行列式典型例题

1

第二讲 行列式综合训练

第一部分

例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零．

a1

Dn=

1a解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．

Dn1c1cnaa1a0a1=(a=1n1nn2)a=a-a aa方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．

Dn=rnr1a1a1a1a1c1cn1aa1=a-ann2=

方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．

Dn=aan10a00a1c1展开a+(1)n10a00a1

0n1而 (1)n1最后列展开a(1)2n1=an2=

0n1an2Dn=aan1-an2=an-an2

方法4 利用公式

AOO

B

=AB．

将最后一行逐行换到第2行，共换了n2次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了n2次．

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人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

a11aa方法5 利用公式

2

Dn=(1)2(n2)=

a11aa=a-ann2

an2AOO

B

=AB．

例2.2 计算n阶行列式：

Dna1b1a2a1a2b2a1a2anananbn (b1b2bn0)

解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1,a2,,an，可在保持

原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．

1a1a20a1b1a2升阶 Dn0a1a2b201c11bj1cjananananbna1a2b1000b20r2r1r3r1rn1r11a1a21b1010b2100an00 bna1a1b1000a2a1b1an00bn=b1b2j2,,n1bn(1a1b1an) bn这个题的特殊情形是

Dna1xa2a1a2xa1a2anananx=xn1(xai)

i1n可作为公式记下来．

例2.3 计算n阶行列式：

Dn1a1111a211111an

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人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

其中a1a2an0．

解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式

1a111b11ca11acjDrir1a1a2j0a2ni2,,nj2,,n

a1an0annn其中b1a1a11a111，于是Dna1a2an1ni2aii1ai1．

i1ai方法2 升阶（或加边）法

1111111101a1111a100D升阶n011a21rir1i2,3,,n110a20 0111an100ann11i1a111cj11acj1ja1j1,2,,n1aa1aan221n1

i1aian方法3 递推法．将Dn改写为

1a1110D11a210n

111an1a1111a110按cn拆开11a21+

11a20

11111an1a111a111a21r由于

irna2i1,,n1a1a2an1

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3

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人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

1a11011a20按cn展开anDn1

11an因此Dn=anDn1a1a2an1为递推公式，而D11a1，于是

Dn=anDnan1=a1a2aDn111a1a2naa 12an1an=aaDn2111a2naa=

1a2an2n1an=aaD1111a2na=aa111n1a2a1a2n1a1a2a n1x12x1例２.4 设f(x)1x23x2，证明存在(0,1),使f()0. 1x34x3证 因为f(x)是关于x的二次多项式多项式,在0,1上连续,(0,1)内可导,且

111101f(0)1220,f(1)1110

133121,存在(0,1),使f()0.

1111例2.5 计算D=

abcda2b2c2d2．

a4b4c4d4解 这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．

方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．

rr4a2r31111Dr3arar2210bacada0b(ba)c(ca)d(da)

0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)c1111展开=(ba)(ca)(da)bcd

b2(ba)c2(ca)d2(da)部分文档来自网络收集，如有侵权，请联系作者删除

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由罗尔定理知人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

r11113拆开

11=(ba)(ca)(da)（bcd+abcd） b3c3d3b2c2d2111r111其中

bcdr3b2r22br10cbdb

b3c3d30c(c2b2)d(d2b2)=(cb)(db)11c(cb)d(db)

=(cb)(db)[d(db)c(cb)]

111111由于bcd是范德蒙行列式，故bcd=(cb)(db)(dc) b2c2d2b2c2d2D=(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)

c1000c2c1方法2 D3c1abacadac4c1a2b2a2c2a2d2a2

a4b4a4c4a4d4a4r1展开111=(ba)(ca)(da)bacada

(b2a2)(ba)(c2a2)(ca)(d2a2)(da)c002c11c(ba)(ca)(da)acbdb

3cb1(b2a2)(ba)xyc1展开=(ba)(ca)(da)cbdbxy

其中x(cb)(a2b2c2acbcab)，y(db)(a2b2c2adbdab)

D=(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)

=(abcd)(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)

方法3 用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在D中添加3次幂的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：

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人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

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1aD5=a21bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2 x3x4a3a4D5按第5列展开得到的是x的4次多项式，且x3的系数为

45 A45(1)DD

又利用计算范得蒙行列式的公式得

D5=(ba)(ca)(da)(xa)(cb)(db)(xb)(dc)(xc)(xd)

=(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)[(xa)(xb)(xc)(xd)]

=(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)[x(abcd)x其中x的系数为(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(abcd)

由x的系数相等得：

3343]

D=(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)

1513113412a4j的代数余子式.

