王高雄版《常微分方程》习题解答4.2

1. 解下列方程 （1）x(4)5x4x0

4 解：特征方程540有根12，22，31，412t2

故通解为x=ce1c2e2tc3ec4ett

(2)x3ax3a2xax0

33解：特征方程有三重根3a3aa0

223a

at1故通解为x=ce（3）x(5)c2teatc3te2at

4x0

5解：特征方程有三重根40

30，2t42，5-2

2t故通解为xce1c2ec3tc4tc52

（4）x2x10x0 解：特征方程22100有复数根1-1+3i,2-1-3i

t 故通解为xce1cos3tc2etsin3t

(5) xxx0

2解：特征方程故通解为xce110有复数根11t2123i,2123i,

1t2cos32tc2esin32t

(6) sast1

2解：特征方程2a20有根

1a,2-a

at当a0时，齐线性方程的通解为s=ce1c2eat

~sABt代入原方程解得ABat11a2

故通解为s=ce当a=0时,~st故通解为s=c(7)

12c2eat-

1a2(t1)

16,2(1t2)代入原方程解得116t(t3)212

c2t-

x4x5x2x2t3

3解：特征方程45202t2有根t12,两重根t1

齐线性方程的通解为x=ce1c2ec3te

ABtx又因为0不是特征根，故可以取特解行如~代入原

方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=ce12tc2ec3te2tt-4-t

(8)

x(4)2xxt3

4解：特征方程210有2重根1，2重根1

2t1故齐线性方程的通解为x=ce取特解行如~x故通解为x=ce1tc2tec3ettc4tet

At2Btc代入原方程解得

ttA=1，B=0,C=1

c2tec3ec4tet+t21

(9)xxcost 解：特征方程310有复数根11t212323i,21t212323i,31

故齐线性方程的通解为xce1costc2esintc3et

2x取特解行如~AcostBsint代入原方程解得A=1,B1

2故通解为xce11t2cos32tc2e1t2sin32tc3et12(costsint)

(10)

xx2x8sin2t2

解：特征方程20有根1-2,21

t故齐线性方程的通解为x=ce1c2e2t

因为+-2i不是特征根

x取特解行如~Acos2tBsin2t代入原方程解得

tA=2,B6

55故通解为x=ce1tc2e2t25cos2t65sin2t

（11）xxe 解：特征方程310有复数根1121t23i,2121t23i,31

故齐线性方程的通解为

1

txc1ecos32tc2esin32tc3et

1是特征方程的根，故~xAte代入原方程解得A=

31t2故通解为xce1cos32ttc2e1t2sin32tc3et+1te

t3（12）s2asa解：特征方程22se

22aa0有2重根-a

t1当a=-1时，齐线性方程的通解为s=ce1

xAt是特征方程的2重根，故~tc2tet,

22et代入原方程解得A=1

通解为s=ce1c2tet12t2,

at1当a-1时，齐线性方程的通解为s=ce1

tc2teat,

1(a1)2xAe代入原方程解得A=不是特征方程的根，故~

故通解为s=ce1atc2teat+

1(a1)2et

（13）x6x5xe

2t解：特征方程2650有根1-1,2-5

t

故齐线性方程的通解为x=ce1c2e2t5t

1212不是特征方程的根，故~xAe代入原方程解得A=

t1

故通解为x=cec2et5t+

121e2t

（14）x2x3xe解：特征方程2cost

2t230有根1-1+

ti,2-1-22ti

故齐线性方程的通解为xce1cos2tc2esin

t1i 不是特征方程的根, 取特解行如~x(AcostBsint)e代入

原方程解得A=故通解为xce1t541cos,B441

t2tc2esin2t+(541cost441sint)et

(15) xxsintcos2t

2解：特征方程10有根1i,2- i

1故齐线性方程的通解为xccostc2sint

xxsint,1i,是方程的解 ~xt(AcostBsint)代入原方程解得 1xtcost A=1 B=0 故~22xxcos2t

~xAcos2tBsin2t代入原方程解得

1xcos2t A=1 B=0 故~33故通解为xc

1costc2sint12tcost13cos2t