江西省南昌二中2014-2015学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析

江西省南昌二中2014-2015学年高一（下）期末数学试卷

一、选择题（12×5分=60分） 1．下列函数中，最小正周期为 A． C．

2．把函数y=sin（2x﹣

）的图象向右平移

个单位，再向下平移2个单位所得函数的解

D．

的是（ ）

B．

析式为（ ） A． y=cos2x﹣2 B． y=﹣cos2x﹣2 C． y=sin2x﹣2 D． y=﹣cos2x+2

3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10

4．等差数列{an}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比数列．Sn为{an}的前n项和，则S10的值为（ ） A． ﹣110 B． ﹣90 C． 90 D． 110

5．已知向量

、

的夹角为60°，

，若

，则

=（ ）

A． B． C． D．

6．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

7．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于（ ） A．

8．若关于x的不等式x+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（ ） A． （﹣

，+∞） B． [﹣

，1]

C． （1，+∞）

D． （﹣∞，﹣1）

2

B． C． D．

9．下列程序图中，输出的B是（ ）

A． ﹣

10．已知关于x的方程﹣2x+bx+c=0，若b，c∈{0，1，2，3}，记“该方程有实数根x1，x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为（ ） A．

11．已知数列{an}满足a1=1，|an﹣an﹣1|=增数列，则12a10=（ ） A． 6﹣

12．如图，给定两个平面单位向量AB上，且

和

，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧

的概率为（ ）

B． 6﹣

C． 11﹣

D． 11﹣

（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递

B．

C．

D．

2

B． ﹣ C． 0 D．

（其中x，y∈R），则满足x+y≥

A．

B．

C．

D．

二、填空题（4×5分=20分） 13．已知向量=（1，

），向量，的夹角是

，•=2，则||等于 ．

14．安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有 ．

15．已知x＞0，y＞0，且是 ．

，若x+2y＞m+2m恒成立，则实数m的取值范围

2

16．如果一个实数数列{an}满足条件：

（d为常数，n∈N），则称这一数列“伪

*

等差数列”，d称为“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论：①对于任意的首

项a1，若d＜0，则这一数列必为有穷数列；②当d＞0，a1＞0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，伪公差为3，可

*

以是这一数列中的一项；n∈N⑤若这一数列的首项为0，第三项为﹣1，则这一数列的伪公差可以是

．其中正确的结论是 ．

三、解答题（共70分）

17．设函数f（x）=ax+（b﹣2）x+3（a≠0） （1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值； （2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．

18．已知函数

，

2

（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；

（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点

成等差数列，且

，求a的值．

19．从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5． （1）求图1中a的值；

（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S； （3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．

20．某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销（每人至多抽奖一次），设了金奖和银奖，奖券共2000张．在某一时段对30名顾客进行调查，其中有的顾客没有得奖，而得奖的顾客中有的顾客得银奖，若对这30名顾客随机采访3名顾客． （1）求选取的3名顾客中至少有一人得金奖的概率；

（2）求选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率．

21．已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．

（Ⅰ）求q的值和{an}的通项公式；

（Ⅱ）若下图所示算法框图中的ai即为（I）中所求，回答以下问题： （1）若记b所构成的数列为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn （2）求该框图输出的结果S和i．

*

22．已知数列{an}满足a1=a（a∈N）．a1+a2+…+an﹣pan+1=0（p≠0，p≠﹣1）n∈N）． （1）数列{an}的通项公式；

（2）对每一个正整数k，若将ak+1，ak+2，ak+3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为dk．求p的值及相应的数列{dk}．

*

*

江西省南昌二中2014-2015学年高一（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（12×5分=60分） 1．下列函数中，最小正周期为 A． C．

D．

的是（ ）

B．

考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题．

分析： 根据三角函数的周期性可知正弦、余弦型最小正周期为T=为T=

，进而分别求得四个选项中的函数的最小正周期即可．

，正切型最小正周期为T=

，正切型最小正周期

解答： 解：正弦、余弦型最小正周期为T=故A，C中的函数的最小正周期为π， B项中最小正周期为

，D中函数的最小正周期为，

故选B 点评： 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了学生对三角函数周期公式的灵活掌握．要求对周期公式能够顺向和逆向使用．

