实变函数教材

目 录

1．数论的内容 … … … … …3 2．实变函数论的特点 … … … … …4 3．学习实变函数论的方法 … … … … …5 4．本教材的特色处理之处 … … … … …5

第一章 集合论

§１.１ 集合概念与运算 … … … … 6 §１.２ 集合的势、可数集与不可数集 … 13 习 题 … … … 25

第二章 点 集

§２.１ R空间 … … … … 26 §２.２ 几类特殊点和集 … … … …30 §２.３ 有限覆盖定理与隔离性定理 … …35 §２.４ 开集的构造及其体积 … …38 习 题 … … … …45

第三章 测度论

§３.１ Lebesgue外测度定义及其性质… … 46 §３.２ 可测集的定义及其性质… … … … 48 §３.３ 可测集的构造 … … … … 55 习 题 … … … … 59

第四章 可测函数

§４.１ 可测函数定义及其性质… … … …59 §４.２ 可测函数的结构 … … … … 63 §４.３ 可测函数列的依测度收敛… … …70 习 题

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第五章 Lebesgues积分理论

§５.１ Lebesgue积分的定义及其基本性质… …77 §５.２ Lebesgue积分的极限定理 … … 84 §５.３ (L)积分的计算 … … 88 §５.４ Fubini定理 … … … … 93 习 题 … … … … 98

第六章 积分与微分

§６.１ 单调函数与有界变差函数 … … … 101 §６.２ 绝对连续函数 … … … … 106 §６.３ 微分与积分 … … … … 108 习 题 … … … …112 附 录

1．不可测集 … … … … 113 2.一般集合的抽象测度和抽象积分… … … 115 3.单调函数的可微性

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绪 论

1.实变函数论的内容

顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。

何以说明现有的积分范围小了呢？因为

0 x为无理数时1 x为有理数时D(x)＝

这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。

如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析知：对任意分划T：a＝x0＜x1＜x2＜......＜xn=b， 由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有：

S(T,D)－s(T,D)≡1－0=1

如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差

任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更加灵活，

从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即

D:E＝i1E[yi1fnＳ(D,f)-s(D,f)=

i1n[y-y

ii1]mE[y

i1maxmaxfmE[yi1f思路非常简单，但实现起来并非易事，因为E[yi1fn精品资料 欢迎下载

章内容)。那么哪些函数才能保证形如E[yi1f有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大（小）和

Ｓ(D,f)＝然后规定

i1nymE[y

ii1f以上所述，既是Lebesgue创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。

鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。结合Riemann积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我们作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象Dinichni函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。

2.实变函数论的特点

由以上叙述可以看出《实变函数论》内容单纯，学习起来应该简单，然而实际情况却大相径庭，各届同学都叫困难。原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性强。

抽象到什么程度呢？仅据两例说明之： 一是“似是而非”。

例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能：或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与实数一样多。

二是“似非而是”

例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，

而《实变函数论》通过严密论证该结论无可非议。

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理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因。

3.学习实变函数论的方法

针对实变函数论的特点，学习它应有本门课程独特的方法。

由于实变函数论高度抽象，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例１、例２类似的错误；对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，想象其合理的直观意义。只有理解其证明才能借鉴其方法，同时也只有想象其合理的直观意义，才能有开阔的思路，即严密与直观二者不可偏废。

４．本教材几点特色处理

①在过去“区间体积”概念和“开集构造”理论基础上，引入了开集体积概念，为简化测度定义奠定了基础。

②用mE=inf {|G|｜Ｇ开且GE}取代mE=inf {

***|Ii1i|｜

Ii1iE}不仅使测度概念形式上

得到简化、直观化，更重要的是使得诸如mＩ=｜Ｉ｜等一系列命题的证明过程得到大大简化。 ③将大部分教材留到讲Ｆubini定理时才讲的乘积空间的测度，提前到紧接着测度的概念和性质讲，以保证在讲可测函数时能证明可测函数的下方图形可测，从而最终保证直接用非负可测函数下方图形的测度规定其积分值。

④直接用正、负部函数下方图形的测度之差规定积分值，不仅使得积分概念简单、直观、明了，让学生易于接受。同时也使得诸如并集积分等于各集积分求和、Levi定理等一系列命题的证明过程得到大大简化。

⑤在本教材中不依赖Ｒiemann积分定义，直接从Lebesgue积分定义出发证明计算积分的重要工具牛顿——莱布尼兹公式，为将来实现Lebesgue积分取代Ｒiemann积分的大趋势作必要的准备。同时也面对现在学生确实学了Ｒiemann积分的事实，研究了Ｒiemann积分和广义Ｒiemann积分与Lebesgue积分关系。

⑥将“不含端点的区间为开区间，包含所有端点的区间为闭区间”一般化为“不含边界点的集合为开集，包含所有边界点的集合为闭集”，从而使概念直观化，学生易于理解其实质，开集与闭集的对偶性等定理证明被简化、思路直观化。

如在引入依测度收敛时，先讲“改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对(R)积分而言，

积分与极限交换顺序需要一个苛刻的条件：‘fn(x)在E上一致收敛于f(x)’。从集合论的角度讲：‘fn(x)在E上一致收敛于f(x)’是指 σ＞0，ョN0＞0，当n＞N0时，

⑦既注重知识的传授，又注重数学创新思维方法的挖掘和点拨。在此举仅部分例子说明之。

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E[|fn(x)－f(x)|≥σ]＝φ，之所以我们认为‘一致收敛’条件苛刻，就在于它要求E[|fn(x)－f(x)|≥σ]从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足mE[|fn(x)－f(x)|≥σ]→0(n→＋∞)呢？ 这就导致了依测度收敛这个新概念的产生”。展示了数学创新过程中一些重要的新概念引入之思维方法。

n处处n又如在引入叶果落夫定理时，通过实例f(x)=x0于01，却不一致收敛出发究其原因是

自变量越靠近0越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但不难看出，只要挖去一个以1为右端点的小区间（1-δ，1）后就有收敛最慢点x=1-δ了，从而可以保证一致收敛了。著名的数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）发现任何可测函数都有类似结果，这就是著名的叶果落夫定理。展示了数学中一些重要结果的发现来源于常见简单离子的启发，即将特例抽象化、一般化后就会得出重要的带普遍性的结果。

再如对Lebesgue积分定义，先在绪论中指出Riemann积分的弊病，分析了产生弊病的原因，提出了解决此弊病的方法，即对Lebesgue改造积分定义的思路概括性作了介绍，当我们在第五章通过几何意义直接定义Lebesgue积分时，唯恐掩盖Lebesgue原始创新思路，及时指出“mG(n,E)便

n2n1是f在分划T:E＝

nk1E下的小和s(f,T

kn)，即Efd＝

xlimnmG

(n,E)＝ns(f,Tn)。这与定义(R)

lim积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。

n本章先介绍R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造。最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理、距离可达定理、隔离性定理。

§２.１ R空间

数学分析中的极限概念是以距离为基础的，由此可见，距离是一相当重要的概念，在高等代数中已对R规定过距离，且有以下三种：

设x＝(ξ1,ξ2,...,ξn)，y＝(η1,η2,...,ηn)∈R

nnn d1(x,y)＝[

2i1n(ξi-ηi)]

212 d(x,y)＝1in|ξi-ηi|

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d(x,y)＝

3i1n|ξi-ηi|

距离的定义方法可以是多种多样的，甚至对抽象的集合也可以规定距离，但必须满足常识性的两点基本要求：距离不能为负，两边之和不小于第三边。用公理化形式表述如下：

定义２.１.１ 设X是一非空集合，且存在d：X×X→[0,∞)满足 1) d(x,y)≥0，且d(x,y)＝0 <＝> x=y (正定性) 2) d(x,y)≤d(x,z)＋d(y,z) (三角不等式)

则称(X,d)为度量空间或距离空间，X中的元素称为点，d(x,y)为点x,y之间的距离。

注２.１.１ “往返距离相等”的基本要求，也隐含在上述定义之中了。 事实上，d(x,y)≤d(x,x)＋d(y,x)＝d(y,x)，同理d(y,x)≤d(x,y),故d(x,y)＝d(y,x) 上述R按所规定的三种距离都分别成为距离空间（高代已验证过满足1），2））。

n 例２.１.１ ＝{(ξ1,ξ2,...,ξi,...)|

12n2i1n2i＜+按d(x,y)＝[

i1(ξi-ηi) ]] 成为距离空

2122间．其中x＝(ξ,ξ,...,ξ,...)，y＝(η,η,...,η,...)∈

12满足1)显然，对2)只须验证对任意的x＝(ξ1,ξ2,...,ξn,...)，y＝(η1,η2,...,ηn,...)，z＝(ζ1,ζ2,...,ζn,...)有

[

i1(ξi-ηi) ]≤ [

n212i1 (ξi-ηi) ]＋ [

212i1 (ξi-ηi) ]

212事实上，由R中的三角不等式:

[

i1n (ξi-ηi) ]≤ [

212i1n (ξi-ηi) ]＋ [

212i1n (ξi-ηi) ]

212令n→＋∞即得所证不等式。

max例２.１.２ C[a,b]按d(x,y)＝atb|x(t)-y(t)|成为距离空间。容易验证它满足距离条件1)、2)。

有了距离概念就可以仿照数学分析定义数列极限那样定义点列极限了。 定义２.１.２ 设P∈R (m＝1,2,3,...)，如果

mnm

lim

d(Pm,P0)＝0，则称点列{Pm}收敛于P0，

lim记为m Pm＝P0,或 Pm→P0 (m→＋∞)，即对任意ε＞0，存在N，当m＞N时有：d(Pm,P0)＜ε.

在距离空间(R,d1)中Pm→P0 (m→＋∞)<＝>xmk→x0k(m→＋∞)，k=1,2,...,n，

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其中Pm＝(xm1,xm2,...,xmn)，P0＝(x01,x02,...,x0n).

同样可以利用邻域来描述极限，为此，先引入邻域概念。. 定义２.１.３ 称集合{P|d(P,P0)＜δ}为P0的δ邻域，并记为

U(P0,δ)。P0称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为P0的邻域，并记为U(P0)。

在R (n＝1,2,3)中，v距离按d1定义时，所谓以P0为中心，δ为半径的邻域分别是P0为中点、 2δ为长度的开区间；P0为圆心、δ为半径的开圆；P0为球心，δ为半径的开球。但距离按d2定义时，所谓以P0为中心，δ为半径的邻域分别是P0为中点、 2δ为长度的开区间，P0为正方形中心、2δ为边长的开正方形，P0为正方体中心，2δ为边长的开正方体。

不难看出：点列{Pm}收敛于P0的充分必要条件是对任意ε＞0，存在N，当m＞N时有：Pm∈U(P0)。

容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) p∈U(P)；

2) 对于U(P1)和U(P2)， 如果存在P∈U1(P)∩U2 (P) 则存在U3(P) U1(P)∩U2 (P)；

3) 对于Q∈U(P)，存在U(Q)U(P)；

4) 对于Q≠P，存在U(Q)和U(P)满足U(Q)∩U(P)＝ф

n 定义２.１.４ 两个非空的点集A、B间的距离定义为

pA,qB d(A,B)＝

infd(P,Q)

如果A、B中至少有一个是空集，则规定d(A,B)＝0；若B＝{x}，则记d(A,B)＝d(A,x)。 显然，若A∩B≠ф，则d(A,B)＝0。

定义２.１.５ 一个非空的点集E的直径定义为：

supδ(E)＝

p,qEd(P,Q)

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当E＝ф时，规定δ(ф)＝0。显然，δ(E)＝0<＝>E至多只有一个元素。 若δ(E)＜＋∞，则称E为有界集。

定义２.１.６ 称｛(x1,x2,...,xn)｜xi∈Ai,i=1,2,...,n｝为集合Ai的直积，记为A1×A2×...×An或

i1nAi。

定义２.１.６ 若I＝

ni1nIi，其中Ii＝为直线上的区间，则称 I为n维欧氏空间

R中的区间；如果所有Ii都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称I是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的I i都是直线上的有界区间，则称I是R中的有界区间；如果至少有一个Ii是直线上的无界区间，则称I是R中的无界区间。

