山西省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<2}，𝐵={𝑥|1≤𝑥≤3}，则𝐴∩𝐵=( )
A. (−1,2) B. [1,2) C. [1,3] D. (−1,3]
2. 中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华
民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下： 参加场数 参加人数占调查人数的百分比 以下四个结论中正确的是( )
0 1 2 3 4 5 6 7 8% 10% 20% 26% 18% 𝑚% 4% 2% A. 表中m的数值为10
B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人 C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人
D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间
隔为25
3. 设函数𝑓(𝑥)={
A. −1
𝑓(2−𝑥),𝑥>2,1
𝑓，则(log)+𝑓(3)=( ) 232−𝑥,𝑥≤0,
B. 5 C. 6 D. 11
4. 既是奇函数又在(0,+∞)上为增函数的是( )
A. 𝑦=𝑥2
B. 𝑔(𝑥)=
𝑥−1𝑥
C. 𝑦=𝑥+𝑥
1
D. 𝑦=𝑥−𝑥
1
5. 在长为3的线段AB上任取一点P，P到端点A，B的距离都大于1的概率为
A. 8 31
B. 2 1
21
C. 4 1
D. 3
1
6. 已知𝑎=2,𝑏=log12,𝑐=log15，则( )
A. 𝑎>𝑏>𝑐
B. 𝑎>𝑐>𝑏
C. 𝑐>𝑎>𝑏
D. 𝑐>𝑏>𝑎
7. 函数𝑓(𝑥)=2𝑥+√𝑥−1的值域是( )
A. (−∞,2] 8. 函数𝑓(𝑥)=2+
ln|𝑥|𝑥2B. [2,+∞)
的图象大致为( )
C. [0,+∞) D. [0,2]
A. B.
C. D.
9. 中国古代数学著作《算法统综》中有如下问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚
痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.某数学爱好者将此问题改编为如下数学问题：有一个人骑行旅游，第一天精神十足，骑行了192里，从第二天起因脚痛每天骑行的路程为前一天的一半，欲使骑行的总路程不低于360里，那么此人至少需要骑行多少天♁若将该问题用以下的程序框图来解决，则输出n的值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、
90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
(注：90后指1990年及以后出生，80后指1980−19年之间出生，80前指1979年及以前出生)
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20% C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
11. 已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥+𝑥，则不等式𝑓(𝑥−2)+𝑓(𝑥2−4)<0的解集为( )
A. (−1,6)
B. (−6,1)
𝑥−1
C. (−2,3) D. (−3,2)
|2𝑥−1|,𝑥<2
，若方程𝑓(𝑥)−𝑎=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范12. 已知函数𝑓(𝑥)={3
,𝑥≥2
围为( )
A. (1,3) B. [1,3) C. (0,1) D. (0,3)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数𝑓(𝑥)=lg(1−𝑥)+√𝑥+2的定义域为______ ． 14. log216−log24= ________．
15. 101111011(2)= ______ (10)；137(10)= ______ (6)． 16. 若𝑓(𝑥)=
(𝑥+2)(𝑥+𝑚)
𝑥
1为奇函数，则实数𝑚=____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知𝑓(𝑥)是一次函数，且𝑓(0)=3，𝑓(1)=4，
(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；
(2)若𝑔(𝑥)=2𝑓(𝑥)，且𝑔(𝑚+1)<𝑔(7)，求m的取值范围．
18. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设
特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1000张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求 (1)𝑃(𝐴)，𝑃(𝐵)，𝑃(𝐶)； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
19. 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得表数据．
x y 6 2 8 3 10 5 ̂
12 6 ̂̂
(1)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程𝑦=𝑏𝑥+𝑎；