2．把函数y=sin（2x﹣

）的图象向右平移

个单位，再向下平移2个单位所得函数的解

析式为（ ） A． y=cos2x﹣2 B． y=﹣cos2x﹣2 C． y=sin2x﹣2 D． y=﹣cos2x+2

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 解答： 解：把函数y=sin（2x﹣﹣

]=sin（2x﹣

）的图象向右平移

个单位，可得函数y=sin[2（x﹣

）

）=﹣cos2x 的图象；

再向下平移2个单位，可得函数的图象对应的解析式为y=﹣cos2x﹣2， 故选：B． 点评： 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10

考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数． 解答： 解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7 ∴可以做出每

=30人抽取一个人，

=10．

∴从高三学生中抽取的人数应为

故选D． 点评： 抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．

4．等差数列{an}的公差d≠0，a1=20，且a3，a7，a9成等比数列．Sn为{an}的前n项和，则S10的值为（ ） A． ﹣110 B． ﹣90 C． 90 D． 110

考点： 等差数列与等比数列的综合． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等比关系求出数列的公差，然后求解S10的值． 解答： 解：设等差数列的公差为d，a3，a7，a9成等比数列．

2

可得：（20+6d）=（20+2d）（20+8d）， 解得d=﹣2，或d=0（舍去）． S10=20×10+

=110．

故选：D． 点评： 本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，等差数列的求和，考查计算能力．

5．已知向量

、

的夹角为60°，

，若C．

，则

D．

=（ ）

A． B．

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由已知求出

2

展开，利用数量积计算即可． 、

的夹角为60°，

解答： 解：因为向量

所以所以所以

=2， =（2=

）=；

2

=16+4+8=28，

故选D 点评： 本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的模；一般的，没有坐标表示的向量求模，先求其平方的值，然后开方求模．

6．甲、乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 几何概型． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 设甲、乙两人各自跑的路程，列出不等式，作出图形，再列出相距不超过50米，满足的不等式，求出相应的面积，即可求得相应的概率． 解答： 解：设甲、乙两人各自跑的路程为xm，ym，则

2

，表示的区域如图所

示，面积为90000m，

相距不超过50米，满足|x﹣y|≤50，表示的区域如图阴影所示，其面积为（90000﹣62500）22m=27500m，

∴在任一时刻两人在跑道相距不超过50米的概率是故选C．

=

点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握几何概率模型的使用条件，以及几何概率模型的计算公式．

7．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率等于（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： 先求出甲、乙所选的课程都相同的概率，再根据互斥事件的概率公式计算即可．

22

解答： 解：甲、乙两人从4门课程中各选修2门，共有C4×C4=36种选法，

2

甲、乙所选的课程都相同的共有C4=6种，

故甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率P=1﹣

=，

故选：D． 点评： 本题考查了互斥事件的概率公式，关键是求出甲、乙所选的课程都相同的种数．

8．若关于x的不等式x+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（ ） A． （﹣

，+∞） B． [﹣

，1]

C． （1，+∞）

D． （﹣∞，﹣1）

2

考点： 一元二次不等式的解法． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 利用分离常数法得出不等式a＞﹣x在x∈[1，5]上成立，根据函数f（x）=﹣x在x∈[1，5]上的单调性，求出a的取值范围．

解答： 解：关于x的不等式x+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，

2

∴ax＞2﹣x在x∈[1，5]上有解， 即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立；

又函数f（x）=﹣x在x∈[1，5]上是单调减函数， 且f（x）min=f（5）=﹣5=﹣∴a＞﹣

；

，+∞）． ，

2

即实数a的取值范围为（﹣

故选：A．

点评： 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．

9．下列程序图中，输出的B是（ ）

A． ﹣

B． ﹣

C． 0

D．

考点： 程序框图．

专题： 图表型；三角函数的图像与性质． 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期，故当i=2015时，B=0，当i=2016时不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．

解答： 解：模拟执行程序框图，可得 A=A=

，i=1 ，B=﹣

，i=2，满足条件i≤2015，

A=π，B=0，i=3，满足条件i≤2015， A=A=

，B=，B=﹣

，i=4，满足条件i≤2015， ，i=5，满足条件i≤2015，

A=2π，B=0，i=6，满足条件i≤2015， …

观察规律可知，B的取值以3为周期，由2015=3×671+2，故有 B=﹣，i=2015，满足条件i≤2015， B=0，i=2016，不满足条件i≤2015， 退出循环，输出B的值为0． 故选：C． 点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．

10．已知关于x的方程﹣2x+bx+c=0，若b，c∈{0，1，2，3}，记“该方程有实数根x1，x2且满足﹣1≤x1≤x2≤2”为事件A，则事件A发生的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