注２.１.２ R中的有界区间即矩形，R中的区间即长方体，因此R中的区间有时也称为“长方体”。

显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间IE或E为有界集的充要条件是存在有界邻域 E0U(x0,δ)

23nnn定义２.１.７ I＝

i1nIi，其中Ii＝，称

|I|＝

i1n(b－a)为区间I的“体积”，即|I|＝

iii1n|Ii|。当然，这里须约定0×∞＝∞×0＝0，当a≠0

时，a×∞＝∞×a＝∞。

注２.１.３ R中的区间体积即区间的长度，R中的区间体积即矩形面积＝长×宽，R中的区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定R中的区间体积＝n个边长的乘积，既是合理的又是自然的。

§２.２ 几类特殊点和集

本节试图抓住直线上的开区间、闭区间及其点的基本性质，予以一般化。 对 ER，我们可以通过看是否有x的完整邻域含于E中将R中点x分为三类：

nnn123精品资料 欢迎下载

a. U(x,)满足U(x,)Eb. U(x,)满足U(x,)E,U(x,)CEc. U(x,)满足U(x,)CE

0 定义２.２.１ 我们称a类点为E的内点，记其全体为E；b类点为E的边界点，记其全体为E；c类点为E的外点。

显然外点全体为(CE)，R＝E∪E∪(CE)

0n00

（图２.２.１）

如图２.２.１所示：M1是E的内点，M2、M3、M4、M5是E的边界点，M6是E的外点。 注２.２.１：E 的边界点既有可能属于E(如M2、M3、M5)，又有可能不属于E(如M4)。

注２.２.２：E 的边界与CE的边界相同，即E＝(CE)

注２.２.３：不受“[a,b]的边界只有a,b两点 ”这个具体结论的直观约束而得出错误的一般结论：“E的边界E相对集合E而言只是很少一部分”。事实上，直线上的有理数全体的边界是整个实数集。

nn 对 E R，我们也可以通过看x的邻域含E中点的多少将R中点x分为三类：

e. 对0,U(x,)E{x}f. U(x,)满足U(x,)E{x }g. U(x,)满足U(x,)E (显然此类点即外点)

定义２.２.２ 我们称e类点为E的聚点(或极限点)，记其全体为E'，并称为E的导集；f

类点为E的孤立点，显然其全体为E-E'。

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即R＝E'∪(E- E')∪(CE)

在图２.２.１中，M1、M2、M3、M4是E的极限点，M5是E的孤立点。

按第一种分类法的内点，是第二种分类法的聚点，按第一种分类法的边界点，按第二种分类

n0法既有可能是聚点如M2、M3、M4，又有可能是孤立点如M5。同样按第二种分类法的孤立点，是第一种分类法的边界点，按第二种分类法的聚点，按第一种分类法既有可能是内点M1，又有可能是边界点M2、M3、M4。对外点而言，两类分类方法所指的概念是完全一致的。 “极限点”中的“极限”二字体现在何处，“聚点”中的“聚”字体现在哪里呢？下述两个定理将对此作出解释。

定理２.２.９： x∈E'<＝>ョ互异点列xn∈E，xn≠x，且xn→x(n→＋∞)

1证明 “＝>”因为x∈E'，所以对δn＝min{n,d(x,xn1)}，存在xn∈U(x,δn）∩E－{x}，显然

xn∈E互异，xn≠x，且xn→x(n→＋∞)。

“<＝”若ョxn∈E，且xn≠x，但xn→x(n→＋∞)，则对任意δ>0，存在N，当n＞N时，xn∈U(x,δ)∩E－{x}，故x∈E'。

证毕

即之所以称x为E的“极限点”的原因是：x可以表成E中一串异于x的点列xn的极限。 定理２.２.１０： x∈E'<＝> δ＞0，U(x,δ)∩E为无限集。 证明 “<＝”显然。

“＝>”因为x∈E'，所以ョxn∈E，且xn≠x，但xn→x(n→＋∞)，则对任意δ＞0，存在N，当n＞N时，xn∈U(x,δ)∩E－{x}，故U(x,δ)∩E为无限集。

证毕

即之所以称x为E的“聚点”的原因是：在x 的任意一个小邻域内都“聚集”着E的无限多个点。 定义２.２.３ 若对 δ＞0，U(x,δ)∩E≠ф，则称x为E的接触点。接触点全体记为E，并称E为E的闭包。

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显然，E＝E∪E＝E'∪｛x｜x为E的孤立点｝＝E'∪E

0_ ＝E'∪E＝E∪E＝c(cE)

0 在数学分析中要看一个区间是开或闭，只须看它是否将作为边界的两个端点包含在内，对于R中一般的集合是开或闭也以是否包含边界集作为判断依据，于是我们给出如下定义。

定义２.２.４ 若E∩E＝φ，则称E为开集；若EE，则称E为闭集。

例２.２.１：直线上的开区间，平面上的开圆盘皆为开集，直线上的闭区间，平面上的闭圆盘皆为闭集。(a,b]既不是开集，又不是闭集。全直线既是开集又是闭集。

定理２.２.１ 1) E为开集<＝>EE

0n 2) E为闭集<＝>E'E

证明 1)“＝>”因为E开，所以E∩E＝φ，故EE

0 “<＝”因为EE，所以E∩E＝φ，故E为开集。

0 2) “＝>”因为E为闭集，所以E E，而E'E∪EE,从而E'E ; “<＝”若E'E，则E E'∪｛x｜x为E的孤立点｝E，故E是闭集。 定理２.２.２ 对 ER，E为开集。

n0 证明 对 x∈E，ョδ＞0，U(x,δ)E，对y∈U(x,δ)，ョδ1＝δ－d(x,y)＞0，对

0 z∈U(y,δ1)，d(x,z)≤d(x,y)＋d(y,z)＜δ，即Z ∈U(x,δ) E，即y∈E0，从而U(x,δ) E0，即

0000E (E)，故E是开集。

定理２.２.３：(开集与闭集的对偶性) 1)若E为开集，则CE为闭集；2)若E 为闭集，则CE为开集。

证明 1) 因为E是开集，所以E∩E＝ф，则E＝CE CE，故CE是闭集。 2) 因为E是闭集，所以E E，而E＝CE，CE∩CE＝ф，故CE是开集。 证毕 定理２.２.４ 1)R、φ是开集

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2)任意有限个开集之交是开集 3)任意多个开集之并是开集 证明：1)、3)显然

2)设E为开集(i=1,2,3,...,n)，对任意x∈i1Ei，则x为每一个Ei的内点，即存在δi满

inminiiiii1E，即x为i1E的内点，故i1Ei为开集。足U(x,δ)E，令δ＝ 1inδ，则U(x,δ)

innn若

i1nE＝ф，则i1Ei也是开集。

in 证毕

注２.２.４：不仅R中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理。

定理２.２.５： 1) R、φ是闭集 2) 任意有限个闭集之并是闭集 3) 任意多个闭集之交是闭集 证明： 1) 显然

nn 2)要证i1E是闭集，只须证Ci1E是开集，而ci1E＝i1cEi

iiinnnn因为E是闭集，所以由定理２.２.３知cE是开集，

iii1ncE是开集，故i1Ei是闭集。

in 3)同理可证。

证毕

因为E、(CE)开，所以E＝C[E∪(CE)]闭集。

0000 定理２.２.６： 对任意集合E，E是闭集。 证明：由E＝C[(CE)]即得。 定理２.２.７：E为闭集<＝>E＝E 证明

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“<＝”由定理２.２.６即得。

“＝>”因为E是闭集，所以EE，即E＝E∪E＝E .

证毕

定义２.２.５ 若EE'，则称E为自密集；若E'＝E则称E为完备集。 显然，自密集即是没有孤立点的集合，完备集即是没有孤立点的闭集。 定理２.２.８ 对 ER，E'为闭集。

n_ 证明 只须证G＝C(E')是开集，事实上：对 x∈C(E')＝G，即xE',则ョδ＞0满足 U(x,δ)∩E'－{x}＝ф，对 y∈U(x,δ)(y≠x)，ョ

δ1＝min{δ-d(x,y)，d(x,y)}＞0，U(y,δ1)U(x,δ)满足U(y,δ)∩E'－{y}＝ф，即yE'，所以y∈CE'＝G，即U(x,δ) G，故G是开集，从而E'为闭集。

证毕

§２.３ 有限覆盖定理与隔离性定理

是否每一个集合都有极限点呢？

定理２.３.１ (Weierstrass聚点原理) 设E为R中有界无限集，则E'≠ф。

证明 取互异点列M＝(x，x,...,x)∈E，由于E有界，所以｛Mk｜k=1,2,...｝有界，从

kk1k2knn而｛x｜k=1,2,...,...｝是有界集， 由数学分析中已证明的直线上的聚点原理知：ョx及x的子列x→x。这时M满足第一个坐标收敛，对于第二个坐标x可能不收敛，但有界，由直线上

kik101k1ki101ki2的聚点原理知：ョx及x的子列x→x，则Mki满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下去，第n次找到的子列MM0为E中的聚点。

证毕

推论２.３.１ 有界点列必有收敛子列。

作为聚点原理的应用，可以证明著名的Borel有限覆盖定理和距离可达定理。

m02ki2ki202便满足所有坐标都收敛，即M

m →M。其中M＝(x,x,...,x)，即

0001020n 定理２.３.２ (Borel有限覆盖定理) 设开集族{U|α∈I}是一有界闭集F的覆盖，即

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FIU则在此开集族中存在有限个开集{U|i=1,2,...,n}同样覆盖F，即 F  i1U

iin 引理２.３.１ (Lindloff可列覆盖定理)：设开集族{U｜α∈I}(这里I至少为可数集)是R

n中一有界闭集F的覆盖，即FIU，则存在其中的可数个开集同样覆盖F，即F i1U

i 证明 对任意x∈F，存在Ux满足x∈Ux，而对Ux存在有理坐标点px， 及半径rx满足x∈U(px，rx) Ux(事实上，>0，U（x，） Ux,取有理坐标点px∈U（x，3），23< rx<3即可)，由定理１.２.６知：{U(px，rx)|px，rx∈Q,x∈F}全体为至多可数集。从而可以简记为Ui，由U(px，rx) 的选取方法可知：存在相应的Ui满足Ui Ui,

于是 F i1Ui

i1Ui

定理２.３.２的证明：即在已知

F 

i1Ui

的条件下证存在n满足

Fi1nUi

若不然，则对任意n，存在x满足x∈F-nni1nUi，由聚点原理知存在x0及xni满足

xni→x0 (ni→∞)，又因为F是闭集所以x0∈F，从而存在Ui0满足x0∈Ui0， 于是存在M，当ni＞M时有xni∈Ui0；另一方面，对任意ni＞i0，xniUi0, 矛盾。

定理２.３.３ (距离可达定理)设A、B为互不相交的非空闭集，且至少有一个有界，则存在x0∈A，y0∈B使得d(x0,y0)＝d(A,B)＞0。

证明 由集合距离的定义知：存在xn∈A，yn∈B使得

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d(A,B)＜d(xn,yn)＜d(A,B)＋xni→x0∈A，因为

1n，不妨假定A有界由聚点原理知存在x0及xni满足

1d(x0,yni)＜d(x0,xni)＋d(xni,yni)＜d(x0,xni)＋d(A,B)＋ni，

所以这时{yni}有界，又由聚点原理知存在y0及ynij满足ynij→y0， 于是存在x0∈A，y0∈B使得d(x0,y0)d(A,B)，d(x0,y0)＝d(A,B)。

推论２.３.２ 设A为非空闭集，则对 x∈R，ョx0∈A满足d(x,A)＝d(x,x0).

n 证明 若x∈A，取x0＝x∈A即可。若x∈A，令B=｛x｝有界闭，由定理２ .３.３即得。

n 定义２.３.１ 设A、BR，若存在开集U1，U2满足U1∩U2＝ф，且AU1，BU2，则称A、B是可隔离的。

定理２.３.４ (隔离性定理) A、B是可隔离的<＝>A∩B＝ф, A∩B＝ф.

