(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等
变换中的“旋转”．
2) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与
特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一\"的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的
“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转
折叠”
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、
倍长中线（线段）造全等
A例1.已知：如图3所示,AD为 △ABC的中线,
求证：AB+AC>2AD。
分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到： AB+BD>AD，AC+CD〉BD+CD 〉 AD +AD=2AD，
线段转移到同一个三角形中去。
证明:延长AD至E,使DE=AD，连接BE,CE。
ABDCAD,所以有：AB+AC+
E图3但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的
BDEC
3图 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
因为BD=DC=AC,所以AC=1/2BC
因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC
(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE 所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC ∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE 应用： 二、截长补短
例1。已知：如图1所示， AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证：BE+CF〉EF。
分析:要证BE+CF〉EF ,可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE,CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中.
证
明
：
在
DN
上
截
取
DN=DB,
连
接
NE
，
ANEF1234BDC图1延长FD到G ， 使DG=FD， 再连结EG，BG
1、如图，ABC中,AB=2AC,AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC
证明：
取AB中点E，连接DE ∵AD=BD
A∴DE⊥AB，即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】
C∵AB=2AC B∴AE=AC
D
NF
(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】 AD=AD
∴⊿AED≌⊿ACD（SAS） ∴∠C=∠AED=90º
∴CD⊥AC
2、如图,AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证；AB＝AC+BD
在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180
BCEAD所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN
BE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
3、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，P,Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是
BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A0证明：
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。
BQPC(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70°
且∠APM=180°-∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70° ∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线, ∴∠BAP=∠MAP AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角） ∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40° ∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC中 ∵∠QBC=QCB=40° ∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP
A4、角平分线如图,在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分求证： AC1800
DABC，
延长BA，作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BC
BC
(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
∵∠1=∠2
∴DE=DF（角分线上的点到角的两边等）
∴在Rt△DFA与Rt△DEC中 ｛AD=DC,DF=DE｝ ∴Rt△DFA≌Rt△DEC(HL) ∴∠3=∠C
因为∠4+∠3=180° ∴∠4+∠C=180° 即∠A+∠C=180°♢
5、如图在△ABC中,AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 延长AC至E,使AE=AB，连结PE。
A距离相
然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易12吧～）
PC△PCE中,EC〉PE—PC ∵EC=AE-AC,AE=AB ∴EC=AB-AC 又PB=PE
∴PE—PC=PB—PC ∴AB—AC>PB—PC
三、平移变换
BD例1 AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A。E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB。求证PB＞PA.
(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC〉AD+AE。
AB
DEC
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD
A在AC上取点F,使AF=AE ∵AD是角A的平分线 ∴角EAO＝角FAE/
BEO∵AO=AO
∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等） ∴EO=FO ,角AOE＝角AOF ∵CE是角C的平分线 ∴角DCO＝角FCO ∵角B＝60°
∴角A+角C＝180－60＝120°
∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度 ∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60° ∴角OCF＝角COD ∵OC=OC
DC(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
∴三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等） ∴CF=CD
∴AC=AF+CF＝AE+CD
即：AE+CD=AC
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. （1)说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
证明：连接BD，CD DG⊥BC于G且平分BC 所以GD为BC垂直平分线
垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD=CD
角平分线上的点到角两边距离相等
,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E,DF⊥AC的延长线于F 所以DE=DF
在RT△BED，RT△CFD中 DE=DF
EABD=CD
RT△BED≌RT△CFD（HL) BE=CF
五、旋转
BGCFD例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE，AF=AG， 所以三角形AEF全等于AEG
ADFBEC(完整)全等三角形问题中常见的辅助线的作法及例题
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM，DN分别交BC,CA于点E,F。
（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积. B做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q
A∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC ∴DP=DQ=½BC=½AC
又∵∠FDQ=∠PDE（旋转）∠DQF=∠DPE=90°
MECFAN∴△DQF≌△DPE ∴S△DQF=S△DPE
又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE
∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½BC*½AC=¼AC²（AC=BC=定值） ∴四边形DECF面积不会改变
例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N,连接MN，则AMN的周长为 ;
AMNBCD
我简单说一下 过D点做DE⊥AB的延长线 然后证明DMN≌DME （注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的)