2

考点： 等可能事件的概率． 专题： 计算题；压轴题；概率与统计． 分析： 基本事件总数n=4×4=16．①当b=0时，满足条件的基本事件有3个；②当b=1时，满足条件的基本事件有4个；③当b=2时，满足条件的基本事件有4个；④当b=3时，满足条件的基本事件有3个．由此能求出事件A发生的概率． 解答： 解：基本事件总数n=4×4=16． ①当b=0时，

222

c=0，2x=0成立；c=1，2x=1，成立；c=2，2x=2，成立；

2

c=3，2x=3，不成立．

满足条件的基本事件有3个； ②当b=1时，

222

c=0，2x﹣x=0，成立；c=1，2x﹣x=1，成立；c=2，2x﹣x﹣2=0，成立；

2

c=3，2x﹣x﹣3=0，成立． 满足条件的基本事件有4个； ③当b=2时，

c=0，2x﹣2x=0，成立；c=1，2x﹣2x﹣1=0，成立；c=2，2x﹣2x﹣2=0，成立；

2

c=3，2x﹣2x﹣3=0，成立． 满足条件的基本事件有4个； ④当b=3时，

222

c=0，2x﹣3x=0，成立；c=1，2x﹣3x﹣1=0，成立；c=2，2x﹣3x﹣2=0，成立；

2

c=3，2x﹣3x﹣3=0，不成立． 满足条件的基本事件有3个．

∴满足条件的基本事件共有：3+4+4+3=14个． ∴事件A发生的概率为p=

=．

222

故选C． 点评： 本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．

11．已知数列{an}满足a1=1，|an﹣an﹣1|=增数列，则12a10=（ ） A． 6﹣

B． 6﹣

C． 11﹣

D． 11﹣

（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递

考点： 数列递推式． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 根据数列的单调性和|an﹣an﹣1|=a2n+1﹣a2n=

，由不等式的可加性，求出a2n﹣a2n﹣1=

和

，再对数列{an}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，

求出数列{an}的偶数项对应的通项公式，则12a10可求． 解答： 解：由|an﹣an﹣1|=则|a2n﹣a2n﹣1|=

，

，

，|a2n+2﹣a2n+1|=

∵数列{a2n﹣1}是递减数列，且{a2n}是递增数列， ∴a2n+1﹣a2n﹣1＜0，且a2n+2﹣a2n＞0， 则﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，两不等式相加得

a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＜0，即a2n﹣a2n﹣1＜a2n+2﹣a2n+1， 又∵|a2n﹣a2n﹣1|=∴a2n﹣a2n﹣1＜0，即

同理可得：a2n+3﹣a2n+2＜a2n+1﹣a2n， 又|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|， 则a2n+1﹣a2n=

，

*

＞|a2n+2﹣a2n+1|=

， ，

当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N），

，…，

这2m﹣1个等式相加可得，a2m﹣a1=﹣（

）+（

，

），

，

∴=．

∴12a10=

．

故选：D．

点评： 本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．

12．如图，给定两个平面单位向量AB上，且

和

，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧

的概率为（ ）

（其中x，y∈R），则满足x+y≥

A．

B．

C．

D．

考点： 向量在几何中的应用． 专题： 常规题型；计算题．

分析： 根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则由

得x，y的值，从而求得x+y，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求 解答： 解：建立如图所示的坐标系， 则A（1，0），B（cos120°，sin120°）， 即B（﹣设∠AOC=α，则∵

）

=（cosα，sinα） =（x，0）+（﹣

，

）=（cosα，sinα）．

∴

∴

∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）． ∵0°≤α≤120°．

∴30°≤α+30°≤150°． 当x+y≥

时，可得sin（α+30°）

∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°， ∴满足x+y≥故选B

的概率P=

=

点评： 本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．

二、填空题（4×5分=20分） 13．已知向量=（1，

），向量，的夹角是

，•=2，则||等于 2 ．

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案． 解答： 解：∵||=又∵ 即：∴

故答案为：2

点评： 本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．

14．安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有 42 ．

考点： 计数原理的应用． 专题： 排列组合． 分析： 根据义工A，B有条件，可分A照顾老人乙和A不照顾老人乙两类分析，A照顾老人乙时，再从除B外的4人中选1人；A不照顾老人乙时，老人乙需从除A、B外的4人中选2人，甲从除A外的剩余3人中选2人．

