专题22 圆的基本性质

 教学内容 一、【中考要求】 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系；探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，了解三角形的外心。 二、【三年中考】 1．如图⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝________度． 解析：考查同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍． 答案：80 2．如图⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于C，则OC的长等于________． 1解析：连结OA，根据垂径定理AC＝AB＝4，∴OC＝OA2－AC2＝52－42＝3. 2答案：3 3．下列命题中，正确的是( ) ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等( ) A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 解析：根据圆周角定理及其推论可判断③④⑤是正确的． 答案：B 4．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是( ) A．AE＝OE B．CE＝DE 1C．OE＝CE D．∠AOC＝60° 2解析：根据垂径定理当AB⊥CD时，AB平分弦CD，即CE＝DE. 答案：B 5．已知⊙O的半径为5，弦AB的弦心距为3，则AB的长是( ) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：数形结合法，考查垂径定理． 答案：D 6．如图，AB是⊙O的直径，C是 BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.

(1)求证：CF＝BF； (2)若CD＝6，AC＝8，则⊙O的半径为________，CE的长是________． 证明：(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°. ∴∠2＝90°－∠CBA＝∠A. 又∵C是弧BD的中点， ∴∠1＝∠D＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴CF＝BF. 24(2)⊙O的半径为5，CE的长是. 5 三、【考点知识梳理】 （一）圆的定义及其性质 1．圆的定义有两种方式 (1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性． ．．．．．．（二）垂径定理及其推论 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 温馨提示： 1. 注意平分弦的直径不一定垂直于弦； 2. 等弧是指能够完全重合的弧，其度数一定相同，但度数相同的弧不一定是等弧。 3. ①过圆心；②平分弦；③垂直于弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项，其中由①②得③④⑤时，被平分的弦不是直径。 （三） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． 2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立． （四）圆心角与圆周角 1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．

2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等； (4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （五）圆的性质的应用 1．垂径定理的应用 用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的． 2．圆心角、圆周角性质的应用 3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用． 温馨提示： 借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等，进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧（或弦）的等量代换。 四、【中考典例精析】 类型一 圆的定义及其性质、定理 (1)如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝24°，则∠BOC＝________. 第(1)题 第(2)题 (2)如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是________． (3)如图是一条直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深处为________米． 第(3)题 第(4)题 (4)如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是________． A．∠A＝∠D B．CE＝DE C．∠ACB＝90° D．CE＝BD 【点拨】本组题主要考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理在选择题、填空题中的应用，本组题在中考题中属常见题． 【解答】(1)48° 在⊙O中，∠BOC＝2∠BAC＝2×24°＝48°.

(2)6 连结OA，在Rt△OAD中，AD＝OA2－OD2＝52－5－12＝3，∴AB＝2AD＝6. (3)0.4 关键构造包含半径、弦心距、弦长一半的直角三角形． (4)D 注意仔细审题，选的是“不成立”的． 类型二 垂径定理、圆周角定理的应用 (1)如图，A、B、C是⊙O上的三点，且A是优弧BAC上与点B、点C不同的一点，若△BOC是直角三角形，则△BAC必是( ) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．有一个角是30°的三角形 D．有一个角是45°的三角形 (2)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm.求直径AB的长． 【点拨】(1)考查圆周角、圆心角关系定理．(2)考查垂径定理． 11【解答】(1)D 在⊙O中，∠BAC＝∠BOC＝×90°＝45°，其余结论依据条件证不出来． 22(2)连结OC、BC，则OC＝OB. ∵弦CD垂直平分OB，∴OC＝BC，∴OC＝OB＝BC. ∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°. 1由垂径定理，得CP＝CD＝3. 2CP在Rt△POC中，tan∠COP＝＝3， OP∴OP＝3，∴AB＝2OB＝4OP＝43(cm)． 方法总结： （1） 用垂径定理进行证明或计算，常做出圆心到弦的垂线段，再利用弦心距和半径组成直角三角形来求解。 （2） 辅助线作法：常作直径的90度的圆周角考虑作它所对的直径。 五、【易错题探究】 1．AB是⊙O的弦，∠AOB＝88°，则弦AB所对的圆周角是________． 【解析】在⊙O中，弦AB所对的圆周角分优弧所对的角和劣弧所对的角两种情况，所以弦AB所对的圆周角是44°或136°. 【易错警示】此题易错在只写出一个解，错因是忽略了一条弦对着两条弧，全面考虑是做题的关键． 2．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝10 cm，CD＝24 cm，求AB与CD之间的距离． 【解析】两条平行弦与圆心有两种位置关系：圆心夹在两平行弦之间(如图①)；圆心在两平行弦同侧(如图②)．