(2)判断该高三学生的记忆力x和判断力是正相关还是负相关：并预测判断力为4的同学的记忆力．
(参考公式：𝑏=
̂
∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦
22∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥
−−−
)
20. 某企业拟投资A、B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润𝑃=−80(𝑚−20)2+105万
元；投资B项目n万元可获得利润𝑄=−80(40−𝑛)2+
79
592
1
(40−𝑛)万元．若该企业用40万元来
投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？
21. 一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频
率分布表： x 频数 2 [11,13) 12 [13,15) 34 [15,17) 38 [17,19) 10 [19,21) 4 [21,23) (Ⅰ)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；
(Ⅱ)若𝑥<13或𝑥≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率．
22. 已知函数𝑦=𝑓(𝑥)是定义在R上的减函数，若𝑓(𝑥−1)>𝑓(1−3𝑥)，求x的取值范围。
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题． 按照定义进行交集的运算即可． 解：∵𝐴={𝑥|−1<𝑥<2}， 𝐵={𝑥|1≤𝑥≤3}； ∴𝐴∩𝐵=[1,2)． 故选：B．
2.答案：C
解析：
本题考查分层抽样、根据样本的特征数字估计总体，是基础题． 根据图表信息逐一判断即可．
解：由统计表知：其它频率和92%，所以𝑚=12，故A 不正确；
高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为1000𝑥(8%+10%+20%)=380人，故B 不正确;
高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为1000𝑥(1−26%−38%)=360人，故C 正确;
从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为故选C．
100050
=20，故D不正确，
3.答案：B
解析：
本题主要考查分段函数的求值，以及指数幂，对数的计算．
解：根据题意得，𝑓(log2)=2−log23=3，𝑓(3)=𝑓(2−3)=𝑓(−1)=2−(−1)=2，
3所以𝑓(log23)+𝑓(3)=5，
1
1
1
故选B．
4.答案：D
解析：
本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 解：对于A，函数𝑦=𝑥2是偶函数，所以A错误， 对于B，函数𝑔(𝑥)=
𝑥−1𝑥1
是非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，函数𝑦=𝑥+𝑥是奇函数，在(0,1)上是减函数，所以C错误， 对于D，函数𝑦=𝑥−𝑥 是奇函数，又在(0,+∞)上为增函数，故D正确． 故选D．
1
5.答案：D
解析：
由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求
本题主要考查了几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．
解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0,3]
“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1,2] 根据几何概率的计算公式可得，𝑃(𝐴)=3−0=3 故选D．
3−2
1
6.答案：C
解析：
本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题． 解：由题意得： 𝑏=log1233𝑐=log15>log14=2=𝑎，2211
则𝑐>𝑎>𝑏． 故选C．
7.答案：B
解析：
本题考查了函数的定义域和值域，属于基础题．
易知𝑓(𝑥)在定义域上为增函数，且定义域为[1,+∞)，则答案可得． 解：∵𝑦=2𝑥在定义域上单调递增， 𝑦=√𝑥−1在定义域上单调递增，
易知𝑓(𝑥)=2𝑥+√𝑥−1单调递增，其定义域为[1,+∞)， ∴𝑓(𝑥)≥𝑓(1)=2， 故函数𝑓(𝑥)的值域为[2,+∞). 故选B．
8.答案：B
解析：
分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档． 解：函数𝑓(𝑥)=2+
ln|𝑥|𝑥2
满足𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，
即函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D； 又𝑓(1)=2≠0，故排除A、C， 故选：B．
9.答案：A
解析：
运行该程序框图，可得s，n，a的取值变化情况，由表可知输出n的值的情况． 解：运行该程序框图，可得s，n，a的取值变化情况如下表．
由表可知输出的n值是4． 故选A．
10.答案：D
解析：