解答： 解：当A照顾老人乙时，共有C4C4C2=24种不同方法；

222

当A不照顾老人乙时，共有C4C3C2=18种不同方法． ∴安排方法有24+18=42种， 故答案为：42． 点评： 本题考查有条件排列组合问题，关键是正确分类，是基础题．

15．已知x＞0，y＞0，且＜m＜2 ．

考点： 函数恒成立问题． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先把x+2y转化为（x+2y）

2

2

1

2

2

，若x+2y＞m+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ﹣4

2

展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根

据x+2y＞m+2m求得m+2m＜8，进而求得m的范围． 解答： 解：∵

2

，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8

∵x+2y＞m+2m恒成立，

2

∴m+2m＜8，求得﹣4＜m＜2 故答案为：﹣4＜m＜2． 点评： 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．

16．如果一个实数数列{an}满足条件：

（d为常数，n∈N），则称这一数列“伪

*

等差数列”，d称为“伪公差”．给出下列关于某个伪等差数列{an}的结论：①对于任意的首

项a1，若d＜0，则这一数列必为有穷数列；②当d＞0，a1＞0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，伪公差为3，可

*

以是这一数列中的一项；n∈N⑤若这一数列的首项为0，第三项为﹣1，则这一数列的伪公差可以是

．其中正确的结论是 ①③④ ．

考点： 数列递推式． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 通过

=an+d会随着n的增大而减小，易知①正确；通过an+1=±

可知②

不正确；不妨取伪公差d=0即得这一数列是周期数列故③正确；通过代入计算可知④正确；通过首项及平方≥0即得⑤不正确． 解答： 解：①∵伪公差d＜0，∴

=an+d会随着n的增大而减小，

（d为常数，n∈N），

*

易知这一数列必为有穷数列，故正确； ②当d＞0，a1＞0时， ∵an+1=±

，

∴这一数列不是单调递增数列，故不正确；

③易知当伪公差d=0时，这一数列是周期数列，故正确； ④∵a1=1，d=3， ∴a2=±

=±2，

，故正确；

∴当a2=2时a3=±⑤∵a1=0，a3=﹣1， ∴

=a1+d=d，

∴d≥0， 而

＜0，故不正确；

综上所述：①③④正确，②⑤不正确， 故答案为：①③④． 点评： 本题考查考查数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．

三、解答题（共70分）

2

17．设函数f（x）=ax+（b﹣2）x+3（a≠0） （1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值； （2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．

考点： 一元二次不等式的解法；基本不等式． 分析： （1）由不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；

解答： 解：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由

根与系数的关系可得，解得

（2）f（1）=2得a+b=1， ∵a＞0，b＞0 ∴（a+b）（∴

）=5+

=5+2

≥9

的最小值是9

点评： 此题考查了不等式的解法，属于基础题

18．已知函数

，

（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；

（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点

成等差数列，且

，求a的值．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质；解三角形．

分析： （1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f（x）的周期，利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；

（2）通过函数f（x）的图象经过点abc的关系，利用解答： 解：

成等差数列，求出A以及列出

，求出bc的值，通过余弦定理求a的值．

=…（3分）

，…（4分）

可解得：

，

（1）最小正周期：由

所以f（x）的单调递增区间为：（2）由

可得：

； …（6分）

∴，…（8分）

又∵b，a，c成等差数列， ∴2a=b+c，…（9分） 而

∴bc=18 …（10分） ∴

，

，

∴．…（12分）

点评： 本题考查三角形的解法，两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，基本知识的考查．

19．从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5． （1）求图1中a的值；

（2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S； （3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图． 专题： 图表型；概率与统计；算法和程序框图． 分析： 解：（1）依题意，利用频率之和为1，直接求解a的值．

（2）由频率分布直方图可求A1，A2，A3，A4，A5的值，由程序框图可得S=A2+A3+A4，代入即可求值．

（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，可求事件A中包含的基本事件共4种，从而可求得P（A）． 解答： 解：（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1 解得：a=0.005

（2）A1=0.005×10×20=1，A2=0.040×10×20=8，A3=0.030×10×20=6，A4=0.020×10×20=4，A5=0.005×10×20=1

故输出的S=A2+A3+A4=18

（3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，

则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3），

（x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10种， 记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A， 则事件A中包含的基本事件为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4种 所以可得：P（A）=

