微分方程数值解法课程试验题目 (3)

计算实验课

微分方程数值解法数值计算实验题目

一、常微分方程部分：

1．使用四阶Runge-Kutta方法求解如下初值问题的近似解，并将结果与实际值进行比较。

2．使用四阶Adams预估校正算法（PECP和PMECME方案），初始值用四阶Runge-Kutta方法提供，并将结果与实际值进行比较。

11t。

u1tu，2t3，u21；精度105，h0.5。实际解

2utu1ut，1t2，u12；精度105，h0.2。实际解utlnt2。

二、偏微分方程部分：

1．用有限差分法求解如下Poisson方程

ux,ycos3xsiny,，0x，0y1

边界条件为： ux,0ux,10,0x1；

ux0,yux,y0,0y1

取

h1N和

,h21,N作矩形剖分，网格节点为xiih1，yjjh2，i,j=0,1,…,N。

差分格式为

ui1,j2ui,jui1,jui,j12ui,jui,j1cos3xisinyjhh12

i,j1,2,,N1

,N,边界条件为： ui0uiN0,i0,

u0ju1j,j1,,N1,

uNjuN1j,j1,,N1,

结果与精确解

ux,y921cos3xsiny进行比较。

求解方案：依次令N4,8,16,32，取6位小数计算。

ijx,y,j44，i,j1,2,3处列出差分解与精确解。 用消元法求解，并就

其次，就N=32，0.25，0.5，0.75及i=0，2，4，…，30，32画出差分解曲线。

2．用向前、向后或Crank-Nicolson算法求解一维抛物型方程的初边值问题：

u2u2sint,tx，0x1，0t

ux0,tux1,t0，0t ux,0cosx，0x1

1J，时间步长0，tk=kt，网

ux,te精确解为：2tcosx1cost，设空间步长

h比

rh2。

（一） 向前差分格式的计算方案：

1ukukjj

kkukj12ujuj1h2sintk j1,2,,J1,k1,2,,N

边值条件为

k1ku0u0 j=0，

kku1k2u0u1sintkk2uu1n1h，;

k1kuJuJ j=J，

kkkuJ12uJuJ1sintkknuJuJ11; h2，

初值条件为

uxj,0cosxj,j0,1,2,,J

a) 取

h111,,r40 3200 此时2，计算到时间层t32001；

b) 取

h111,,r80 12800 此时2，计算到时间层t128001；

c) 取

h11,,80 3200 此时r2，观察计算结果；

（二） 向后差分格式的计算方案：

1ukukjjkkukj12ujuj1h2sintk1 j1,2,,J1,k1,2,,N

边值条件为

k1ku0u0 j=0，

k1k1u1k12u0u1sintk1uk1uk121h，1;

k1kuJuJ j=J，

uJ12uJuJ1sintkuk1uk12h，J1J1;

初值条件为

uxj,0cosxj,j0,1,2,,J

a) 取

h11,,40 1600 此时r1，计算到时间层t16001；

b) 取

h11,,80 3200 此时r2，计算到时间层t32001；

（三） 六点对称差分格式的计算方案：

1ukukjj12uk1j1k1kk1kuk2uuuuj1jjj1j11sintk1sintk2h2 j1,2,,J1,k1,2,,N

边值条件为

j=0，J列Crank-Nicolson格式，其中

ukk1kk1; ukk1ukk11u1u1u1J1uJ1J1uJ1

初值条件为

uxj,0cosxj,j0,1,2,,J

1a) 取

h40, 11600, 此时r1，计算到时间层t16001；

b) 取

h1180, 3200, 此时r2，计算到时间层t32001；

将以上三种数值方法的结果与精确解列表作比较，其中

xjj4,二维抛物型方程的初边值问题*：

j1,,4。

用六点对称差分格式，ADI法，预校法和LOD法求解二维抛物型方程的初边值问题：

2u2u2u422,txy x,yG0,10,1，0t

u0,y,tu1,y,t0，0y1，0t uyx,0,tuyx,1,t0，0x1，0t ux,y,0cosysinx，

精确解为：

ux,y,te28tsinxcosy。

设xj=jh (j=0,1,…,J), yk=kh (k=0,1,…,K), tn=nt (n=0,1,…,N)，差分解为条件为

unjk，则边值

nnu0kuJk0，k=0,1,…,K；

nunuj0j1，

nunujKjK1，j=0,1,…,J

取空间步长

hh1h211r2140，时间步长1600，网比h，用六点对称差分格式，

ADI法，预校法和LOD法分别计算到时间层t=1。

3．微分方程数值解法书第181页的实习题1、2。