证明 “＝>”反证：若不然，不妨假定ョx∈A∩B，由于A、B 是可隔离的，所以存在开集

0____U1，U2满足U1∩U2＝ф，且AU1，B U2，由x0∈B得x0∈U2，而x0∈A，则存在点列xn∈AU1满足xn→x0，因为U2开，所以ョN 当n＞N时 xn∈U2与U1∩U2＝ф相矛盾，故

____A∩B＝ф,同理A∩B＝ф。

“<＝”因为A∩B＝ф，A∩B＝ф，所以由推论２.３.２知：对 x∈A有d(x, B)＞0，y∈B

____有d(A,y)＞0，于是令r＝d(x, B)，ry＝d(A ,y)，U1＝xAxryrxU(x,2)，U2＝yBU(y,2)即可。

显然U1，U2是开集，且AU1，BU2 剩下的只须证：U1∩U2＝ф。若不然，ョz∈U1∩U2，

rx0ry0则ョx0∈A，y0∈B d(z,x0)＜2，d(z,y0)＜2，不妨设

r。＝max｛r。,r。｝，则r。＝d(x,B)

xxy_x0精品资料 欢迎下载

≤d(x0,y0)≤d(x0,z)＋d(z,y0)＜rx。，矛盾。

推论２.３.３ 若A、B均为闭集，且A∩B＝φ，则ョ开集U1，U2满足U1∩U2＝φ，且AU1，BU2。

推论２.３.４ 若d(A,B)＞0，则ョ开集U1，U2满足 U1∩U2＝φ，且AU1，BU2。

§２.４ 开集的构造及其体积

开区间是开集，开集不一定是开区间，但开集与开区间有着密切联系。

定义２.４.１ 设G为直线上的开集，如果(a,b) G，且a,bG，则称(a, b)为G的构成区间。这里a，b可以为±∞。

定理２.４.１ 设G为直线上的非空开集，则G 可表为至多可数个互不相交的构成区间的并。反过来，若非空开集G已表为至多可数个互不相交的开区间的并， 则这些区间为G的构成区间。

证明 1 G 的任意两个构成区间要么互不相交，要么完全重合。事实上，若(a1,b1)与(a2,b2)为G的两个不同的构成区间，不妨设a1＜a2，则必然有b1≤a2，否则，a1＜a2＜b1，即a2∈(a1,b1)G，另一方面，(a2,b2)是构成区间，则a2G,矛盾。

2 对任意x∈G，由开集的定义知：存在(α,β)满足x∈(α,β) G， 并将α尽可能往左移，移到第一次出现α令αβ

xxx00G为止，将β尽可能往右移，移到第一次出现β

xxG为止(即

x＝inf{α｜x∈(α,β) G} β＝sup{β｜x∈(α,β) G})便得到构成区间(α

,

)。

事实上，对任意y满足α

x＜y＜x，存在α满足α

xx≤α＜y＜x＜β，且(α,β) G，

x故y∈G，同理对任意满足x＜y＜β不妨假定α

xx有y∈G，即(α

x,β

x)G。还可证α

x，β

xG，若不然，

x∈G，则存在δ＞0，(α

x-δ，α

x+δ) G，于是(α-δ，β) G，这与α

的

定义相矛盾，故α

G，同理β

xG。

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3 G＝ xG(α

0x,β

x) 由1知：构成区间至多可数，从而

0 G＝ iI(αi,βi)（I至多可数） 4

0G＝ iI (αi,βi)（I至多可数）， 且(αi,βi)互不相交，则αi,βi∈G若不然，则存在α

i0∈G，那么必存(α

i1,β

i1)满足α

i0∈(α

i1,β

i1)， 这与已知它们互不相交矛盾。

定理２.４.２ 直线上闭集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互不相交的开区间后剩下的集。

我们将所挖去的开区间称为该闭集的余区间。

由于直线上闭集的孤立点，就是二余区间的公共端点。于是有：

定理２.４.３ 直线上的完备集或是全直线或是从直线上挖去至多可数个互不相交的、且无公共端点的开区间后剩下的集。

例２.４.１ Cantor G0，P0集是按下述方法作出的集合。

第一步：将[0,1]三等分，挖去中间一个开区间，剩下两个闭区间；

第二步：将第一步所剩两个区间各自三等分，并分别挖去各自的中间一个开区间，剩下4个闭区间；

... ... ... ...

第n步： 将第n－1步所剩2剩下2个闭区间；

... ... ... 各步挖区的所有区间之并记为G0，最后剩下的集合记为P0.

nn1区间各自三等分，并分别挖去各自的中间一个开区间，

显然，G0是开集，P0是闭集。一方面，由于G0中各区间相互无共同端点，且与(-∞,0)，

1n(1,+∞)也无共同端点，即P0无任何孤立点，故P0是完备集。由于第n 次所剩区间长度为3→0，

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故P0不可能含有任何内点。

关于P0不含有内点，在直觉上容易接受。但P0无孤立点，却难于被初学者理解.不少人的直觉是：“随着挖的次数增多，剩下的集合越来越零散，最后将只剩一些孤零零的区间端点”。为此，我们从集合势的角度展示：P0集是C势集， 远远不止仅有G0中可数个构成区间的端点。

定理２.４.４ P0是C势集。

证明 (1)P0集是三进制[0,1]中那些可以不用数字1表示的数全体( 事实上，第一次挖去的区间正是第一位小数必须出现数字1的小数全体，第二次挖去的区间正是第二位小数必须出现数字1的小数全体，第n次挖去的区间正是第n 位小数必须出现数字1的小数全体，这里0.1因可通过表成数字2的无限循环小数0.2222.....即可回避用数字1，而被保留下来，其他数同理)。也就是说：P0集中的数用三进制表示时具有如下形式：x＝0.a1a2...an...其中an要么为0，要么为2。

(2) 令f:x＝0.a1a2...an...→y＝0.b1b2...bn... 其中

bn＝

an00 1 an2， 则f是三进制表示的P0集与二进制表示的[0,1]之间的一一对应，

即P0集势为C。

证毕

对于二维及其空间的情形，有下述一般性的结论：

定理２.４.５ 设非空开集GR，则G可以表成可数个互不相交的左开右闭的半

n开半闭区间之并。

证明 为了叙述方便，以n＝2的情形为例予以说明。设G为R中的开集，作2族平行线

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kkx＝＋(2),y＝m＋(2)，k=1,2,...；μ,＝1,3...,2k-1)，令

11kkkkI,m,,,k＝｛(x,y)｜+2＜x≤+2,m+2＜y≤m+2＝

由于G是开集，对任意x∈G，ョInx，mx,kx,x,vx (以下简记为Ix)满足

x∈IG，则xGIx＝G，其中Ix，Ix'要么互不相交，要么一个包含另一个，在一个包含另一个的情形，去掉范围小者留下范围大者，即得可数个互不相交的左开右闭的区间。故

x i1Ixi＝Ｇ

证毕

注２.４.１ 分解成左开右闭的区间时一定是可数个不可能是有限个，且分解不唯一。

 定义２.４.２ 若开集G＝i1Ii，其中Ii为互不相交的左开右闭区间,则称|G|＝

i1|Ii|为G的“体积”。

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值得注意的是：要定义合理，必须要|G|有确定意义。必须证明“尽管G的分解不唯一，但分解后的区间长度之和是一常数”，即须在证明下述引理和定理后方能承认其定义。

引理２.４.１ 设I是R中的有界区间，I＝i1Ii，其中Ii为互不相交的左开右

n闭区间，则|I|＝

i1|Ii|

证明 1) 对任意n，ョM及有限个互不相交的区间H满足 I－(i1Ii)＝(j1Hj)

jnm于是|I|－

i1n|I|＝

ij1m｜H｜≤|I|，故

ji1|Ii|≤|I|。

2) 对任意ε＞0，添加有限个包含I的边界的左开右闭区间Ki (i=1,2,...m)满足

j1m_|Ki|＜2，同时将每一个区间Ii适当扩宽范围为包含Ii闭包Ii的开区间Ji，且|Ji|≤|Ii|

＋2i1，最后将Ki和Ｊi拉通统一编号为Wj，则I

_j1Wj而I有界闭，则由有限覆盖定理

_知：

_ョn满足Ij1mWj，则

|I|≤

j1m|W|≤

jj1|W|≤

ji1|Ii|+,

由ε的任意性知|I|≤

i1|Ii|

综合1)、2)即得所证结论。

证毕

定理２.４.６ 若开集G＝i1I＝i1Hj,其中{Ii}、{Hj}各自为互不相交的左开

i右闭区间族，则

i1|I|=

ij1|Hj|

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证明 因为对任意的i，j，Ii∩Hj要么为ф，要么为互不相交的左开又闭的区间，且Ii＝

i1[Ii∩Hj]，于是

i1|I|＝

ii1j1|I∩H|＝

ijj1i1|I∩H|＝

ijj1|Hj|

证毕

例２.４.２ 求Cantor G0集的长度为|G0|。

解 G集的构成区间为(,)，(,)，(,)，…，…所以

01323192979|G|＝1×()＋2×()＋...＋2

013132n1×()＋... ＝1。

13n

第三章 测度论

本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集的性质，最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。

§３.１ Lebesgue外测度定义及其性质

我们在微积分中碰到的函数，都是定义在区间上的，那里的积分，需涉及区间及其子区间的长度，如

baf(x)d＝

xklim0k1nf(ξ

k)|Δ

k|

k其中Δ＝[xk1,xk]，λ＝max|Δ|需涉及[a,b]与[xk1,xk]的长度。

n 因更多的函数往往只定义在一个R中的一般集合上，研究f在E上的积分，必然涉及一般集合E及其子集的“长度”或“体积”。再说， 即使是定义在区间上的函数，如果作分划是将函数值接近的分在一起，就必然遇到求不太规则集合的“长度”或“体积”问题。然而，到目前为止，我们只有开集的“长度”或“体积”概念。因此，需要将现有的区间“长度”或“体积”概念推广到较为一般的集合上去，这就产生了Lebesgue测度理论。

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定义３.１.１ 对任意集合E，称mE＝inf｛|G|｜G开，且GE｝为E的Lebesgue

*外测度。

此定义的基本思想是：对较为规则的集合如区间、开集就规定其“体积”为外测度(此事实将在定理３.１.１的4)和推论３.２.３中得到严格论证)，对于不规则的集合E，试图用盖住E的开集G的“体积”取而代之。然而盖住E的开集G 多种多样，其体积也大小不一，但不应比E的“体积”小。取哪一个最好呢？ 当然是最小者较为合理。由于对无限个数而言，最小值不一定可达，于是取下确界最安全。

定理３.１.１ 任意集合的外测度均满足： 1)非负性 mE≥0

2)单调性 若AB，则mA≥mB

*** 3)次可加性 m

*i1E≤

ii1mEi

*** 4)若d(A,B)＞0，则m(A∪B)＝mA＋mB 5)区间I的外测度满足 mI＝|I| 证明:1)非负性、2)单调性显然。

3)证次可加性，对任意ε＞0及i存在开集GiEi

|G

i**|≤m

*E

i＋

2i

而显然

i1Gii1Ei

m

*i1E≤

ii1|G|≤

ii1mEi＋ε，由ε的任意性。

*知结论成立。

4)只须证当d(A,B)＞0时，mA＋mB≤m(A∪B)。事实上，ョ开集G(A∪B)满足|G|≤m(A∪B)＋ε，由推论２.３.３知：ョ开集U1，U2满足U1∩U2＝ф，且AU1，BU2，

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令G1＝G∩U1，G2＝G∩U2，则G1∩G2＝ф。又因为mA＋mB≤|G1|＋|G2|≤|G|≤m(A∪B)＋ε，由ε的任意性知：

mA＋mB≤m(A∪B) 5)证 mI＝|I|

******** 无论I是开区间、闭区间，任意开集GI，定有|I|≤|G|，故|I|≤mI。 另一方面，

**对任意ε＞0存在开区间G＝II，满足|I|≤|I|＋ε，故mI≤|I|，从而mI＝|I|。

§３.２ 可测集的定义及其性质

由定理３.１.１的4)可知：外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗憾的是：

外测度对一些集合而言无法满足可加性，即人们可构造这样一族互不相交的集合Si(i=1,2,...,N)满足

m[足可加性。

*i1NS]＜n1`mSn，于是我们只有退而求其次，探索可以在什么范围内满

nN* 定义３.２.１ 若对任意T有mT＝m(T∩E)＋m(T∩CE)，则称E为Lebesgue 可测集。简称E可测。并称mE为E的测度，简记为mE。

直观地讲：可测集E是具有良好分割性能的集合，它将任意一个集合分成两部分，一

c****部分在E内即T∩E，另一部分在E外即T∩E，两部分外测度之和恒等于总体T的外测度。显然，这是为了满足测度可加性而作出的重要。

定理３.２.１ E可测<＝>对任意AE，BE有m(A∪B)＝mA＋mB 证明 “＝>”因为E可测，所以对任意AE，BE令T＝A∪B，则 T∩E＝A，T∩CE＝B，故mT＝m(T∩E)＋m(T∩CE)，即 m(A∪B)＝mA＋mB

“<＝”因为对任意AE，BE有m(A∪B)＝mA＋mB，所以对任意T，令A＝T∩EE，B

c*********cc***精品资料 欢迎下载

＝T∩CEE，则由已知得 m(A∪B)＝mA＋mB

即mT＝m(T∩E)＋m(T∩CE)。

定理３.２.２ E可测<＝>CE可测。 证明 因为C(CE)＝E，于是 E可测<＝>mT＝m[T∩E]＋m[T∩(CE)] <＝>mT＝m[T∩C(CE)]＋m[T∩(CE)] <＝>mT＝m[T∩(CE)]＋m[T∩C(CE)] <＝>CE可测。

证毕

定理３.２.３ 设S1、S2均可测，则S1∪S2也可测。如果S1∩S2＝φ，则 m[T∩(S1∪S2)]＝m(T∩S1)＋m(T∩S2)

特别地m(S1∪S2)＝mS1＋mS2 证明 如图３.２.１所示，对任意的集合T， 令A＝T∩[S1-S2]，B＝T∩[S2∩S1]，

***************c***

(图３.２.１)

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C＝T∩[S2-S1]，D＝T－S1-S2，则 mT＝m[A∪B∪C∪D]

＝m[A∪B]＋m[C∪D] (因为S1可测) ＝m[A∪B]＋mC＋mD (因为S2可测)

＝m[A∪B∪C] ＋mD (因为S1可测) ＝m{T∩[S1∪S2]}+ m{T∩C[S1∪S2]} 故S1∪S

************2可测。如果S1∩S

*2＝φ，则T∩S1S1，T∩S

*2CS1，由S1可测

知： m[T∩(S1∪S2)]＝m(T∩S1)＋m(T∩S2)

令T＝R，则m(S1∪S2)＝mS1＋mS2

n推论３.２.１ 设S (i=1,2,...,n)均可测，则i1Si也可测。如果

inSi∩Sj＝φ(i，j＝1,2,...,n；i≠j)，则

m

*[T∩(

i1nS

i)]＝

i1nm(T∩Si)

正是此定理及其推论说明了：可测集的测度是真正“体积”概念的推广。 定理３.２.４ 若S1，S2均为可测集，则交集S1∩S2也是可测集。 证明 只须证[S1∩S2]是可测集，而[S1∩S2]＝ S1∪S2 由定理３.２.２知：S1和S2均为可测集，由定理３.１.３知：S1∪S2可测。

cccccccc* 证毕

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推论３.２.２ 若Si(i=1,2,..,n)均为可测集，则交集j1S2也是可测集。 推论３.２.３ 若S1，S2均为可测集，则差集S1-S2也是可测集；如果S1S2，且mS2＜＋∞，则m*[T∩(S1-S2)]＝m*(T∩S1)-m*(T∩S2)。

证明 因为S1-S2＝S1∩CS2，由定理３.２.２和定理３.２.４得S1-S2可测， 且m[T∩S1]＝m[T∩(S1-S2)]＋m[T∩S2]，移项即得

m[T∩(S1-S2)]＝m(T∩S1)-m(T∩S2)

证毕

注３.２.１ 其条件mS2＜＋∞在于保证m[T∩S2]＜＋∞，从而确保移项可实施。

*******n 定理３.２.５ (可列可加性)若S，S，...，S，...是一列可测集，则S＝n1Sn12n也是可测集，若S1，S2，...，Sn，...是一列互不相交的可测集， 则对任意的T有

m[T∩特别地

*n1S]＝n1`m (T∩Sn)

n* m[

n1S]＝n1`mSn

n 证明 1)假定S1， S2，...，Sn，...互不相交， 要证S可测，只须证对任意的T有

mT≥m[T∩

**i1S]＋m{T∩[i1Si]}

i*c因为对任意有限数n有mT＝m[T∩i1S]＋m{T∩[i1Si]}

i**n*nc精品资料 欢迎下载

≥

i1nm[T∩S]＋m{T∩[n1Si]}

i**c令n→∞得mT≥

*i1m[T∩S]＋m{T∩[i1Si]}

i**c由次可加性得mT≥m[T∩

**i1S]＋m{T∩[

i*i1S]}，即s＝

ici1Si可测，

m*[T∩

n1S]≥m[T∩

n*mn1S]＝n1m(T∩Sn)，

nm*令m→∞，得m*[T∩

n1S]≥n1m(T∩Sn)，

n*结合次可加性得 m[T∩

*n1S]＝n1m(T∩Sn)，

n*特别地令T＝S时得m[n1S]＝n1mSn

n 2)若S1，S2，...，Sn，...可能相交时，考虑

S＝n1S＝n1[Sn-Sn1-...-S1]，而[Sn-Sn1-...-S1]互不相交，

n由1)知S可测。

证毕

注３.２.２ 由本定理可以看出， 区别可数无限与不可数无限是一件相当重要的事情。测度的可加性只对至多可数个集合而言成立，否则会导致“任意集合皆可测且测度均为0”的荒谬结果。

事实上，如果对任意多个集合而言都具有可加性，则对任意集合E有: E＝

xE｛x｝可测，且mE＝xEm｛x｝＝0。

 定理３.２.６ 若E1，E2，...，En，...是一列可测集，则交集

E＝n1En是可测集.

精品资料 欢迎下载

证明 与定理３.２.４证明理由相同。

定理３.２.７ (外极限定理)设｛En｝是一列可测集，且E1E2...，En，...令E

lim＝n1En＝nEn， 则对任意T有

m(T∩E)＝n m(T∩En)

证明 令Sn＝En-En1(这里E0＝ф)，则Sn可测且互不相交，由定理３.１.５得

*lim*m[T∩

lim*nn1(S)]＝n1m*(T∩Sn)

n＝

ni1m[T∩(Ei－Ei1)]

*＝

limn m

**nn1[T∩(Ei－Ei1)]

＝nm(T∩En)，

显然

lim

n1S＝

nn1E＝E，即m(T∩E)＝nm(T∩En)

n*lim* 证毕

En， 定理３.２.８ (内极限定理)设｛En｝是一列可测集，且E1E2...，... 令

E＝

n1E＝

nlimnE， 则对任意mT＜＋∞有 m(T∩E)＝nm(T∩En)

n**lim* 证明 因E1E2，...， En，...所以E1－E1E1－E2，...，E1－E，... 则由外极限定理得m[T∩(E－E)]＝nm[T∩(E1－En)]，即m (T∩E1)－m(T∩E)

n*1lim***＝m(T∩E)－nm(T∩En)，

1*lim*精品资料 欢迎下载

故m(T∩E)＝nm(T∩En)

证毕

***lim* 注３.２. ３ 条件mT＜＋∞在于保证m(T∩En)＜＋∞(其实只须将条件削弱为

 m*(T∩En0)＜＋∞就足以保证结论成立)，从而可用推论３.１. ３，故此条件不能随意去掉，见反例如下：

例３.２.１ En＝[n,+∞]，T＝(-∞,+∞)，m(T∩En)＝＋∞，但 E＝ф，故m(T∩E)＝0≠nm(T∩En)＝＋∞。 定理３.２.９ 若mE＝0，则E可测。

证明 对任意T ，mT≤m(T∩E)＋m(T∩CE)＝0＋m(T∩CE)≤mT 故mT＝m(T∩E)＋m(T∩CE)，即E可测。

证毕

推论３.２.４ 一切可数集皆可测，且测度为0。 证明 E＝{x1,x2,。..,xn,...}，由外测度定义知：对任意n

m{xn}＝0，所以单元素集{xn}可测，由可列可加性知：E可测，且测度为0。

证毕

定理３.２.１０ 区间I为可测集，且mI＝|I|。

***lim**********

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11证明 对任意ε＝n＞0存在InI，满足|In|＞|I|-n，且

I1I2...，In．．．,d(In,CI)＞0， 任意T， mT≥m[(T∩In)∪(T∩CI)]＝m(T∩In)＋m(T∩CI) 又因为m(T∩I)≤m(T∩In)＋m[T∩（I-In）]，

m(T∩I)－m(T∩In) ≤m[T∩（I-In）] ≤|（I-In）｜→０ 所以m(T∩In)→m(T∩I) （n→＋∞）

故 mT≥m(T∩I)＋m(T∩CI) 即I为可测集。

证毕

推论３.２.５ 一切开集、闭集均为可测集；且当G为开集时，mG＝|G|。 例３.２.１ 求Cantor G0，P0集的测度。 解 mG0＝|G0|＝1，mP0＝m[0,1]－mG0＝1－1＝0。

此例说明：除了可数集一定测度为0以外，C势集也有可能测度为0。

§３.３ 可测集的构造

定义３.３.１ 若E可以表成至多可列个闭集之并，则称E为F型集； 若E可以表成至多可列个开集之交，则称E为G型集；

若E 可以看成由区间出发经至多可列次交并余差运算的结果，则称 E 为Borel集。

由开集与闭集的对偶性可直接得到F型集与G型集的对偶性：F为 F型集<＝>CF是G型集,G为 G型集<＝>CG是F型集。

***************精品资料 欢迎下载

证明留作习题。

推论３.３.１: 一切F集、G集、Borel集均为可测集。

反过来，可测集不一定是F集、G集、Borel集但与这些集合非常接近， 下述三个定理将给出具体描述。

定理３.３.１ 以下三命题是等价的 1) E可测

2) 对任意ε＞0存在开集G满足GE，且m(G-E)＜ε。

* 3) 存在G集G0满足G0E，且m(G0-E)＝0。

* 证明：1)＝>2)因为E可测，若mE＜＋∞，对由外测度定义知，对任意ε＞0存在开

*集GE满足mG＜mE+ε，即m(G-E)＜ε；若mE＝＋∞，则存在En满足mEn＜＋∞，且E＝n1En，

nnnn对任意ε＞0存在开集OE满足mO＜mE+2，令G＝n1On，

n则开集GE，从而m(G-E)≤n1m (On-En)＜n1**2n＝ε.

11*nnn0 2)＝>3) 对任意ε＝n存在开集G满足GE，且m(G-E)＜n，令G=n1Gn则1***G0为G集，且G0满足G0E，且m(G0-E)＜m(Gn-E)＜n→0，故m(G0-E)＝0。

* 3)＝>1) 因为存在G集G0满足G0E，且m(G0-E)＝0，所以G0-E可测，从而E

＝G0-(G0-E) 可测。

证毕

c 利用E与E可测的等价性，开集与闭集、G集与 F的对偶性不难得到下述定理： 定理３.３.２ 以下三命题是等价的 1) E可测

2) 对任意ε＞0存在闭集F满足EF，且m(E-F)＜ε。

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3) 存在F集F0满足EF0，且m(E-F0)＝0。

* 证明留给读者。

将定理３.３.１与定理３.３.２相结合即得： 定理３.３.３ 以下三命题是等价的 1) E可测

2)对任意ε＞0存在开集G，闭集F满足FEG，且m(G-F)＜ε。 3)存在G集G0，F集满足F0EG0，且m(G0-F0)＝0。

定理３.３.４ 若AR，BR，且均可测，则A×B＝｛(a,b)｜a∈A，b∈B｝

Rp×Rq为可测集，且m(A×B)＝mA×mB

pqpqpq 证明 1)若区间I1R，I2R，则显然I1×I2为R×R中的区间，从而可测。

且|I1×I2|＝|I1|×|I2|。

2)若开集GR，OR，则显然G×O为R×R中的开集，从而可测。

pqpqG＝

n1G，O＝n1On，其中Gn，On分别为R、R中的左开右闭的互不相交的区间,则

npqGn×Om为R×R中的左开右闭的互不相交的区间，且

pqG×O＝

n1G×

nm1O＝

mn1

m1(Gn×Om)，于是

m(G×O)＝n1m1(mGn×mOm)

＝(

n1mG)×(m1mOm)＝mG×mO

n 3) 对一般可测集，且mA＜+∞，mB＜+∞，AR，BR，则对任意 ε＞0，存在开集GA、GB，闭集FA、FA满足FAAGA，且 m(GA-FA)＜ε，FBBGB，且m(GB-FB)＜ε，即存在开集

pq精品资料 欢迎下载

GA×GB，闭集FA×FB满足FA×FBA×BGA×GB，且 [GA×GB-FA×FB][(GA-FA)×GB][FA×(GB-FB)]

[(GA-FA)×GB][GA×(GB-FB)]

这里[GA×GB-FA×FB]、[(GA-FA)×GB][GA×(GB-FB)]、(GA-FA)、(GB-FB)均为开集。

m(GA×GB-FA×FB)≤m[(GA-FA)×GB]＋m[GA×(GB-FB)]

00 ＜ε×(mB＋ε)＋（mA+ε）×ε=()由ε的任意性和定理３.３.３的2〕知：A×B可测。而 m(A×B)≤m(GA×GB)＝mGA×mGB≤(mA＋ε)(mB＋ε)，

由ε的任意性知m(A×B)≤mA×mB。同理，因为A×BFA×FB，所以 m(A×B)≥m(FA×FB)≥m[(GA×GB)]－() ＝mGA×mGB－()≥mA×mB-()，

由ε的任意性知m(A×B)≥mA×mB，故m(A×B)＝mA×mB。

4) 当mA、mB至少有一个无限时，A＝

n1A，B＝n1Bn，其中

nmAn＜+∞，mBn＜+∞，仿2)即可证明结论成立。

证毕

第四章 可测函数

本章先介绍可测函数定义及其等价描述、简单性质，然后讨论可测函数与简单函数、连续函数三者之间的相互关系，最后引入依测度收敛概念，并研究依测度收敛与几乎处处收敛、一致收敛之间的相互关系。引入可测函数概念的目的是探讨哪些函数才有可能按新思路改造积分定义，引入依测度收敛概念的目的在于为新积分号下取极限时，削弱“一致收敛”这个苛刻条件作铺垫。

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§４.１ 可测函数定义及其性质

先作一下特别申明，今后凡提到的函数都是允许函数值取＋∞，－∞的实函数；±∞也称为广义实数，通常的实数称为有限实数.

函数值都是有限实数的函数称为有限函数；若ョM＞0，对任意x∈E，有|f(x)|≤M，则称f为E上的有界函数；显然有界函数是有限函数，反之则不然。

关于包括±∞在内的实数运算作如下规定：

sup＋∞＝

xR1{x}， －∞＝xR{x}， －∞＜a＜＋∞

ninf1其中a为有限实数，从而对于上(下)方无界的单调增(减)数列{ a}总存在极限，且nan＝＋∞ (－∞)

对于任何有限实数a，

a＋(±∞)＝(±∞)＋a＝(±∞)－a＝a－(∞)＝±∞

(±∞)＋(±∞)＝±∞，a/(±∞)＝0，0×(±∞)＝(±∞)×0＝0 对任何有限实数a＞0 (＜0)

a×(±∞)＝(±∞)×a＝(±∞)/a＝(±∞) (∞) (±∞)×(±∞)＝＋∞，(±∞)×(∞)＝-∞

lim 反之(±∞)－(±∞)，(±∞)＋(∞)，(±∞)/( ∞)，(±∞)/(±∞)，(±∞)/0，a/0，都认为无意义。

以上规定除了0×(±∞)＝(±∞)×0＝0与数学分析中0，∞作为变化趋势无穷小、无穷大时，0×(±∞)、(±∞)×0为不定型表面看来不一致以外，其余规定均与数学分析中的相应结果完全统一。那么这不一致的地方是否有欠妥之处呢？其实没有，因为这里的0是数，而不仅仅是一个变化趋势为0的无穷小量，如果要将此0 看成无穷小量，那么只有认为对任意n，

α

n＝0，当β

nn＋∞，则α

nβ

nn0。 ＝0由于建立Lebesgue积分的思路是：作分划时将函数值接近的分在一起，这就涉及求形如

E[a≤fE[a≤f所以只须研究哪些函数能保证形如E[f≥a]的集合可测。

定义４.１.１ 设f定义在可测集E上的函数，若对任意的实数a有 E[f≥a]可测，则称f在E上Lebesgue可测,简称f在E上可测。 定理４.１.１ 设f定义在可测集E上的函数，则以下四命题等价 1) f在E上可测(对任意的实数a有E[f≥a]可测)

的集合都可测。由于

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2) 对任意的实数a有E[f＞a]可测 3) 对任意的实数a有E[f≤a]可测 4) 对任意的实数a有E[f证明 1)2) 因为E[f＞a]＝n11n，E[f≥a＋n]为可测集，故E[f＞a]可测。

1E[f≥a＋n]，由于f在E上可测， 所以对任意

2) 3) 因为对任意的实数a有E[f≤a]＝E－E[f＞a]，而已知E[f＞a] 可测，所以E－E[f＞a]可测，即E[f≤a]可测。

3) 4)与1) 2)同理，4) 1)与2) 3)同理.

推论４.１.１ f在E上可测对任意的a，b有E[a≤f＜b]，E[f＝＋∞]可测。 证明 “”因为对任意a，n有E[a≤f＜a+n]可测，且E[f＝+∞]可测， 则对任意a



af E[f≥a]＝E

n1bE[f＝＋∞]可测，故f在E上可测

“”因为f在E上可测，则对任意的a，b有E[f≥a]，E[f≥b]均可测，则Eafb＝E[f≥a]－E[f≥b]可测，E[f＝＋∞]＝n1E[f≥n]可测。

推论４.１.２ 定义在零测度集上的任何函数f均在E上可测

事实上，对任意的实数a有0≤mE[f＞a]≤mE＝0，故E[f＞a]可测，即f在E上可测。

利用E0[f＞a]＝E[f＞a]∩E0即得：

推论４.１.３ 若f在E上可测，则f在E的任一可测子集E0上可测。

** 定理４.１.２ 设E＝n1En，且En可测，则f在E上可测对n，f在En上可测.

 证明 “”对任意的实数a，E[f＞a]＝n1En[f＞a]，因为f在En上可测，所以En[f＞a]可测，从而E[f＞a]可测，即f在E上可测。

精品资料 欢迎下载

“”因为f在E上可测，所以f在E的可测子集En上可测。 定理４.１.３ 设fn是定义在可测集E上的可测函数列，则 1) h(x)＝ 2) m(x)＝

nsupn1fn(x) g(x)＝

ninfn1fn(x)

limnf(x) M(x)＝nfn(x)均为E上的可测函数。

limlim 3) 若f存在极限，则f(x)＝nfn(x) 也为E上的可测函数。

证明 1) 对任意a 由于E[h＞a]＝n1E[fn＞a]，且fn在E上可测, 所以E[fn＞a]可测，从而E[h＞a]，即h在E上可测，同理可证g在E上可测。 2) m(x)＝

limnf(x)＝

nsupinfN1nN f(x)＝

nsupN1 gN(x)

inf其中gN(x)＝nN fn(x)在E上可测，故m(x)在E上可测，同理M(x)在E上可测。 3) 若nfn存在，则f(x)＝m(x)＝M(x)在E上可测。

lim 例４.１.１ 若f(x)在E上可测，则f(x)，f(x)，|f(x)|均在E上可测。其中

xE(f0)f(x)  xE(f0) f(x)＝0 xE(f0)0 f(x)＝f(x) xE(f0) 分别称为f(x)的正部函数，负部函数。

证明 因为对任意a，E[-f＞a]＝Efa，所以当f可测时，-f可测。又因为f(x)

＝max{f(x),0}，f(x)＝max{-f(x),0}，|f(x)|＝max{f(x),n},故当f可测时，f(x)、f(x)、|f(x)|均在E上可测。

例４.１.2 若f(x)在E上非负可测，则{f(x)}n在E上可测。其中

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xE(fn)n  xE(fn) 称为f(x)的n-截断函数。 n{f(x)}＝f(x) 证明 显然{f(x)}n=min{f(x),n}在E上可测。

定理４.１.４ 可测函数的和、差、积、商仍为可测函数。

此定理留到可测函数的结构后证明会简单得多(参见定理４.２.２)，故此处从略。

§４.２ 可测函数的结构

本节引进简单函数概念、相对连续、几乎处处等重要概念，并从可测函数与简单函数的关系，

可测函数与连续函数的关系，可测函数与正、负部下方图形的关系角度研究了可测函数的本质特征，从而把握可测函数的结构。

定义４.２.１ 若E＝n1En ，其中En可测且互不相交，

NxE1C1 C xE22CxEN 则称φ(x)＝N 为E上的简单函数。

若φ、ψ为E上的简单函数，则φ±ψ，φ×ψ，φ÷ψ，｜φ｜也为E上的简单函数。

由于对 a，E[φ＞a]＝CiaEi，故定义在E上的简单函数均为定义E上的可测函数。我们称

 xE1 xE 为集合E的特征函数。 χE(x)＝0 显然函数χχ

EE (x)可测的充分必要条件是集合E可测，这是之所以称

(x)为E特征函数的原因。

显然 φ(x)＝n1Cnχ

NEi(x)。

一般说来，可测函数不一定是简单函数，但都可以表成简单函数的极限。

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定理４.２.１ f在E上非负可测<＝>存在E上的简单函数列{φ0≤φ

nn}满足

(x)≤φ

n1(x) ，且φ

n(x)→f(x) ( x∈E )

证明 “＝>”若f≥0且在E上可测，作

i-1ii1 xE[nfn]n 222n n xE[fn] φn(x)＝ i=1,2,...,n2 则显然有φ

n(x)≤φ

n1(x) ，且φ

nn(x)→f(x) ( x∈E )。

事实上，若f(x)＝+∞，则φ(x)＝n→+∞＝f(x)；

1n(x)｜＜2→0 (n→+∞),恒有

若0≤f(x)＜+∞，则当n＞f(x)时，｜f(x)－φφ

nn(x)→f(x)。

“<＝”由定理４.１.３即得。

推论４.２.１ f在E上可测<＝>存在E上的简单函数列{φ|φ

nn}满足

(x)|≤|φ

n1(x)|，且φ

n(x)→f(x) ( x∈E )。

n证明 “＝>”f为一般可测函数时，f，f在E上可测，则存在E上的简单函数列{φ满足φ

φ＝{φ

n}

(x)≤φ

n1(x)，且φ

n1n(x)→f(x)，

nn满足φ

n(x)≤φ(x)，且φ(x)→f(x)，从而存在E上的简单函数列{φ

n}

n(x)－φ

n}满足

n |φ≤|φ

n1(x)－φ

n|=|φ

n1n(x)|+|φ

n1n（x）|

(x)|+|φ

nn1(x)|=|φ

n(x)－φ

(x)|，

 且φ＝φ－φ

n→f(x)＝f－f ( x∈E )。

“<＝”由定理４.１.３直接可得。

定理４.２.２ 若φ、ψ为E上的可测函数，则φ±ψ，φ×ψ，

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φ÷ψ(ψ(x)≠0)，｜φ｜也为E上的可测函数。

证明 因为φ、ψ为E上的可测函数，存在E上的简单函数φφ

nn→φ，ψ

n→ψ，即

±ψn→φ±ψ，故φ±ψ可测，其余同理可证。值得注意的是当考虑φ÷ψ时，ψn有必

要在定理４.２.１基础上按下述方式作适当的改动：

11 xE[0f]2n2ni-1ii1 xE[f]nnn222n xE[fn]ψn(x)＝ i=2,3,...,n2，

n其目的在于避免ψn(x)＝0。

定义４.２.２ 若f(x)≥0，则称G(f,E)＝｛(x,y)｜x∈E,0≤y＜f(x)}为f的下方图形。

定理４.２.３ 若f在E上可测，则G(f,E)，G(f,E)均为可测集。

证明 1) 若f为E上的非负简单函数，则G

(f,E) ＝n1｛Ei×[0,ci]]可测。

nn 2) 若f为一般非负可测函数，则存在E上的简单函数列{φ}满足

φ

n(x)≤φ

n1(x) ，且φ

n(x)→f(x) ( x∈E )