本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，是基础题．
利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多．
解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；
在B中，由90后从事互联网行业岗位分布条形图得到从事技术岗位的人数占39.6%， 而互联网行业中90后占56%，56%×39.6%=22.176%，超过总人数的20%，故B正确； 90后从事运营岗位的人数占其17%，56%×17%=在C中，而互联网行业从业人员中90后占56%，9.52%，而互联网行业从业人员中80前仅占6%，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；
在D中，由B得互联网行业中从事技术岗位的90后人数占整个互联网行业总人数的22.176%，而互联网行业从业人员中80后占38%，故互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误． 故选D．
11.答案：D
解析：
本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数奇偶性和单调性是解决本题的关键．求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性进行求解即可．
解：∵𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥，
∴𝑓(−𝑥)=−𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥=−𝑓(𝑥)，即函数𝑓(𝑥)为奇函数， 函数的导数𝑓′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥+1≥0， 则函数𝑓(𝑥)是增函数，
则不等式𝑓(𝑥−2)+𝑓(𝑥2−4)<0等价为𝑓(𝑥2−4)<−𝑓(𝑥−2)=𝑓(2−𝑥)， 即𝑥2−4<2−𝑥， 即𝑥2+𝑥−6<0， 解得−3<𝑥<2， 故不等式的解集为(−3,2)， 故选：D．
12.答案：B
解析：
将方程𝑓(𝑥)−𝑎=0恰有两个不同的实根，转化为一个函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与一条直线𝑦=𝑎的位置关系研究，即可得出实数a的取值范围．
本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系． 解：方程𝑓(𝑥)−𝑎=0化为：方程𝑓(𝑥)=𝑎， 令𝑦=𝑓(𝑥)，𝑦=𝑎，
𝑦=𝑎表示平行于x轴的平行直线系， 直线与函数𝑓(𝑥)={
|2𝑥−1|,𝑥<2
3𝑥−1
,𝑥≥2
的图象恰好有两个不同交点时，如图，
有1≤𝑎<3，
若方程𝑓(𝑥)−𝑎=0有两个不同的实数根， 则实数a的取值范围为[1,3)． 故选B．
13.答案：(−2,1)
1−𝑥>0
解析：解：由{，解得：−2<𝑥<1．
𝑥+2>0∴函数𝑓(𝑥)=lg(1−𝑥)+√𝑥+2的定义域为(−2,1)． 故答案为：(−2,1)．
由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
114.答案：2
解析：解：原式=𝑙𝑜𝑔2故答案为：2． 进行对数的运算即可．
考查对数的定义，对数的运算性质．
1
=𝑙𝑜𝑔24=2．
15.答案：379；345
解析：解：(1)101111011(2)=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1=379． (2)∵137÷6=22…5， 22÷6=3…4， 3÷6=0…3，
∴将十进制数137化为六进制数是345． 故答案为：379，345．
(1)根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案；
(2)根据所给的十进制的数字，用这个数值除以6，得到商和余数，继续除以6，直到商是0，这样把余数倒序写起来就得到所求的结果．
二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权(即该数位上的1表示2的多少次方)，然后相加之和即是十进制数．本题考查算法的多样性，本题解题的关键是理解不同进位制之间的转化原理，是一个基础题．
16.答案：−2
解析：解：∵𝑓(𝑥)=∴𝑓(−1)=−𝑓(1) 即𝑚−1=3(1+𝑚) ∴𝑚=−2 故答案为：−2
(𝑥+2)(𝑥+𝑚)
𝑥
为奇函数，
17.答案：解：(1)设𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏，
𝑓(0)=3𝑏=3𝑎=1由{即{，解得：{， 𝑓(1)=4𝑎+𝑏=4𝑏=3∴𝑓(𝑥)=𝑥+3，
(2)由(1)得：𝑔(𝑥)=2𝑥+3，
∴𝑚+1+3<7+3，解得：𝑚<6．
解析：(1)先设出函数的解析式，代入求出即可；(2)根据𝑔(𝑥)=2𝑥+3，结合𝑔(𝑚+1)<𝑔(7)，从而得到答案．
本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的单调性，是一道基础题．
18.答案：解：(1)𝑃(𝐴)=1000，𝑃(𝐵)=1000=100，𝑃(𝐶)=20．
(2)∵𝐴，B，C两两互斥，由互斥事件的概率公式可得 𝑃(𝐴+𝐵+𝐶)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝐶)=
1+10+501000
11011
=
.
