ3

cos2θ＝cosθ－sinθ＝＝－．„„„„„„ 10分 22＝2 sinθ＋cosθ tanθ＋15

2

2

π13所以sin(2θ＋ )＝sin2θ＋cos2θ

322

4－331433＝×＋×(－ )＝ ． „„„„„„ 12分 252510

解法二 因为a∥b，所以tanθ＝2． „„„„„„ 8分 所以 sinθ＝

255

，cosθ＝． 55

4322

因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cosθ－sinθ＝－． „„„„„„ 10分

55π13所以sin(2θ＋ )＝sin2θ＋cos2θ

322

4－331433＝×＋×(－ )＝ ． „„„„„„ 12分 252510

17．（本小题满分12分） 某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：

等级 频率

0.05 2 3 0.15 6

4 5 m 0.35 n （Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m,n；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零

件等级恰好相同的概率.

参：

（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.05m0.150.35n1，

即 mn0.45. „„„„„„2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得 n2200.1. „„„„„„4分

所以m0.450.10.35. „„„„„„5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作x1,x2,x3；等级为5的零件有2个，

记作y1,y2.

从x1,x2,x3,y1,y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：

(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2)

共计10种. „„„„„„9分 记事件A为“从零件x1,x2,x3,y1,y2中任取2件，其等级相等”.

则A包含的基本事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共4个. „„„„„„11分

故所求概率为 P(A)4100.4.

„„„„„„12分

CC1

18.解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA,BC,BB1两两互相垂直。

BM ∵BC//B1C1，B1C1平面C1B1N，BC平面C1B1N， ∴BC//平面C1B1N„„ 4分

（2）连BN，过N作NMBB1，垂足为M， ∵B1C1平面ABB1N，BN平面ABB1N，

ANB1 7

∴B1C1BN，„ 5分

由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BAAN， ∴ BN224442，B1NNMB1M2244=42，„ 6分

22 ∵BB182,B1N2BN23232，

BNB1N，„„ 7分

∵B1C1平面B1C1N，，1N平面B1C1N，B1NB1C1B1

BN平面C1B1N „„„„„„ 9分

（3）连接CN，

VCBCN13BCSABN1341244323„ 11分

∴平面B1C1CBANB1BBB1，NMBB1，NM平面B1C1CB， ∴ NM平面B1C1CB，

VNB1C1CB13NMS矩形B1C1CB134481283„ 13分

的

3233此几

323何

3体体

1281603积„14分

VVCBCNVNB1C1CB32VVCBCNVNB1C1CB

19、(本题满分14分)

a2c解：（Ⅰ）解：由题设得aa2c6 „„„„„„ 2分

a2b2c2 解得： a2,b故C的方程为

x23，c1 „ 4分

4y231. „„„ 5分 离心率e3(x1)，„„ 8分

12 „„ 7分

（2）直线F1A的方程为y设点O关于直线F1A对称的点为M(x0,y0)，则

y0x310xy03(01)223x02（联立方程组正确，可得至10分） y302 8

所以点M的坐标为 (32,32) „„„„„„„„„„„„ 11分

∵POPM，PF2POPF2PMMF2，„ 12分

3232|PF2||PO|的最小值为|MF2|(1)(20)27 „„„„„ 14分

20．解：f'(x)1xx(ax)x21xax2xax2(x0) „„„„„„„ 2分

12 （1）因为曲线yf(x)在点（1，f(1)）处的切线与直线y， x1垂直，

所以f'(1)-2，即1a2,解得a3. „„„„„„„„„„„„„„4分

(2)当0a1时，f'(x)0在（1，2）上恒成立，

这时f(x)在[1，2]上为增函数

f(x)minf(1)a1 „„„„„„„„„„„„„„„6分 当1a2时，由f'(x)0得，xa(1,2)

对于x(1,a)有f'(x)0,f(x)在[1，a]上为减函数，

对于x(a,2)有f'(x)0,f(x)在[a，2]上为增函数，

f(x)minf(a)lna „„„„„„„„„„„„„8分

当a2时，f'(x)0在（1，2）上恒成立，

这时f(x)在[1，2]上为减函数，

a21.„„„„„„„„„„„„„10分

f(x)minf(2)ln2

于是，①当0a1时，f(x)mina10 ②当1a2时，f(x)minlna，令lna③当2a时，f(x)minln2综上，aa212，得a12e„11分

1ln2„12分

e „„„„„„„„„„„14分

9

21、【解】：（1）由知得：

1an11an1，即

1an11an1

所以数列{1an}为首项为1，公差为1的等差数列，„„2分

1an1(n1)1n

1n从而 an（2）bn „„„„„„„„„„„„„4分

n2n12an12+223n323„„5分

n2n所以 Tn12Tn122222+324++ „„„„„① ， ，„„„„„②

++++n2n+1由①②，

1n[1()]11111nn1nn2+n2n+11()n+11n+1． 得Tn+2+3++nn+1212222222222121所以Tn222+n2n． „„„„„„„„„„„„„„„„„9分

1n2（3） 1anan1121(n1)2n(n1)(n1)nn(n1)222222

n(n1)1n(n1)11n(n1)11n1n1，„„11分

2013Pi11aiai112)(112014111111)(1)(1)233420132014

22(1112014所以，不超过P的最大整数为2013． „„„„„„„„„„„„14分

10