如图①，过点O作ON⊥AB，垂足为N，延长NO交CD于M. ∵AB∥CD，∴OM⊥CD. ∴AN＝BN＝5 cm，CM＝DM＝12 cm. ∴在Rt△OMD和Rt△ONB中， 根据勾股定理得ON＝12 cm，OM＝5 cm， ∴MN＝12＋5＝17(cm)． 同理，如图②所示，MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)． ∴AB与CD间的距离为17 cm或7 cm. 【易错警示】圆是轴对称图形，当题目中没有明确弦的位置时应注意分情况讨论． 六、【课堂基础检测】 1．如图，已知 CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数为50°，则∠C的度数是( ) A．25° B．40° C．30° D．50° 答案：A 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为( ) A．40° B．30° C．45° D．50° 答案：A 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3 cm，则弦CD的长为( ) 3A. cm B．3 cm C．23 cm D．9 cm 2答案：B 4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝________.( )

A．70° B．60° C．50° D．40° 答案：D 5．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为________． 答案：(6,0) 6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD； 3(2)若BC＝3，sinP＝，求⊙O的直径． 5解：(1)证明：∵BD＝BD，∴∠C＝∠P. 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， 即CB∥PD. (2)如图，连结AC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB，∴BC＝BD. ∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP. BC3BC3在Rt△ABC中，sinA＝.∵sinP＝∴＝ AB5AB5又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O的直径为5. 七、【课后达标练习】 一、选择题 1．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O ＝60°，则∠C＝( )

A．20° B．25° C．30° D．45° 11解析：由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得，∠C＝∠O＝×60°＝30°. 22答案：C 2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，则∠BOC的度数为( ) A．20° B．40° C．60° D．80° 解析：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°. 答案：D 3．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC＝50°，则∠CDB大小为( ) A．25° B．30° C．40° D．50° 11解析：∵CD⊥AB，∴AC＝BC，∴∠CDB＝∠AOC＝×50°＝25°. 22答案：A 4．如图，点B、C在⊙O上，且BO＝BC，则∠BAC等于( ) A．60° B．50° C．40° D．30° 11解析：∵BO＝BC，OB＝OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝∠BOC＝×60°＝30°. 22答案：D 5．如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是( ) A．22 B．23 C.5 D．35 1解析：过O作OE⊥AB于点E，则∠AOE＝∠AOB＝60°，AB＝2AE.在Rt△AOE中，AE＝OAsin60°＝3， 2∴AB＝23.

答案：B 6．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 11解析：∠APB＝∠AOB＝×90°＝45°. 22答案：B 37．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径为，AC＝2，则sinB的值是( ) 2 2334A. B. C. D. 3243解析：常见辅助线：构造直径所对的90°圆周角，连结CD，则∠ACD＝90°，在Rt△ACD中， AC222sinD＝＝＝，又∠B＝∠D，∴sinB＝. AD333×22答案：A 8．如图，在⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ.则下列关系中，正确的是( ) A．θ＝α＋β B．θ＝2α＋2β C．α＋β＋θ＝180° D．α＋β＋θ＝360° 解析：连结AO并延长交⊙O于点E，∠BOE＝∠B＋∠BAE＝2α，∠COE＝∠C＋∠CAE＝2β，∴∠BOC＝θ＝2α＋2β. 答案：B 9．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16 cm2，则该半圆的半径为( ) A．(4＋5) cm B．9 cm C．45 cm D．62 cm 解析：设大正方形的边长为2x，则半径为5 x，易得5x＝42＋x＋42，∴x1＝4，x2＝－2(舍去)，∴5x＝45. 答案：C 二、填空题

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的度数是________． 11解析：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°. 22答案：50° 11．如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠B＝22°，则∠A＝________. 解析：因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故∠O＝2∠B＝44°.∵AB∥CO，∴∠A＝∠O＝44°. 答案：44° 12．如图，⊙O中，MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN＝________. 1解析：∵MAN的度数为320°，∴MN的度数为40°，∴∠MAN＝×40°＝20°. 2答案：20° 13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是BC的中点，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，则∠ABD的度数是________． 1解析：连结OD，∵OB＝OD，∠BOD＝∠BOC＝60°，∴∠OBD＝60°.又∠AOB＝98°，OA＝OB，∴∠OBA＝241°.∴∠ABD＝∠OBA＋∠OBD＝41°＋60°＝101°. 答案：101° 14．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠C＝70°，则∠BOD的度数是________度． 解析：连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∠C＝70°，∴∠DBC＝20°.又∠ABC＝60°，∴∠ABD＝40°.∴∠BOD＝180°－2∠ABD＝180°－2×40°＝100°. 答案：100 三、解答题 15．如图，AB、AC为⊙O的弦，连结CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C.

求证：CE＝BF. 证明：∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC. 又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，∴△EOB≌△FOC. ∴OE＝OF，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF.