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二次根式计算专题训练
一、解答题（共
30 小题）
1．计算：
（1）
+
；
（2）（
+
）+（
﹣
）．
2．计算：
（1）（π﹣3.14） 0
+| ﹣2| ﹣
+（ ） -2． （2）
﹣4﹣（﹣）．
（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2） 2
．
3．计算化简：
（1）++
（2）2﹣6 +3．
4．计算 （1）
+
﹣
（2）
÷
×
．
5．计算：
（1）
×
+3
×2
（2）2
﹣6
+3
．6．计算： （1）（
）2
﹣20
+| ﹣
| （2）（ ﹣ ）×
第1页（共 12页）
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（3）2
﹣3
+
；
7．计算
（1）
?
（ a≥ 0）
（3） + ﹣ ﹣ 8．计算：：
（1）
+
﹣
9．计算 （1）
﹣4
+
÷
10．计算：
（1）
﹣4
+
（4）（7+4
）（2﹣
）2
+（2+
）（2﹣ ）
（2）
÷
（4）（3+ ）（ ﹣ ）
2）3
+
（
﹣
）+
÷
．
（2）（1﹣
）（1+
）+（1+
）2
．
（2）
+2
﹣（
﹣
）
第2页（共 12页）
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（WORD格式
（1）××
（2）﹣ +2
（3）（ 2
+
）（2 ﹣
）；
（4）
+
﹣（
﹣1）．
011．计算： （1）（3
+
﹣4
）÷
（ 2）
+9
﹣2x?
2
．
12．计算： ①4+﹣+4；
②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3
﹣1）．
2
13．计算题
（3）（﹣ 1﹣ ）（﹣ +1） （4） ÷（ ﹣ ）
（5） ÷ ﹣ × + （6） ．
第3页（共 12页）
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．已知： 14 a=， b=
，求
2+3ab+b
2
a
的值．
15．已知 x， y 都是有理数，并且满足 ，求 的值．
16．化简： ﹣a ．
17．计算： （1）9
+5
﹣3
；
（2）2
；
（3）（ ）
2016
（ ﹣ ）
2015
．
18．计算： ．
19．已知 y= + ﹣4，计算 x﹣y 的值．
2
20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简 ．
21．已知 1＜ x＜5，化简： ﹣| x﹣5| ．
第4页（共 12页）
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（3）请利用上面的规律及解法计算：
（
+
+
+⋯+
）（
）．
=
（1）观察上面的等式，请直接写出 （2）计算（
）（
）=
= =
= =
﹣1 =
﹣
；
22．观察下列等式： ① ③
= =
=
； =
②
=
=
；
⋯⋯⋯回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：
+
+
+⋯+
．
23．观察下面的变形规律：
=
，
=
，
=
，
=
，⋯
解答下面的问题：
（1）若 n 为正整数，请你猜想 （2）计算：（
+
= +⋯+
；
）×（
）
24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
﹣
（n 为正整数）的结果 ；
；
第5页（共 12页）
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25．计算：
（1）（
﹣
）×
+3
（2）
﹣
×
．
（1）|
﹣2|﹣
+2
（2）
﹣ ×
+
．
（1）6﹣2
﹣3
（2）4
+
﹣
+4
．
26．计算
27．计算 ．
28．计算 （1）9
+7
﹣5
+2
（2）（2
﹣1）（2
+1）﹣（ 1﹣2
）．
2
29．计算下列各题．
30．计算 （1）9
+7
﹣5
+2
（2）（
﹣1）（
+1）﹣（ 1﹣2
）
2
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《二次根式计算专题训练》参与试题解析
一．解答题（共 1．计算：（ 1）
（2）（