611000
．
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖即为事件𝐴+𝐵，其对立事件为𝐴+𝐵 ∴𝑃(𝐴+𝐵)=1−𝑃(𝐴+𝐵)=1−(1000+100)=1000．
.
1
1
9
解析：本题主要考查了古典概率的计算公式，复杂事件的分解，互斥事件的概率求解公式，对立事件再求概率中的应用．
(1)直接代入等可能事件的概率公式𝑃=𝑛可求；
(2)1张奖券的中奖包括三种情况①中特等奖、即事件A发生②中一等奖、即事件B发生③中二等奖、即事件C发生，且A、B、C互斥，由互斥事件的概率加法公式可求；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖即为事件𝐴+𝐵，其对立事件为𝐴+𝐵，利用𝑃(𝐴+𝐵)=1−
.
.
𝑚
𝑃(𝐴+𝐵)，结合互斥事件的概率公式可求．
19.答案：解：(1)𝑥=
−
6+8+10+12
4
=9，𝑦=
̂
−
2+3+5+6
4
=4，
−−−∴𝑏=
=
̂
12+24+50+72−4×9×436++100+144−4×81
∑4𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−4𝑥𝑦
22∑4𝑖=1𝑥𝑖−4𝑥
=0.7．
𝑎=4−0.7×9=−2.3．
∴𝑦关于x的线性回归方程为𝑦=0.7𝑥−2.3； (2)因为0.7>0，
所以高三学生的记忆力x和判断力是正相关， 由𝑦=0.7𝑥−2.3，取𝑦=4，解得𝑥=9． 故预测判断力为4的同学的记忆力为9．
^
^
解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题． (1)由已知求得𝑏与𝑎的值，则线性回归方程可求；
(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取𝑦=4求得x值得答案．
^
^
20.答案：解：设投资x万元于A项目，则投资(40−𝑥)万元于B项目，…(2分)
总利润𝑤=−80(𝑥−20)2+105+(−80𝑥2+
1
79
592
𝑥)…(5分)
=−𝑥2+30𝑥+100=−(𝑥−15)2+325…(8分) 当𝑥=15时，𝑊𝑚𝑎𝑥=325(万元)．
所以投资A项目15万元，B项目25万元时可获得最大利润，最大利润为325万元．…(10分)
解析：设x万元投资于A项目，用剩下的(40−𝑥)万元投资于B项目，根据已知求出利润W与x之间的函数关系式，进而根据二次函数的图象和性质，求出函数的最值点及最值．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知构造出利润W与x之间的函数关系式，是解答的关键．
21.答案：解：(Ⅰ)由频率分布表作出频率分布直方图为：
估计平均值：𝑥=12×0.02+14×0.12+16×0.34+18×0.38+20×0.10+22×0.04=17.08． 估计众数：18．
(Ⅱ)∵𝑥<13或𝑥≥21，则该产品不合格．
∴不合格产品共有2+4=6件，其中技术指标值小于13的产品有2件， 现从不合格的产品中随机抽取2件，
2基本事件总数𝑛=𝐶6=15，
1抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件包含的基本事件个数𝑚=𝐶 12𝐶 4=8，
.
∴抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率𝑃=15．
8
解析：(Ⅰ)由频率分布表能作出频率分布直方图，由此能估计平均值和众数．
(Ⅱ)不合格产品共有6件，其中技术指标值小于13的产品有2件，现从不合格的产品中随机抽取2
2件，基本事件总数𝑛=𝐶6=15，抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件包含的基本1事件个数𝑚=𝐶 1由此能求出抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有一件的概率． 2𝐶 4=8，
本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
22.答案：解：因为函数𝑦=𝑓(𝑥)是定义在R上的减函数，𝑓(𝑥−1)>𝑓(1−3𝑥)，
所以𝑥−1<1−3𝑥， 解得𝑥<2，
所以x的范围是{𝑥|𝑥<2}．
1
1
解析：本题考查函数单调性的应用． 由已知得𝑥−1<1−3𝑥即可求解．
