2.5二次函数
§双基研习·面对高考2.5二次函数考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考www.iweihai.cn威海
双基研习·面对高考基础梳理1．二次函数的三种表示形式：
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)一般式：____________________
(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)
a(x－k)2＋h(a≠0)．，则其解析式为f(x)＝_________________
(3)两根式：若二次函数图象与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．___________________
思考感悟
1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数吗？提示：不一定．可表示二次函数(a≠0)，可表示一次函数(a＝0，b≠0)，可表示常数函数(a＝0且b＝0)．
2．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c有什么关系？
提示：y＝ax2＋bx＋c可以由y＝ax2平移得到，两个抛物线的形状相同，位置不同(b≠0，c≠0)．
课前热身
1．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么()A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(2)C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与f(2)的大小关系不能确定答案：C
2．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于()A．0B．3
C．6 D．不能确定答案：C
3．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是( ) A．－32 B．3 C．－1 D．不存在 答案：C
4．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围为__________．答案：(－∞，－16]
5．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝__________.
答案：9或25
考点探究·挑战高考求二次函数解析式
一般用待定系数法，巧妙设出解析式的形式，求解过程中，充分结合题目中所暗示的二次函数的性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴、特征点等．
例1已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图象过
点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)，对任意实数x都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．
求f(x)与g(x)的解析式．
【思路分析】通过对称轴及待定系数求a和b，通过设对称点求g(x)．
【解】由题意知：a＝1，b＝0，∴f(x)＝x2＋2x.
设函数y＝f(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y，
∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，
22∴－y＝x－2x，∴y＝－x＋2x，
∴g(x)＝－x2＋2x.
【领悟归纳】f(x)与g(x)关于原点对称，
g(x)也可以用奇函数的性质求解，即g(x)＝－f(－x)．
二次函数的图象与性质
二次函数根据图象研究性质，注意开口方向，对称轴位置，对于闭区间上的最值要注意轴与区间的关系．
例2若f(x)＝1－2a－2acosx－2sinx2的最小值为g(a)． (1)求g(a)的表达式； 1(2)求能使g(a)＝的a值，并求出当a2取此值时，f(x)的最大值． 【思维流程】sin2x→cos2x→t＝cosx→配方→讨论求g(a)．
【解】 (1)f(x)＝1－2a－2acosx－2(1－cosx) 2＝2cosx－2acosx－1－2a. 令t＝cosx∈[－1,1]， 2∴g(t)＝2t－2at－1－2a 2a2a＝2(t－)－1－2a－. 22a当≤－1，即a≤－2时，g(t)在t∈[－1,1]上2为增函数， 2g(t)min＝g(－1)＝1＋2a－2a＝1. a当－1<≤1时，即－21即a>2时， 2g(t)min＝g(1)＝1－4a. 1 a≤－22a∴g(a)＝－1－2a－2 －22 . (2)由上式可知： 1a≤－2时，g(a)＝1≠ 21a>2时，g(a)＝1－4a<－7≠ 22a12∴－2(2)如果需通过换元将问题转化为二次函数问题，需注意变量的取值范围．有关二次函数的综合应用
二次函数常和二次方程、二次不等式及导数、直线综合在一起，解题的关键是转化．例3设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴．(1)用a分别表示b和c；
(2)当bc取最小值时，求f(x)的解析式；
(3)在(2)的条件下，f(x)＝0的两根为x1和x2，设g(x)＝f(x)＋c，g(x)＝0的两根为x3，x4，求证：|x3－x4|>|x2－x1|.
【思路分析】(1)由f(x)→f′(x)→f′(－1)＝0→b和c.
(2)bc取最小值→a→f(x)．
(3)利用图象与x轴的交点关系证明．
【解】
所以f′(x)＝2ax＋b.
又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，故f(0)＝2a＋3，而f(0)＝c，从而c＝2a＋3.
又曲线y＝f(x)在(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，
故f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0，因此b＝2a.