30 小题） +
+
= 2
+5=7；
+
2．计算：（ 1）（π﹣3.14）
（ 2）
）+（﹣=4+2+2﹣ =6+．
0﹣2+| ﹣2| ﹣+（ ） ﹣ ﹣ =1+2 4 +9
=12﹣5
2
； =
﹣4 ﹣（ ﹣ ）=2 ﹣4× ﹣ +2
2
2
（ 3）（x﹣3）（ 3﹣ x）﹣（ x﹣2） =﹣x+6x﹣ 9﹣（ x﹣4x+4）=﹣
2x+10x﹣13
3．计算化简： （1）++ （2）2
=5+2；
= 14
．
= 24
﹣
= 8 +5 ）
2
=2 +3 +2
﹣6 +3
+﹣
= 2×2 ﹣6× +3×4 = 2
+4 ﹣2
4．计算（ 1） = 6 ﹣ 2
= 2 ． +30= 37 +12 =
）×
（2）÷×
5．计算：（ 1） ×
（2）2
6．计算：（ 1）（
（2）（
（3）2 （4）（7+4
+3
×2 +3
=2 ÷3 ×3 = 7 = 4 ﹣2
﹣ 6
2
0
= 14
）﹣2+| ﹣ | = 3﹣1+ ）× ﹣
﹣ 3 +
2
（ ﹣ = 3
﹣ = 4 12
+5
）（2﹣ ）+（2+
22
）（2﹣
（2﹣ ）+（2+ ）（2﹣ ） =1+1=2 （
= 2+ ）
? = 6a 7．计算（ 1） （a≥0）=
（ 2） （3）+
（4）（3+
÷
=
= =2 +3 ﹣2 ﹣4
﹣ ﹣ =2 ﹣3 ﹣
= 2
=+﹣2+
﹣
）（ ﹣ ）=3 ﹣3 +2 ﹣5 ﹣
=
+3 ﹣2
8．计算：（ 1） +
（2）3 +
=2 ；
÷ （﹣）+
第7页（共 12页）
= ．
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10．计算：（1）
（ 2） （3）（2 （ 4）
+
﹣4 +2 ﹣（ + + ﹣4
+ =3
﹣
﹣ 2 + ）=2 +2
=2 ﹣ 3 =6；
； +
=3
．
﹣
；
9．计算：（1）
﹣4
+
÷
=3
﹣2
2
+ =3 ﹣2 +2 =3 ；
（ 2）（1﹣ ）（1+ ）+（1+ ） =1﹣ 5+1+2 +5 =2+2 ．
）（2 ﹣ ）=12﹣6
﹣（
）÷
2
0
﹣1） = +1+3
﹣1 =4
211．计算： （1）（3
=4 +3
﹣2x ×
=（9 + =8 =2； （2）
÷4
﹣ 2 ）÷ 4
=7 ﹣2 =5 ．
+9 ﹣ 2x?
12．计算： ①4 +
②（ 7+4 13．计算题 （1）
×
+4 ﹣
）（7﹣4
×
=4 +3 ﹣2 +4 =7 +2 ；
2
）﹣（ 3 ﹣1） ﹣ ﹣（ ﹣ ） ﹣ ．
=49 48 45+1 6 = 45+6 =
=
=2×3×5 =30；
= ；
（2）﹣ +2 （3）（﹣ 1﹣ （4） （5） （6）
÷（ ÷
=
=×4 ﹣2 +2×=2 ﹣2 +
）（1﹣ ﹣
）=2
+2 =
）（﹣ +1）=﹣（ 1+ ﹣ ﹣ ×
）=2 ÷（ +
=4
） =﹣（ 1﹣5） =4；
÷
=12； =4+ ；
÷ ﹣ =
22
．
．已知：
14 a=
解： a=
， b= =2+ ，b=
，求 +3ab+b 的值．
a
2﹣ ，
则 a+b=4， ab=1，
第8页（共 12页）
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a2
+3ab+b2
=（ a+b）2
+ab
=17．
15．已知 x， y 都是有理数，并且满足
，求
的值．
【分析】观察式子，需求出 x，y 的值，因此，将已知等式变形：
x，y 都是有理数，可得 ，求解并使原式有意义即可．
【解答】 解：∵
，
∴
．
∵x，y 都是有理数，∴ x2
+2y﹣17 与 y+4 也是有理数， ∴
解得
∵ 有意义的条件是 x≥ y，
∴取 x=5，y=﹣ 4，
∴ ．
【点评】 此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求
式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解． 16．化简：
﹣a
． 【分析】 分别求出 =﹣ a
，
=﹣
，代入合并即可． 【解答】 解：原式 =﹣ a
+
=（﹣ a+1）
．
【点评】本题考查了二次根式性质的应用当 a≥0 时，
=a，当 a≤0 时，
=﹣17．计算：
（1）9
+5
﹣3
=9
+10
﹣12
=7 ；
（2）2 = 2×2×2×
=
；
（3）（
）
2016
（
﹣
）2015
．
=[（
+ ）（ ﹣
）]
2015
?（
+
）
