2006年北京市中考数学试题及参

一、选择题(本题共32分，每小题4分.在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的)

1.-5的相反数是( )A.5 B.-5 C. D.-

2.青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米.将2500000用科学记数法表示应为( )

A.0.25×10 B.2.5×10 C.2.5×10 D.25×10

7

7

6

5

3.在函数中，自变量x的取值范围是( )

A.x≠3 B.x≠0 C.x＞3 D.x≠-3

4.如图，AD∥BC，点E在BD的延长线上， 若∠ADE=155°，则∠DBC的度数为( )

A.155° B.50° C.45° D.25° 5.小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷、奶奶们学习英语日常用语.他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是( )

A.32，31 B.32，32 C.3，31 D.3，32 6.把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是( )

A.x(y2-9) B.x(y+3)2 C.x(y+3)(y-3) D.x(y+9)(y-9) 7.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为( )

A. B. C. D.

8.将如下图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是( )

二、填空题(本题共16分，每小题4分)

9.若关于x的一元二次方程x-3x+m=0有实数根，则m的取值范围是____.

2

10.若

，则m+n的值为____.

11.用“”定义新运算：对于任意实数a, b，都有a例如，74=42+1=17，那么53=____；当m为实数时，m2)=____.

b=b2+1.

(m

12.如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM.若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为____cm.

三、解答题(本题共30分，每小题5分)

2

13.计算：.

14.解不等式组

15.解分式方程.

16.已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE AF=DC.

求证：BC=EF.

2

2

17.已知2x-3=0，求代数式x(x-x)+x(5-x)-9的值.

18.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=2

.求：BE的长.

四、解答题(本题共20分，第19题6分，第20题5分，第21题5分，第22题4分)

19.已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠CAD=30°. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.

20.根据北京市统计局公布的2000年、2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下：

，

2000年、2005年北京市常住人口中受教育程度情况统计表(人数单位：万

人)

大学程度人数 年份 (指大专及以上) 2000年 2005年 233 362 高中程度人数 (含中专) 320 372 初中程度人数 475 476 小学程度人数 234 212 其他人数 120 114 请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题：

(1)从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？ (2)2005年北京市常住人口中，少儿(0-14岁)人口约为多少万人？ (3)请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法.

21.在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线l.直线l与反比例函数比例函数的解析式. 22.请阅读下列材料：

问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.

小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0).依题意，割补前后图形的面积相等，有

，解得

.由此可知新正方形的边长等于两的图象的一个交点为A(a,3)，试确定反

个小正方形组成的矩形对角线的长.于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形.

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形. 说明：直接画出图形，不要求写分析过程.

五、解答题(本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分)

23.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(2)如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

24.已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点A(0,3)，与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.

25.我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：

(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

(2)探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.

2

参

一、选择题

1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.B 二、填空题

9.m≤ 10.2 11.10，26 12.30

三、解答题

13.解：

„„4分

. „„5分

14.解：由不等式3x-1＜5解得x＜2. „„2分 由不等式2x+6＞0解得x＞-3. „„4分 则不等式组的解集为-3＜x＜2. „„5分 15.解：(x+1)+2x(x-1)=2(x+1)(x-1). „„2分 x+1+2x2-2x=2x2-2. „„3分 x=3. „„4分 经检验x=3是原方程的解.

所以原方程的解是x=3. „„5分

16.证明：因为AB∥ED，

则∠A=∠D. „„1分 又AF=DC，

则AC=DF. „„2分 在△ABC与△DEF中，

„„3分

所以△ABC≌△DEF. „„4分 所以BC=EF. „„5分 17.解：x(x-x)+x(5-x)-9

=x-x+5x-x-9 „„2分 =4x2-9. „„3分 当2x-3=0时，

原式=4x2-9=(2x+3)(2x-3)=0. „„5分 18.解：如图，过点D作DF∥AB交BC于点F. „„1分 因为AD∥BC，

所以，四边形ABFD是平行四边形. „„2分 所以BF=AD=1. 由DF∥AB，

得∠DFC=∠ABC=90°.