2(1)因为f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，
(2)由(1)得bc＝2a(2a＋3) 329＝4(a＋)－， 4439故当a＝－时，bc取得最小值－. 4433此时有b＝－，c＝. 223233从而f(x)＝－x－x＋. 4223(3)证明：∵c＝>0， 23∴g(x)＝f(x)＋看作由y＝f(x)的图象向23上平移个单位，由图象可知 2g(x)＝0的两根在f(x)＝0两根之外， ∴|x3－x4|>|x2－x1|. 【领悟归纳】抛物线的切线问题仍是求导数，(3)中的绝对值不等式证明采用了数形结合法，要理解x1，x2，x3，x4的关系及意义．
互动探究在(2)的条件下，如果f(x)在点(x0，f(x0))时的函数值大于该点处的切线的斜率，求x0的范围．
3233解：∵f(x)＝－x－x＋， 42233f′(x)＝－x－， 22由题意可得f(x0)>f′(x0)， 323333∴－x0－x0＋>－x0－， 422222∴x0<4，∴－21．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．如例3的互动探究．2．二次函数的最值的三种形式(1)轴定区间定，(2)轴定区间动，(3)轴动区间定．一般来说，讨论二次函数在区间上的最值，主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而用相应的单调性来求最值，如例2.
3．关于二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法，如例1. (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)x1＋x2图象的对称轴方程为x＝. 2(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)． (3)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x＋2a)＝f(x)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)． 注意：(2)(3)中，f(a＋x)＝f(a－x)与f(x＋2a)＝f(x)是等价的． 2(4)利用配方法求二次函数y＝ax＋bx＋bc(a≠0)对称轴方程为x＝－. 2a(5)利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y＝f(x)对应方程为f(x)＝0两根为x1、x2，那么x1＋x2函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝. 2失误防范
1．对于函数y＝ax2＋bx＋c要认为它是二次函数，就必须认定a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
2．对于二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法24ac－b求函数的最值是极其危险的，一般要4a讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况： 2k1＋k2bbk1＋k2①－考向瞭望·把脉高考考情分析纵观近几年来高考数学试题，涉及二次函数及其应用的题型连年出现，归纳起来，主要有两种类型：一种是直接考查二次函数知识的试题；另一种是运用构造二次函数求解的试题．尤其是其它基本初等函数经过求导等方法转化后经常出现二次函数、二次方程、二次不等式三者综合运用的题目．在2010年的高考中，上海文20题是借用立体几何知识转化为二次函数应用．四川用选择题考查了二次函数对称性(理4文5)．大纲全国卷Ⅱ文第7题考查了抛物线的切线，卷Ⅰ第15题，考查了二次函数图象的作法与应用．
预测2012年的高考函数解答题仍是求导后转化为三个“二次”问题，客观题中以考查二次函数性质为主题．
规范解答(本题满分12分)(2010年高考江西卷)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值．
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
例【解】 f′(x)＝18x＋6(a＋2)x＋2a. 2分 2(1)∵x1，x2是f(x)的两个极值点， ∴f′(x1)＝f′(x2)＝0. 即x1，x2是f′(x)＝0的两根. ∴x2a1x2＝18＝1，∴a＝9. 4分 6分 (2)对f′(x)＝18x＋6(a＋2)x＋2a，开口向上的抛物线． Δ＝36(a＋2)－4×18×2a＝36(a＋4)>0， ∴f′(x)＝0有两相异实根． ∴f′(x)有正有负. 10分 ∴f′(x)在(－∞，＋∞)上不单调，故不存在实数a，使得f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数. 12分 222【名师点评】本题求导只是一个转化方法，其余是有关二次函数问题，难度不大．关键是转化，(1)转化为根与系数的关系．(2)转化为判断式．尤其(2)，用研究探索的过程回答问题，改变了以往已知、求解的死板题目，有利于培养学生解决问题的灵活性．
名师预测
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c，且f(1)＝0，证明f(x)的图象与x轴有两个交点．
(2)在(1)的条件下，是否存在m∈R，使当f(m)＝－a成立时，f(m＋3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
(3)若对x1，x2∈R，且x1按ESC键退出全屏播放点此进入课件目录谢谢使用