解 直接求代数余子式的和工作量大．可将A41A42A43A44改写为

例2.6 设|A|122334，计算A41 + A42 + A43 + A44 = ? 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素

1A411A421A431A44，故

A41 + A42 + A43 + A44 15131134111123111602102311001200

602 =(1)416020236 120023=10120例2.7 求解方程:

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人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

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1111xf(x)11解 方法1

112x1100(n2)x111(n1)x0

11101x0f(x)rir1110x00i2,,n00=(1)n1x(x1)(xn2)

由题设知

f(x)(1)n1x(x1)(xn2)0

所以x10,x21,,xn1n2是原方程的解.

方法2 由题设知,当x0,1,2,,n2时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此f(x)可写成

f(x)Ax(x1)(xn2)

于是原方程f(x)Ax(x1)(xn2)0的解为:

x10,x21,,xn1n2

例2.8 计算元素为aij = | i－j|的n阶行列式. 解 方法1 由题设知，a11=0，a121，

,a1nn1,，故

Dn0110n1n20riri1in,n1,,2011111n111

n1n2n1cjcnj1,,n1n2020n11(1)n12n2(n1)0

其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．

001部分文档来自网络收集，如有侵权，请联系作者删除

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0110n1n2000n1=(1)n18

方法2 Dnriri1i1,2,,n11111110

n1n21cjc1n1n202

j2,,n12n2(n1)n12n3例2.9 计算行列式Da200d2c100a10c1c20

．

d1b1000b200解 方法1 按第一列展开：

a100c1b1c2Da2d1b10-d2a1b2d1a0=a2b21d10c1b1-d2c2a1c1d1b1

=（a2b2-d2c2）a1c1d1b1=（a2b2-d2c2）（a1b1-d1c1）

方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：

D(1)2323ana1c1a2d1b1d2c2b2=（a1b1d1c1）（a2b2d2c2）

bna1c1b1d1dn=AB．

例2.10 计算D2n=

，其中未写出的元素都是0．

cn解 方法1 利用公式

AOO

B

采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作2n2次相邻对换）；最

后一列逐列和上列换，换到第2列（作2n2次相邻对换），得到

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人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

anbn00cndn0000an1bn1 D2)2n=(1)2(2na

1b1c1d100cn1dn1 =D2D2(n1)=(andnbncn)D2(n1)=(andnbncn)(an1dn1bn1cn1)D2(n2)n =

=(andnbncn)(an1dn1bn1cn1)(a1d1b1c1)=(aidibici)

i1方法2 利用行列式展开定理进行求解．

an1bn10ra1b1 D1展开2n=anc1d1

cn1dn10dn0an1bn1a1b1 +b2nn(1)1c1d1

cn1dn1cn0上面第1个行列式是

AOO

B

的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以

D12n=andnD2n2bncn(1)2n1D2n2

n=(andnbncn)D2(n1) =

=(aidibici)

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1aa00011aa00例2.11 计算D5011aa0． 0011aa00011a解 方法１ 采用递推的方法进行求解．

1a000a00Dc1c2c01a55011aa0 0011aaa0011a1aa00a000c1展开=11aa0511aa00011aa+(a)(1)11aa0

0011a011aa即 DD1)51a4， D1)41a354(a)(4D3(a)(，

D3D2(a)(1)31a2， D21aa2

故 Daa2a3a4a551

方法2 采用降阶的方法进行求解．

01aa2aa200a00Dr11a1(1a)r25011aa0 0011aa00011a001aa2a3aa2a30r(1aa2)r11aa00

13011aa0 0011aa00011a0001aa2a3a4aa2a3a4r(1a11aa00 a2a3)r

14011aa0 0011aa00011a部分文档来自网络收集，如有侵权，请联系作者删除

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00001aa2a3a4a5r11aa001(1aa2a3a4)r5011aa0 0011aa00011ar1展开=(1aa2a3a4a5)(1)51(1)4=1aa2a3a4a5

例2.12 证明

x100D0x10n=

=xnan11xan1xan

anan1an2xa1证 方法1 递推法 按第1列展开，有

1x1Dn1n= x Dn1+（－1）an

x1= x Dn1+ an

x1n1D11= x + a1，D2xa2xa，于是

1D2n= x Dn1+ an=x（x Dn2+an1）+ an=xDn2+ an1x + an =

= x

n1D1+ a2x

n2++ ax + anxn1n1n=xa1an1xan

方法2 第2列的x倍，第3列的x2倍，，第n列的x

n1倍分别加到第1列上

01000Dc1xc2x2x1n

00x0

anxan1an1an2xa101000c20x101xc03 x30x10

anxan1x2an2an1an2an3xa1部分文档来自网络收集，如有侵权，请联系作者删除

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由于人生有几件绝对不能失去的东西:自制的力量，冷静的头脑，希望和信心

011按rn展开x1=

=

x11(1)n1fx=f

fxx1n1其中fanan1xan11xxn

01000c0x100或 D1xc2x2c3xn1cnn

000x1fan1an2a2xa11按cx11展开(1)n1fx=(1)n1f(1)n1=f

x1n1其中fanan1xa1xn1xn

方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．

x000c12xc10x00c13c2Dx00x0n

c1nxcn1aanan1annan1xan2xx2kn按cn展开 x

n1 kn1anan1n= x

(

xn1+ xn2++a2x+a1+x) =annan1xa1xn1x

1000按方法4 Drn展开n(1)n1ax100n+

00x1x000x100(1)n2a00++(1)2n1a0x00n1

012

00x10001部分文档来自网络收集，如有侵权，请联系作者删除

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x100+(1)2n(a0x001x)

000x=（－1）n1（－1）n1an+（－1）n2（－1）n2 an1x ++（－1）2n1（－1）a22xn +（－1）2n( an11+x) x = anan1xan11xxn

例2.13 计算n阶“三对角”行列式

000100Dn=

01＋00

0001解 方法1 递推法．

0000按cD1展开100n()Dn1—

0001(n1)按r1展开()Dn1－Dn2

即有递推关系式 Dn=()Dn1－Dn2 (n3) 故 DnDn1＝(Dn1Dn2)

递推得到 D2nDn1＝(Dn1Dn2)＝(Dn2Dn3)

＝

＝n2(D2D1)

而Dα+βαβ21()，D22＝

1α+β＝，代入上式得

DnnDn1

DnnDn1 （2.1）

由递推公式得

DnDn1n＝(Dn1n2)n

＝α2D

1n2＋nn＝

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βn1－αn1＝n＋n1＋＋n1n＝，当αβ时β－α(n1)αn1，当α＝β时

方法2 把Dn按第1列拆成2个n阶行列式

000000100100D100n=01＋00＋

0

00010000001上式右端第一个行列式等于αDn1，而第二个行列式

00010000000100c1000iaci1i2,,n0100=βn

00000010001于是得递推公式DnnDn1，已与（2.1）式相同．

方法3 在方法1中得递推公式

Dn=()Dn1－Dn2

又因为当时 D1==22

D332221=()=2=

0D3=

1=()3-2() 01= ()(22)=44

n1n1于是猜想Dn，下面用数学归纳法证明．

当n=1时，等式成立，假设当nk 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得

Dk1=()Dk－Dk1

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k1k1kkk2k2=()—=

所以对于nN，等式都成立．

第二部分

这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内

容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．

A1例2.14 设A为3×3矩阵, |A| =－2, 把A按行分块为AA2, 其中Ai(i1,2,3)是A的第iA3A32A1行, 则行列式

2A2A1______.

A32A1

解

A32A12A2A1A3A1A1A32A2A1

=2A2=2A22|A|4

例2.15 判断题

(1) 若A，B是可乘矩阵，则ABAB． （ ） (2) 若A，B均为n阶方阵，则ABAB． （ ）

解 (1) 错误，因为A，B不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．

3020(2) 错误，例如取A，B02，AB1AB5．

03例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.

证 AA,|A||A||A|(1)|A||A|(n为奇数). 所以|A| = 0.

TTnk1例2.17 （数四，01，3分）设矩阵A11k1111k1111k1111kr1r2r4111k11，且秩R(A)3，则k= 1k111k解 由于Ak3k3k3k31k111111k11k

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11111k1111k1111k =(k3)(k1)

由R(A)3，知A=0，而k1时，R(A)1，故必有k3．

例2.18 若A，B，C均为3阶可逆方阵，A1，B2，计算2C1(ATB1)2C． 解 2C(AB)C=2C1T1231316

=(k3)=(k3)110k1000010k10100k1

ABT12C

1231CAT=2C2B1=23A=2

B22例2.19 设3阶方阵A，B满足方程 ABABE，试求矩阵B以及行列式B，其中

2101．

A020201 解 由A2BABE，得(AE)BAE，即 (AE)(AE)BAE

2201由于 AE030，AE180 202001 AE010，AE20 200B(AE)1(AE)1(AE)(AE)1

001001/201 0100200100所以|B|1/2．

例2.20 设A为3阶方阵，A=2，求(111A)3A*的值． 216

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解 方法1 化为关于A*的形式进行计算．

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A*n1利用公式(A)A，A，AA有

A111111A**1*(A)3A=2A3A=23A*=A*3A* 2A=2A*=(2)3A*=(2)A=32

方法2 化为关于A1的形式计算． 利用公式(A)1321A1，A*AA1，A1=

1，有 A11(A)13A*=2A13AA1=4A1=(4)3=32

A2例2.21 （数四，98，3分）设A，B均为n阶方阵，A=2，B=-3，求2A*B1的值． 解 2AB*1=2ABn*1=2Ann1122n1nn11=22=

B33例2.22 若1,2,3,1,2都是4维列向量，且4阶行列式1,2,2,3n，

1,2,3,1m，计算4阶行列式3,2,1,12的值．

解 如果行列式的列向量组为1,2,,n，则此行列式可表示为1,2,,n，利用行列式的性质，有

3,2,1,123,2,1,1+3,2,1,2=1,2,3,1-3,2,2,1

=1,2,3,1+1,2,2,3=nm

例2.23 计算行列式|A|，|B|，OABO，其中

2121A2x11x2nx1(n1)xn0， Bn1n00n1nn10200000 n100n0部分文档来自网络收集，如有侵权，请联系作者删除

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11解 |A|=

22n1(n1)xn1n1n1nxx00xxxnxn

12x1x212rir1i2,,nnn12cncjj1,,n1n1x00000xx0000xx0n(n1)x2000

这是逆对角的上三角行列式，所以

A(1)n(n1)2(n(n1)x)xn1 2n(n1)2nOAn(n1)又|B|n!，故(1)2(x)n!xn1．

BO2注 这里用了公式：若A为m阶方阵，B为n阶方阵，则

TOA

BO

=(1)mnAB．

例2.24 若A为n阶方阵，E为单位矩阵，满足AAE，A0，求 AE． 解 方法1 由AAE有

TAE=AAAT=A(EAT)=A(EA)T

=A(EA)T=AEA=AAE

即(1A)AE=0，而(1A)0，所以AE=0．

方法2 因为 (AE)A=AAA=EAT=AE 即 AEA=AE

有(1A)AE=0，而(1A)0，所以AE=0．

方法3 由AAE知矩阵A为正交矩阵，即AA=1，A=1，又因为A0，所以有

TTTTT2A1，故

AE=AEA1=EA=EA

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即2AE=0，AE=0．

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例2.25 若A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，证明AE的行列式大于1．

证 方法1 因为A为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设A的n个特征值为

i1,i1,2,于是(11),n，且i0，由特征值的性质知，AE的n个特征值为i1,i1,2,(n1)1．

,n，

方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此A可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵P

有

1P1AP （0,i1,2,,n）

in1即 APP1 n111AEPP1PP1=P1 Pnn111AE=PP1=(11)(n1)1

n11a111例2.26 设A22a22，求A

nnnna解 利用特征值法进行求解，即利用公式A12n．

1a111 A22a22

nnnna1001=a00011122a22+

000nnnna部分文档来自网络收集，如有侵权，请联系作者删除

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1111=

=aE2222 nnnn1111矩阵2222的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为 nnnnaan(n1)11122ann=2， 23n=0

所以A特征值为an(n1)2,a,,a，故A=[an(n1)n12]a．

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