3

2

2

3

2

2

在Rt△DFC中，∠C=45°，CD=2

，

，

求得CF=2. „„3分 所以BC=BF+FC=3. „„4分 在△BEC中，∠BEC=90°，

.

求得 四、解答题

. „„5分

19.解：(1)证明：如图，连接OA.

因为，

所以∠B=30°.

故∠O=60°. „„1分 又OA=OC，

所以△ACO是等边三角形. 故∠OAC=60°. „„2分 因为∠CAD=30°. 所以∠OAD=90°.

所以AD是⊙O的切线. „„3分 (2)解：因为OD⊥AB， 所以OC垂直平分AB. 则AC=BC=5. „„4分 所以OA=5. „„5分 在△OAD中，∠OAD=90°，

由正切定义，有.

所以. „„6分

20.解：(1)1536-1382=154(万人). „„1分

故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人. (2)1536×10.2%=156.672≈157(万人).

故2005年北京市常住人口中，少儿(0-14岁)人口约为157万人. „„3分

(3)例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为16.86%，2005年受大学教育的人口比例为23.57%.可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高. „„5分

21.解：依题意得，直线l的解析式为y=x. „„2分 因为A(a,3)在直线y=x上，则a=3. „„3分 即A(3,3).

又因为A(3,3)在的图象上，可求得k=9. „„4分

所以，反比例函数的解析式为 22.解：所画图形如图所示.

. „„5分

说明：图4与图5中所画图形正确各得2分，分割方法不唯一，正确者相应给分. 五、解答题

23.解：图略.画图正确得1分.

(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD. „„2分 (2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立.

证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG. „„3分 因为∠1=∠2，AF为公共边， 可证△AEF≌△AGF.

所以∠AFE=∠AFG，FE=FG. „„4分

由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2+∠3=60°. 所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°. 所以∠CFG=60°. „„5分

由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD.

所以FG=FD.

所以FE=FD. „„6分

证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H. „„3分

因为∠B=60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， 所以可得∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心. „„4分 所以∠GEF=60°+∠1，FG=FH. 又因为∠HDF=∠B+∠1， 所以∠GEF=∠HDF. „„5分 因此可证△EGF≌△DHF. 所以FE=FD. „„6分

24.解：(1)根据题意，c=3，

所以

解得

所以，抛物线解析式为 „„2分

(2)依题意可得OA的三等分点分别为(0,1)，(0,2). 设直线CD的解析式为y=kx+b.

当点D的坐标为(0,1)时，直线CD的解析式为分

； „„2

当点D的坐标为(0,2)时，直线CD的解析式为分

. „„4

(3)如图，由题意，可得M(0,).

点M关于x轴的对称点为M′(0,-)，

点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A′(6,3). 连接A′M′.

根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是所求点P运动的最短总路径的长. „„5分

所以A′M′与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点.

可求得直线A′M′的解析式为.

可得E点坐标为(2,0)，F点坐标为(3,). „„7分

由勾股定理可求出A′M′=.

所以点P运动的最短路径(ME+EF+FA)的长为. „„8分

25.解：(1)略.写对一种图形的名称给1分，最多给2分.

(2)结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长. „„3分

已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=BD，且∠AOD=60°. 求证：BC+AD≥AC.

证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE=AC. 连接CE、BE. „„4分

故∠EDO=60°，四边形ACED是平行四边形. 所以△BDE是等边三角形，CE=AD. „„6分 所以DE=BE=AC.

①当BC与CE不在同一条直线上时(如图1)， 在△BEC中，有BC+CE＞BE. 所以BC+AD＞AC. „„7分

②当BC与CE在同一条直线上时(如图2)， 则BC+CE=BE.

因此BC+AD=AC. „„8分 综合①、②得BC+AD≥AC.

即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长.