=．

即从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为

点评： 本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，属于中档题．

20．某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销（每人至多抽奖一次），设了金奖和银奖，奖券共2000张．在某一时段对30名顾客进行调查，其中有的顾客没有得奖，而得奖的顾客中有的顾客得银奖，若对这30名顾客随机采访3名顾客．

（1）求选取的3名顾客中至少有一人得金奖的概率；

（2）求选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率．

考点： 古典概型及其概率计算公式；互斥事件的概率加法公式． 专题： 概率与统计．

分析： （1）先求出个奖项的人数，再根据互斥事件的公式计算即可；

（2）设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x，y，z，得到选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件：B0：x=0和B1：x=1，y=1，z=1或x=1，y=2，z=0，分别求出P（B0），P（B1），问题得以解决． 解答： 解：（1）依题意得，在接受采访的30人中，没有得奖的人数为人数为10，得银奖人数为

，得金奖人数为4，

，得奖

设三人中至少一人得金奖为事件A，则，

∴，

（2）设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x，y，z， ∵x≤y，x+y+z=3，

∴选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件：B0：x=0和B1：x=1，y=1，z=1或x=1，y=2，z=0， ∴

，P（B1）=

=

，

∴．

点评： 本题考查了互斥事件的概率公式，以及古典概型的概率问题，关键是对于排列组合的应用，属于中档题．

21．已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．

（Ⅰ）求q的值和{an}的通项公式；

（Ⅱ）若下图所示算法框图中的ai即为（I）中所求，回答以下问题： （1）若记b所构成的数列为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn （2）求该框图输出的结果S和i．

*

考点： 程序框图；数列的求和． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．

分析： （I）由a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，可解得即a4﹣a2=a5﹣a3，即a2（q﹣1）=a3（q﹣1）．又q≠1，解得a3=a2=2，从而解得q=2，分情况讨论即可得解{an}的通项公式；

（Ⅱ）由（I）得b式相减，整理得Sn=4﹣数列{Sn}单调递增，结合

，又

．设{bn}的前n项和为Sn，则可求Sn，Sn，错位两

，n∈N恒成立，既得

，从而得解．

*

解答： 解：（I）由已知，有2（a3+a4）=（a2+a3）+（a4+a5），即a4﹣a2=a5﹣a3，所以a2（q﹣1）=a3（q﹣1）．又因为q≠1，故a3=a2=2，由a3=qa1，得q=2． 当n=2k﹣1（k∈N）时，an=a2k﹣1=2当n=2k（k∈N）时，an=a

*

*

k﹣1

=2．

；

所以，{an}的通项公式为an=

．

（Ⅱ）由（I）得bSn=1×Sn=1×

．设{bn}的前n项和为Sn，则

，

，

上述两式相减，得Sn=1

=﹣=2﹣﹣，

整理得，Sn=4﹣

．

，n∈N， ，n∈N恒成立

．

．

**

所以，数列{bn}的前n项和为4﹣又

所以数列{Sn}单调递增，又所以输出的结果：

点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，数列通项公式及数列求和的解法，综合性较强，属于基本知识的考查．

22．已知数列{an}满足a1=a（a∈N）．a1+a2+…+an﹣pan+1=0（p≠0，p≠﹣1）n∈N）． （1）数列{an}的通项公式；

*

*

（2）对每一个正整数k，若将ak+1，ak+2，ak+3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为dk．求p的值及相应的数列{dk}．

考点： 数列递推式；等差数列的性质． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： （1）根据数列的递推关系利用作差法结合等比数列的定义即可求数列{an}的通项公式；

（2）求出ak+1，ak+2，ak+3的表达式，结合等差数列的定义建立方程关系进行求解即可． 解答： 解：（1）因为a1+a2+…+an﹣pan+1=0，所以n≥2时，a1+a2+…+an﹣1﹣pan=0，两式相减， 得

，故数列{an}从第二项起是公比是

的等比数列．

又当n=1时，a1﹣pa2=0，解得（2）由（1）得

，从而，

或，

，，

，

；

，此时无解； 或，

，

，

．

．

若ak+1为等差中项，则2ak+1=ak+2+ak+3，即解得

，此时

k﹣1

注意到（﹣2）与（﹣2）异号，所以

k

若ak+2为等差中项，则2ak+2=ak+1+ak+3，即若ak+3为等差中项，则2ak+3=ak+1+ak+2，即解得注意到综上所述，

，，此时

与

同号，所以或

，

．

．

点评： 本题主要考查数列通项公式的求解，利用等差数列和等比数列的定义和通项公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．