=（ 5﹣ 6） 2015
?（ + ）
=﹣（
+
）
=﹣
﹣
． 第9页（共 12页）
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，
．
aWORD格式
=3a+b﹣ c．
22．观察下列等式： ① ③
= =
=
；② =
=
⋯回答下列问题：
=
；
21．已知 1＜ x＜ 5，化简：
解：∵ 1＜ x＜ 5，
∴原式 =| x﹣1| ﹣| x﹣ 5| =（ x﹣1）﹣（ 5﹣x）= 2x﹣6．
﹣| x﹣5| ．
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c
=a+b+c﹣（ b+c﹣a） +（ b+a﹣c）
∴原式 =| a+b+c| ﹣ | b+c﹣a|+| c﹣b﹣a| 当 x= ，y=﹣ 4 时 x﹣y
2=
18．计算： ．
解：原式 = +（ ）﹣2
2
+1﹣ +
=3+3﹣2 =4﹣
19．已知 y=
． +
+1﹣2+
﹣4，计算 x﹣y 的值．
，解不等式组可得
2
2【分析】 根据二次根式有意义的条件可得：
而可求出 y 的值，然后代入 x﹣y 求值即可．
【解答】 解：由题意得：
把 x= 代入 y=
， 解得： x= ， +
x 的值，进
﹣4，得 y=﹣4， ﹣16=﹣14
．
．
20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简
【解】解：∵ a、b、 c 是△ ABC的三边长，
∴ a+b＞c， b+c＞a，b+a＞c，
（1）利用你观察到的规律，化简：
第 10 页（共 12 页）
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（2）计算：
+
+
+⋯+
．
【分析】（1）根据观察，可发现规律；
=
，根据规律，可得答案；
（2）根据二次根式的性质， 分子分母都乘以分母两个数的差，
可分母有理化．
【解答】 解：（ 1）原式 = = ；）
（2）原式=
+
+
+⋯+
= （﹣1）．
23 ．观察下面的变形规律：
= ，
=
，
=
，
=
， ⋯解答下面的问题：
（ 1）若 n 为正整数，请你猜想 = ﹣
；
（ 2）计算：
（
+
+⋯+
）×（ ）
解：原式 =[（
﹣1）+（ ﹣
）+（ ﹣
）+⋯+（
﹣
）]（
+1）=（
﹣1）（ +1）
2﹣12 ﹣ ．
=（
） = 2016 1 = 2015
24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
= = ﹣ 1
= = ﹣ ； =
= ﹣
（1）观察上面的等式，请直接写出
（n 为正整数）的结果
﹣
；（2）计算（
）（
）= 1 ；
（3）请利用上面的规律及解法计算：
（ + + +⋯+
）（
）．
=（ ﹣1+
﹣
+⋯+
﹣
）（
）
=（ ﹣1）（ +1） =2017﹣1
=2016．
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25．计算：（1）6﹣2 ﹣3
= 6﹣5 = 6﹣ ； （2）4
+﹣+4
=4 +3 ﹣2 +4
=7+2．
26．计算（ 1） |
﹣2| ﹣
+2 = 2﹣
﹣2+2
= ；
（ 2） ﹣ ×+ ﹣ × ﹣
﹣ ．
= 5+
= 1+ =
27．计算
． =（ 10 ﹣ 6
+4
）÷
=（ 10
﹣6 +4 ）÷ =（ 40 ﹣18
+8
）÷
=30
÷ =15
． 28．计算（ 1）9 +7
﹣5 +2 = 9 +14
﹣20 + = ；
（ 2）（2 ﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2 ）2
= 12﹣1﹣1+4 ﹣12 = 4 ﹣2．
29．计算下列各题．
（1）（ ﹣）×+3
= ﹣
+ =6﹣6 +=6﹣5 ； （ 2） ﹣×
= +1﹣ = 2
+1﹣2 ．
30．计算
（1）9
+7﹣5+2
= 9 +14 ﹣20
+
=
；
（ 2）（ ﹣1）（ +1）﹣（ 1﹣2 ）2
=3﹣1﹣（ 1+12﹣ 4 ）
=2﹣13+4 =﹣11+4
． 单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育的对策是手脑联盟，结果是
手与脑的力量都可以大到不可思议。
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