G

(f,E) ＝n1G(n,E)

由于对任意的n，G(n,E)是可测集，所以G(f,E) 是可测集。

3) 若f为一般可测函数，则f与f均为可测函数，故G(f均为可测集。

其实，G(f,E)，G(f,E),E)，G(f,E)可测是f在E上可测的本质特征。关于反过来，G(f,E)，G(f,E)可测能保证f在E上可测，将在下一章推论５．４．１证明．

定义４.２.３ f在E上有定义的有限函数，若对 x0∈E，对 ε＞0， ョδ＞0，

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当x∈E∩U(x0,δ)时，｜f(x)－f(x0)｜＜ε，则称f在x0处相对于E连续。若f在E中每一点都相对于E连续，则称f在E上连续。

例４.2.１ D(x)在[0，1]中每一点相对于[0，1]皆不连续，但对[0，1]中每一个无理数皆相对于[0，1]中的无理数集连续，对[0，1]中每一个有无理数皆相对于[0，1]中的有理数集连续。

定理４.２.４ 若f在可测集E上连续，则f在E上可测。 证明 只须证明对 a，E[f＞a]为可测集。事实上，对

 x0∈E[f＞a]，令ε＝f(x0)－a＞0，ョδ

x0＞0，

当 x∈E∩U(x0,δ

x0)时，｜f(x)－f(x0)｜＜ε，

x0则f(x)＞a，即E∩U(x0,δ

)E[f＞a]。故

E[f＞a]＝

x0E[fa]｛E∩U(x0,δ

x0)｝＝E∩｛

x0E[fa](x0,δ

x0)｝

显然x0E[fa]U(x0,δ

x0)是开集，从而可测，又因为E可测，故E[f＞a]可测。

注４.２.１ 由证明过程不难看出，当E是开集时，E[f＞a]也是开集。

定义４.２.４ 设Л是一个与集合E的点有关的命题，如果ョE的子集N满足 mN＝0，且Л在E－N上恒成立，则称Л在E上几乎处处成立，记为Л a.e 于E。

例４.2.2 |tgx|＜＋∞ a.e 于R； 例４.2.3 fn(x)＝x→0 a.e 于[-1,1]

例４.2.4 设f(x)在[a,b]上单调，则f在[a,b]上几乎处处连续。 例４.2.5 Dinichni函数D(x)＝0 a.e于[0,1]，一般地，如果 mE[f≠g]＝0，则f＝g a.e于E。

定理４.２.５ 设f在E上可测，且f＝g a.e于E，则g也在E上可测。 证明 因为mE[f≠g]＝0，所以g在E[f≠g]上可测，又因为

E[f＝g]＝E－E[f≠g]是E的可测子集，所以g＝f在E[f＝g]上可测，故g在E上可测。 证毕

我们已经知道可测函数Dinichni函数在[0，1]上处处间断，这是否意味着这样的函数与连续不沾边呢？否！事实上，它是在充分接近于定义域的范围内相对连续的。这就是著名的

n1精品资料 欢迎下载

鲁津（лузин）定理

定理４.２.６ (лузин)若f在E上可测，且几乎处处有限，则对 δ＞0， ョ闭集FE，且m(E-F)＜δ，f在F上连续。

证明 1. 若f(x)为E上的简单函数，则f(x)＝Ci x∈Ei，i＝1,2,...,n。其中E＝

i1nEi，Ei互不相交且可测，则对 δ＞0及i，ョ闭集FiEi，m(Ei-Fi)＜n，i=1,2,3,...,n ，

则f在F＝i1Fi上连续(事实上，对任意x0∈F，ョFi0满足x0∈Fi0，对 ε＞0，

nョd＝

min

ii0

d(x0，Fi)＞0，当x∈F∩U(x0,d)时，

有｜f(x)－f(x0)｜＝0＜ε，即f在F上连续，且m(E-F)＜δ。 2.若f为E上的一般可测函数，则存在E上的简单函数列{φ按定理４.２.１方法所构造)

n}满足φ

n→f(不妨φ

n a) 若mE＜＋∞，因E[|f|＝＋∞]＝n1E[|f|≥n]，由内极限定理知，对δ

＞0,ョN满足 mE[f≥N]＜2，而φ

n一致f于E[f由 1 知，对 δ＞0及n，ョ闭集FnE[fE[fm

N]-Fnn1＜2，n=1,2,3,...，φ

n在F上连续，从而所有φ

nn在闭集 F＝n1Fn上连续，且m(E-F)≤mE-E[fN]＋mE[fN]-F

2≤＋m(E[f精品资料 欢迎下载

n1＜2＋n12＝δ，又因为φ

n一致f于F，故f在F上连续。

b) 若mE＝＋∞，则令In＝｛(x1,x2,...,xq)｜|xk|＜n k=1,2,...,q｝

E＝(I－I

nnn1)∩E，显然mE＜＋∞，E＝n1En，由 a)知ョ闭集FnEn

nnnn2满足m(E-F)＜，f在F上连续，令F＝n1Fn，则

nm(E－F)＜n1m(En-Fn)＜n12＝δ。由于此处Fn的特殊性，可以得到两个在一般情况

下并不一定具备的特殊性质：①F＝n1Fn闭 ②f在F上连续。(事实上， xn∈F，xn--→x0时，xn一定有界，即ョ M＞0，

x∈n1F，而n1F闭，所以x∈n1FnnnMM0Mnn1Fn＝F，即F闭；对

x0∈n1Fn＝F，ョi0 满足x0∈Fi0，对 ε＞0

ョd＝

min

ii0

d(x0,Fi)＝min｛d(x0，Fi01),d(x0,Fi01)｝＞0，当

x∈E∩N(x,d)时， 有｜f(x)－f(x)｜＜ε，故f在F＝n1Fn上连续。)

00 证毕

定理４.２.７ (鲁津定理的第二形式)若f是直线上的可测子集E上的几乎处处有限的可测函数，则对 δ＞0，ョ g∈C(-∞,+∞)使得

mE[f≠g]＜δ，且|g(x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝

证明 由定理４.２.６知：对 δ＞0，ョ闭集FE，且m(E-F)＜δ，f在F上连续。作g满足在闭集F保持与f一致，在CF上补充定义使其连续。注意：CF是开集，

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设 CF＝iI(ai,bi) （I≤a）

xFf(x) f(b) x(,b)kkf(aj) x(aj,)f(ai)f(bi)f(ai)(xai) ai,bi有限biai令 g(x)＝

证毕

其实，以上两定理结果也是可测函数的本质特征，即具有上述结果的函数一定是可测函数，证明留作习题。

可测函数可以表成简单函数的极限这一本质特征，为通过Lebesgue大、小和定义积分的传统方法提供了思路和理论保证。可测函数的正、负部函数下方图形皆可测这一本质特征为本教材直接利用正、负部函数下方图形测度之差定义积分奠定了基础。可测函数在一个充分接近定义域的闭集上连续这一本质特征明示我们：尽管可测函数的范围比连续函数的范围广得多，但通过牛顿——莱布尼兹公式计算积分仍为主渠道。

§４.３ 可测函数列的依测度收敛

改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对(R)积分而言，积分与极限交换顺序需要验证一个较为苛刻的条件：“fn(x)在E上一致收敛于f(x)”，将“一致收敛”削弱为“处处收敛”甚至“几乎处处收敛”是一种思路，在此介绍另一种削弱“一致收敛”条件的方法。

从集合论的角度讲：“fn(x)在E上一致收敛于f(x)”是指 σ＞0，ョN0＞0，当n＞N0时，E[|fn(x)－f(x)|≥σ]＝φ，之所以我们认为“一致收敛”条件苛刻，就在于它要求E[|fn(x)－f(x)|≥σ]从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足

mE[|fn(x)－f(x)|≥σ]→0(n→＋∞) 呢？ 这就导致了一个新的收敛概念的产生。

定义４.３.１ 设f(x)，fn(x)(n＝1,2,...)为在E上几乎处处有限的可测函数，并

对σ＞0，ε＞0，ョN0＞0，当n＞N0时，mE[|fn(x)－f(x)|≥σ]＜ε， 即对 σ＞0，有nmE[|fn(x)－f(x)|≥σ]＝0，则称函数列{fn(x)}在E 上依测度收敛于f(x)，记为

lim精品资料 欢迎下载

fn(x)f(x)于E。

n f(x)于E，则fn(x)f(x)于E。 显然，若fn(x)一致n 定理４.３.１ (Lebesgue定理)设mE＜＋∞，f(x)，fn(x)(n＝1,2,... )为在E上

f(x) a.e于E，则 几乎处处有限的可测函数，且fn(x)nfn(x)f(x)于E。 证明 因为

nE[fn(x)f(x)]＝k1N1nN1E[|fn(x)－f(x)|≥k]

又因为fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)，所以mE[fn(x)  f(x)]＝0，于是对

1 k ,m｛N1nN1E[|fn(x)－f(x)|≥k]｝＝0，由内极限定理

NlimmnN1E[|fn(x)－f(x)|≥k]＝0 (４.３.１)

1对 σ＞0，ョk＜σ,则

1E[|fn(x)－f(x)|≥σ]E[|fn(x)－f(x)|≥k]，

1(x)－f(x)|≥k]─→0(n→+∞)，所以

即0≤mE[|f

nn(x)－f(x)|≥σ]≤mE[|f

nfn(x)f(x)于E。

证毕

反过来，若fn(x)在E上依测度收敛于f(x)，不能保证fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)，请看下述反例：

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i1i1 x(,]nni1i0 x(0,1](,]inn i=1,2,...,n. 例４.３.１ fn(x)＝

显然f

in(x) 0于(0,1)，但对任意的x∈(0,1)，对每一个n，都存在f

ixninnixn(x)＝1

同时对每一个n，都存在f(x)＝0，从而对任意的x∈(0,1)，f( x)都不收敛于任何实数。 但这并不意味着依测度收敛与几乎处处收敛没有任何联系，著名的F.Riesz 定理反映了它们的内在联系。

定理４.３.２ （F.Riesz定理）若fn(x) f(x)于E，则ョ子列

f(x) a.e于E。 fni(x) nin证明 因为

E[fni(x) f(x)]＝k1N1iN1E[|fni(x)－f(x)|≥k]

111ii＜于是只须选取fni(x)满足mE[|fni(x)－f(x)|≥i]＜2即可保证对k 当i ＞k时有：111k，E[|fni(x)－f(x)|≥k]E[|fni(x)－f(x)|≥i]

0≤m N1iN1E[|fni(x)－f(x)|≥k]

≤

Nlimm

iNE[|f

ni(x)－

1f(x)|≥k],

lim≤NlimiN1mE[|fni(x)－f(x)|≥i]

12i＝0，从而mE[fni(x) f(x)]＝0，即

≤NiN精品资料 欢迎下载

f(x) a.e于E。 fni(x)ni

证毕

推论４.３.１ 若mE＜＋∞，{fn(x)}在E上几乎处处有限且可测，则 fn(x) f(x)于E对任意子列fni(x)ョ该子列的子列f

nnnij(x)f(x) a.e于E。

ninij 证明 “＝>”因为fn(x) f(x)于E，所以fni(x)f(x) 于E，从而ョ该子列的子列f

nijijf(x) a.e于E。 (x)

n“<＝” 若不然，则ヨσ0,εmE[|fni(x)-f(x)|≥σ0]≥εf

nijnij00及fni(x)满足

，由条件知：对此fni(x)也ョ子列

(x) f(x) a.e于E，即

nijmE[|f(x)-f(x)|≥σ0]→0(nij→∞)，这与

0mE[|fni(x)-f(x)|≥σ0]≥ε矛盾。

作为Lebesgue定理的应用，我们来进一步研究直线上可测函数的结构。

定理４.３.３ 设E(-∞,+∞)且f在E上几乎处处有限，则f在E上可测ョ

f(x) a.e 于E。且 gn∈C(-∞,+∞)，gn(x)n|gn(x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝

证明 “＝>” 由鲁津定理知：对任意n有 fn∈C(-∞,+∞)满足

1mE[fn≠f]＜n，且|gn(x)|≤sup｛|f(x)|｜x∈E｝，则fn(x)＝>f(x)于E，由F.Riesz定f(x) a.e于E，取 理知：ョ子列fni(x) nigi(x)＝fni(x)即可。 “<＝”显然。

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证毕

在数学分析中，我们已经知道，即使函数列在每一点收敛，也不能保证一致收敛，因此，对可能在某个零测度集上不收敛的函数列而言，更谈不上一致收敛。例如fn(x)=x

n处处n0

于01，却不一致收敛。究其原因是自变量越靠近0越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但不难看出，只要挖去一个以1为右端点的小区间（1-δ，1）后就有收敛最慢点

x=1-δ了，从而可以保证一致收敛了。著名的数学家叶果落夫（ЕгОРОВ）任何可测函数都有类似结果，即有下述定理成立。

定理４.３.４ (ЕгОРОВ)若mE＜＋∞，fn(x)，f(x)在E上几乎处处限且可测，并fn(x) fn(x)

n一致a..enf(x)于E，则对任意δ＞0，ョ可测集FE，m(E-F)＜δ，满足

f(x)于F。

证明 第一步：对给定δ＞0，构造F由定理４.３.１中(４.３.１)式知：对

11lim k 有 NmnNE[|fn(x)－f(x)|≥k]＝0

对 δ＞0， ョNk＞0， mnNk1kE[|fn(x)－f(x)|≥k]≤2 1E[|fn(x)－f(x)|≥k]

于是对任意δ＞0，ョF＝E－k1nNk ＝k1nNk1E[|fn(x)－f(x)|E-F＝k1nNk1kE[|fn(x)－f(x)|≥k] 故m(E-F)＜k12＝δ

n一致 第二步：证明fn(x) f(x)于F

1 对 ε＞0，ョk满足k ＜ε，即ョNk，对任意的x∈F，即

x∈F＝k1nNk1E[|fn(x)－f(x)|精品资料 欢迎下载

1n当n≥Nk时，|fn(x)－f(x)|＜k＜ε，即fn(x) 一致f(x)于F。

定义４.３.２ 若对任意δ＞0，ョ可测集FE满足m(E-F)＜δ， fn(x) fn(x)

n一致f(x)于F，则称fn(x)在E上近一致收敛于f(x)。记为 f(x)于E，或fn(x)

na.un近一致f(x)于E。

叶果落夫定理说明在mE＜＋∞条件下，几乎处处收敛的函数列是近一致收敛的，下

述逆定理则说明近一致收敛无条件地保证几乎处处收敛。

定理４.３.５ 若fn(x) 证明留给读者自己完成。

第五章 Lebesgue积分理论 本章定义了可测函数的Lebesgue积分，并讨论了新积分的性质、计算方法及其与旧(Riemman)积分的关系，在条件相当弱(相对Riemman 相应定理条件中的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理，并利用积分的极限定理获得了Riemman可积的本质特征；最后研究了重积分与累次积分的关系。

§５.１ Lebesgue积分的定义及其基本性质

na.uf(x) a.e于E。 f(x)，则fn(x)n 有了第四章的准备之后，就可以根据对可测集上定义的可测函数f先定义大、小和

Ｓ(D,f)＝

i1nymE[y

ii1fininf然后分别规定DＳ(D,f)、Ds(D,f)为上、下积分值，且进一步证明二者相等，从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是Lebesgue创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。

sup 然而在第四章研究可测函数的结构时，我们发现函数可测的实质是函数政、负部下方图形可测，再加之由数学分析我们已经知道：对连续函数而言(R)积分值是函数曲线与x轴，x＝a，x＝b所围的x轴上、下方图形面积的代数和，现遵循此基本思路直接定义新积分概念。

定义５.１.１ 若f(x)为可测集E上的非负可测函数，则称mG(f,E)为f在E 上的Lebesgue积分值，记为(L)Efdx,也简称mG(f,E)为f在E 上的积分值，并简记Efdx。若f(x)为可测集E上的一般可测函数，且Efdx＝mG(f上存在积分值，并规定积分值为

,E)，Efdx＝mG(f,E)至少有一个有限，则称f(x)在E

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Efdx＝Efdx－Efdx＝mG(f,E)－mG(f,E)；

如果－∞＜Efdx＜＋∞，则称f在E上可积。

注５.１.１ 此处作“Efdx，Efdx至少有一个有限”的在于保证不出现∞－∞的无意义表达式。

 注５.１.2 (L)积分定义有三大优点：定义简洁、直观明了，不需大、 小和概念，不必考虑函数是否有界，定义域测度是否有限。

如何具体计算积分值呢？ 1) 若

f

为可测集

E

上的非负简单函数，则

f(x)＝

ci x∈Ei(i=1,2,3,...,n)， Ei∩Ej≠φ(i≠j)，从而f在E上的积分值为mG(f,E)＝

i1ncimEi

例５.１.１ Dinichni函数

xE1{x|x为[0,1]中的有理数}1 0 xE2{x|x为[01]中的无理数} D(x)＝ 可积，且EDdx＝1×mE1＋0×mE2＝0。

2) 若f(x)为可测集E上的非负可测函数，则存在E上的非负简单函数列{φ满足0≤φ

limnnn(x)}

(x)≤φ

n1(x)，φ

n(x)→f(x) (n→+∞)，则显然GnGn1，且G(f,E) ＝

(f,E)G

(n,E)，从而由测度的外极限定理知：f在E上的积分值为 mG

n＝nmG(n,E)＝

limlimnEφdx

n 当我们按定理４.２.１方法构造简单函数列{φ

n2n1(x)}时， mG(n,E)便是f在分划Tn:E

＝

k1`limlimEk下的小和s(f,Tn)，即Efdx＝nmG(n,E)＝ns(f,Tn)。这与定义(R)积分的分割、

求和、取极限三大步骤基本相似；区别在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。

3) 若f(x)为可测集E上的一般可测函数，则按2）分别求出

Efdx，Efdx从而获得Efdx，显然测度有限的可测集E上定义的有界可测函数均为

精品资料 欢迎下载

可积函数。

以上三大步骤，不仅说明了lebesgue积分的可操作性，也是在证明一系列积分性质时所采取的通用的循序渐进的方法。

定理５.１.１ 设f(x)在E上有积分值，则对任意实数α，αf(x)在E上也有积分值，且

Eαfdx=α

0Efdx (1)

证明 1 当α≥0时，分三种情形证明之。

a) 若f(x)为E上的非负简单函数，(1)式显然成立。

b) 若f(x)为E上的非负可测函数，则存在E上的非负简单函数列{φ

n(x)}满足 φ

n(x)≤φ

n1(x)，φ

n(x)→f(x) (n→＋∞)，

Elimαfdx＝nEαφ

nlimdx＝nα

Eφ

ndx＝α

limnEφ

ndx

＝α

Efdx，即(1)式成立。

 c) 若f(x)为一般可测函数，利用b)及(αf)＝αf，(αf)＝αf即得

Eαfdx＝Eαfdx－Eαfdx

＝α

Efdx－α

0Efdx＝α

Efdx

 2 当α＜0时，利用b)及(αf)＝－αf，(αf)＝-αf即得

Eαfdx＝E (-α)fdx－E(-α)fdx

＝(-α) Efdx－(-α) Efdx＝α

Efdx

证毕

定理５.１.２：设f(x)，g(x)在E上可积，则f(x)±g(x)也在E上可积，且 E [f+g]dx＝Efdx＋Egdx (2)

证明 a) 若f(x)，g(x)为E上非负简单函数，则(2)式显然成立。 b) 若f(x)，g(x)为E上的非负可测函数，则存在简单函数列 {φ

n(x)}、{ψn(x)}满足

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0≤φ

n(x)≤φ

n1(x)，φ

n(x)→f(x) (n→＋∞)，

0≤ψn(x)≤ψ从而φ且 φ

nn1(x)，ψn(x)→g(x) (n→＋∞)，

n1(x)＋ψn(x)≤φ(x)＋ψ

n1(x)，

n(x)＋ψn(x)→f(x)＋g(x) (n→＋∞)，

Elim[f+g]dx＝nlimnE[φ

n＋ψn](x)dx

＝n[Eφ＝

limndx＋Eψndx]

xEφ

nd＋nlimEψndx

＝Efdx＋Egdx，即(2)式成立。

(值得注意的是：对非负函数而言，只须可测就足以保证(2)式成立。) c) 若f(x)，g(x)为E上的一般可积函数，则 [f+g]≤f＋f＋g＋g 从而G([fg]mG([fg],E)G(ffgg,E)，故

,E)≤mG(ffgg,E)＜＋∞，即[f＋g]在E上可积，同理[f＋g]在E上可积。

 [f＋g]＝[f＋g]－[f＋g]＝(f－f)＋(g－g)，移项得 [f＋g]＋f＋g＝f＋g＋[f＋g] 由b)得 E [f＋g]dx＋Efdx＋Egdx

＝Efdx＋Egdx＋E [f+g]dx

故 E [f＋g]dx－E [f＋g]dx

＝Efdx－Efdx＋Egdx－Egdx

即E [f＋g]dx＝Efdx＋Egdx

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证毕。

推论５.１.１：设f(x)，g(x)在E上可积，则对任意α、β∈R， αf(x)±βg(x)也在E上可积，且 E [αf±βg]dx＝α

Efdx±β

Egdx (3)

定理５.１.３：1)设f(x)在E上可积，则f在E的任意一个可测子集E1上可积。 2)（有限可加性）若f(x)在E1，E1上均可积，其中E1、E2为E的互不相交的可测子集，且E＝E1∪E2，则f(x)在E上可积，且

Efdx＝

E1fdx＋

E2fdx (4)

 证明 1)因为G(f,E)＝{(x,y)｜x∈E,0≤y＜f(x)



＝{(x,y)｜x∈E1,0≤y＜f(x)＝G(f于是同理

∪{(x,y)｜x∈E-E1,0≤y＜f(x) 

,E1)∪G(f,EE1)

E1fdx＝mG(ffdx＝mG(f,E1)≤mG(f≤mG(f,E)＝Efdx＜+∞

E1,E1),E)＝Efdx＜+∞

故f(x)在E1上可积。

2)若f(x)在E1，E2上均可积，则令

f1(x)＝

xE1f(x)  xE20 f2(x)＝

xE10  xE2f(x)

显然，f1，f2均在在E上可积，由定理２知

E[f1(x)＋f2(x)]dx＝Ef1(x)dx＋Ef2(x)dx

即∫Efdx＝

E1fdx＋

E2fdx。

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证毕

定理５.１.４：①若mE＝0，则在E上定义的函数皆可积，且Efdx＝0 ②设f(x)＝g(x) a.e于E，则f(x)与g(x) 有相同的可积性，且 Efdx＝Egdx (4)

③（单调性）若f(x)，g(x)在E上可积，且f(x)≤g(x) a.e于E，则 Efdx≤Egdx (5)

特别地，若m≤f≤M,mE<+∞,则mmE≤Efdx≤MmE

④（绝对可积性）设f(x)在E上可积，则｜f(x)｜在E上可积，且

0≤φ

Efdx≤E|f|dx (6)

证明：①设f(x)在E上非负，则由推论４.１.２知f(x)在E上可测，当

n(x)≤φ

n1(x)，φ

n(x)→f(x) (n→+∞)时，对任意n有

n ∫Eφ

(x)dx=0，故f在E上可积且Ef(x)dx=0。

②不妨设f(x)在E上可积，则f(x)在E1＝E[f＝g]，E2＝E[f≠g]上均可积。则g在E[f＝g]上可积，又mE[f≠g]＝0，故g(x)在E2＝E[f≠g]上可积，从而g在E＝E1∪E2上可积。且

*Efdx＝

E1fdx＋

E2fdx＝

E1gdx＋

E2gdx。

(正是由于此结论，有关积分的命题，遇到几乎处处成立的条件时， 都不妨当成处处成立来证明)

③因为g(x)＝f(x)＋(g(x)－f(x))，由定理５.１.２知

Egdx＝Efdx＋E(g－f)dx≥Efdx。

④因为|f(x)|＝f＋f，所以｜f(x)｜可积。又因为 -|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|， 故

－E|f|dx≤Efdx≤E|f|dx ，即|Efdx|≤E|f|dx 。

证毕。

注意：绝对可积性对Rieman广义积分是不成立的。正因为如此，才有条件可积与

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绝对可积之分。

定理５.１.５ （积分唯一性）若在E上非负可测，且Efdx＝0，则f＝0 a.e于E

证明：因为0＝Efd≥

x1E[f]n11fdx≥nmE[f≥n]≥0，故

1mE[f≥n]＝0，而

E[f＞0]＝n1E[f≥1/n]，故mE[f＞0]＝0,于是f＝0 a.e于E

证毕

定理５.１.６ 若f(x)在E上可积，则f在E上几乎处处有限. 证明： 因为E|f|dx≥E[fn]fdx≥n mE[|f|≥n]，所以

m[|f|n]fdExn0 (n)

lim而E[f＝+∞]＝

n1E[|f|≥n]，由内极限定理知：mE[|f|＝+∞]＝nmE[|f|≥n]=0

证毕

定理５.１.７ (积分绝对连续性) 若f(x)在E上可积，则对 ε＞0,ョδ＞0，当 可测集AE，且mA＜δ时，有｜Afdx｜＜ε。

当 AE，且mA＜δ时，

｜Afdx｜≤A｜f｜dx｜＜M×M ＜ε.

2.若f(x)为E上的一般可积函数，则|f(x)|为E上的非负可积函数，存在非负简单函数列{φ

n证明：1.若f(x)为简单函数，则令M＝max{|ci|｜i=1,2,...,n}，对 ε＞0，ョδ＝M，

(x)}满足

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φ

n (x)≤φ

n1(x)，φ

n(x)→｜f(x)｜ (n→＋∞)，对 ε＞0，ョN0，

E｜f｜dx－Eφ

N0dx＜2，对φ

N0，ョM＞0，｜φ

N0｜≤M，令

δ＝2M＞0，当 AE，且mA＜δ时，有｜Afdx｜≤A｜f｜dx ＝A[f－φ

N0]dx＋Aφ

N0dx≤E[f－φ

N0]dx＋Aφ

N0dx

＜2 ＋M×2M＝ε.

证毕

§５.２ Lebesgue积分的极限定理

定理５.２.１ (levi定理)若φ足 φ

nn(x)为可测集E上的非负可测函数列，且满

(x)≤φ

n1(x)，φ

n(x)→f(x) (n→＋∞)，则

lim Efdx＝nEφ

ndx

证明 G(f,E)＝｛(x,y)｜0≤yn｝然而G(n,E)G(n1,E)，

且G

(f,E)＝n1G(n,E)，由外极限定理知：

Elimlimfdx＝mG(f,E)＝nmG(n,E)＝nEφ

ndx.

证毕

定理５.２.２ (Fatou引理)若φ

n(x)为可测集E上的非负可测函数列，则

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limnEφ

n(x)d≤nxlimEφ

ndx

limsupinf 证明 因为nφn(x)＝

N1nNφ

n(x)

令ψ

(x)＝

inflimNnN φn(x)，则ψn(x)≤ψ

n1(x)，nφn(x)＝limnψn(x)

于是limEnφ

n(x)d

x＝ENlimψ

N (x)d

x＝

NlimEψNdx

＝

limNEψNdx≤limnEφ

ndx

证毕

定理５.２.３ （控制收敛定理） 若fn(x)为可测集E上的可测函数列，可积函数F(x)满足|fn(x)|≤F(x)，fn(x)─→f(x) a.e于E，则

Efdx＝nlimEfndx

证明 F(x)＋fn(x)≥0且在E上可测，则由定理５.２.２知

limlimEn [F(x)＋fn(x)]dx≤nE[F(x)＋fn(x)]dx

EF(x)d

x＋Elimnfn(x)d

x≤EF(x)dx＋nlimEfndx

即limEnfn(x)dlimx≤nEfndx

同理F(x)－fn(x)≥0且在E上可测，则由定理５.２.２知

limlimEn[F(x)－fn(x)]dx≤nE [F(x)－fn(x)]dx EF(x)d

x－Elimnfn(x)d

x≤EF(x)dx－nlimEfndx

即Elimnfn(x)dx≥nlimEfndx，

limlimEnfn(x)dx≤

nEfndx≤

limnEfnd

x≤Elimnfn(x)dx

而f

n(x)─→f(x) a.e于E，故Efdx＝nlimEfndx

存在E上 精品资料 欢迎下载

注5.2.1 ：将定理５.２.３中条件fn(x)─→f(x) a.e于E，改为

fn(x)nf(x)于E后，结论仍成立。

事实上，若E则ョ εョ f

nij0limnlimfn(x)dx≠nEfndx，令α＝Efdx，

0及fni满足 |Efnidx－α|≥ε

Ex，显然fni(x)＝>f(x)于E，由Lebesgues定理知：

lim(x)─→f(x) a.e于E，从而f(x)d＝jEf

nijdx矛盾。

证毕

推论５.２.１ 若φ上可积且满足

φ

nn (x)为可测集E上的非负可测函数列，其中至少有一个φ

n0(x)在E

(x)≥φ

Exn1(x)，φ

n(x)→f(x) (n→＋∞)， dx

n0则 fd＝nlimEφ

n 证明：令F(x)＝φ(x)，由定理５.２.３即得结果。

定理５.２.４ 若fn(x)为可测集E上的非负可测函数列，则



En1nfd

nxE＝

n1nfndx

证明 令φ足 φ

NN＝

n1Nf,f＝n1fn则φ

N(x)为可测集E 上的非负可测函数列，且满

(x)≤φ N1(x)，φ(x)→f(x) (N→＋∞)，从而由Levi定理知：

Efd＝

xNlimEφ

Nd＝

xlimnEfd

nxE＝

n1fndx

证毕

定理５.２.５：设f(x)在E上有积分值，若E＝n1En，且互不相交，

精品资料 欢迎下载

则f在每一个E

n上有积分值，且Efd

x＝

n1Enfdx

证明 若f(x)为可测集E上的非负可测函数，令

f(x) 当xEnfn(x)当xEn0 由定理５.２.４知：Efd

x＝

En1fd

nx＝

n1Enfdx

若f(x)为可测集E上的一般可测函数，则f＝f－f

EEfd

x＝

n1Enfd

x与Efd

x＝

n1Enfdx至少有一个有限，Efdx＝

fdx－Efdx

＝

n1Enfd

x－

n1Enfd

x＝

n1Enfdx

证毕

定理５.２.６ f(x,t)是定义在[a,b]×[c,d]上的可测函数，在[a,b] 上关于x可积，在[c,d]上关于t处处可微，且存在[a,b]上的可积函数F(x)满足|f't(x,t)|≤F(x) ( t∈[c,d])

d dt[a,b]f(x,t)dx＝[a,b]f't(x,t)dx

ddt 证明

[a,b]fdx＝t0lim[a,b]f(x,tt)dxt[a,b]f(x,t)dx

＝t0

lim[a,b]f(x,tt)f(x,t)dxt

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＝

limf(x,tn)f(x,t)n[a,b]nndx （α

n→0，n→∞）

则由微分中值定理知：ョ0≤θ

f(x,tn)f(x,t)≤1满足

f

n(x,t)＝

n＝|f't(x,t＋θ

nα

n)|≤F(x)，由控制收敛定理

知

limn

f(x,tn)f(x,t)[a,b]nf(x,tn)f(x,t)dx

＝[a,b]limnndx

d即 dt[a,b]f(x,t)dx＝[a,b]f't(x,t)dx

证毕

§５.３ (L)积分的计算

本来，（L）积分定义已经给出了计算积分的具体步骤，然而对大部分积分而言，沿着此步骤非常繁琐，在此我们介绍一些有用的工具和技巧。

例5．3．1 设

n1 x[0,1],x且 (n,m)1 mm0 x为[0,1]中无理数 R（x）＝， 求[0,1]Ｒ（x）dx＝？

解：因为R（x）＝０a.e于［０，１］，于是

[0,1]Ｒ（x）dx＝[0,1]０dx＝０。

定理５.３.１ 设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积且 1）存在[a,b]满足[a,b]fdx＝（b-a）f()

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2) [a,b]fdx＝F（b）-F(a),其中F（x）为f(x)的任一原函数。

证明 因为f(x)在[a,b]上连续，所以f在测度有限集[a,b]上有界可测，所以可积。 1）设M=

x[a,b]maxf(x) m=

x[a,b]minf(x),则

m(b-a)≤[a,b]fdx≤M(b-a),即m≤ba≤M，由连续函数介值定理知：存在[a,b]满足ba＝f()，即[a,b]fdx＝（b-a）f()。

2）令G（x）＝[a,x]fdt，则

[a,b]fdx[a,b]fdx[a,xx]f(t)dtx[a,x]f(t)dt＝

[x,xx]f(t)dt

xf(t)dt()[x,xx][x,xx]x由1）知：存在满足fxx,从而

lim故x0lim[a,xx]f(t)dtx[a,x]f(t)dt

[x,xx]f(t)dt＝

x0＝

x0xlimf(x)=f(X)

即G’(x)＝f(x),同理G’(x)＝f(x)，所以G’(x)=f(x),即F（x）＝G(x)+C,其中C=F(a)。 证毕

x为[01]中无理数时sinx arctgx2 x为[01]中有理数时 例５．３．２ 设f(x)＝，求[0,1]f（x）dx＝？

解 因为f（x）＝sin x a.e于［０，１］，[0,1]f（x）dx＝[0,1]sinxdx＝-[cos1-cos0]

＝1-cos1。

定理５.３.２ 设f(x)在[a,b]上(R)可积，则f(x)在[a,b]上(L)可积，且 (L)[a,b]fdx＝(R)afdx。

证明 记E＝[a,b]，由f(x)在E上(R)可积知：存在实数M1，M2使得M1≤f(x)≤M2，相应于每个自然数n，将[a,b]分成2等份，得到分划

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T：a＝x

n(n)0＜x

(n)1＜x

(n)2＜...＜x

(n)2n＝b

max∥Tn∥＝1i2n[xi-xi1]─→0 (n→∞)

作相应的简单函数

gn(x)＝

f(a) xa(n)(n)(n)mi x(xi1,xi]f(a) xa(n)(n)(n)Mi x(xi1,xi] k=1,2,...,2

nhn(x)＝ 其中m

(n)i k=1,2,...,2

n＝inf{f(x)｜x∈[x

(n)i1,x

(n)i]}，M

(n)i＝sup{f(x)｜x∈[x

(n)i1,x

(n)i]}

则在分划Tn下的Darboux小和、大和分别为：

s(f,T)＝

ni1(n)i2nm

(n)i[x

(n)i-x

(n)i1]＝Egndx，

S(f,T)＝

ni12nM[x

(n)i-x

(n)i1]＝Ehndx

显然，gn≤gn1≤...≤f(x)≤...≤hn1≤hn，令 g(x)＝

limng(x)，h(x)＝nhn(x)，则g(x)≤f(x)≤h(x)且

nlimsn(f,Tn)＝Egndx≤(R) afdx≤Ehndx＝Sn(f,Tn)

于是0≤[a,b][h－g]dx≤a[hn－gn]dx＝S(f,Tn)－s(f,Tn)─→0(n→∞)g(x)＝h(x) a.e于[a,b]，所以f(x)＝h(x) a.e于[a,b]，从而f(x)在E 上有界可测，

(L)[a,b]bbfd

x＝(L)[a,b]gd＝n(L)[a,b]gndx

xlim＝ns(f,Tn)＝(R)afdx

limb 证毕

定理５.３.３ 设f(x)在[a,＋∞)上定义的函数，当t∈(a,＋∞)时，f(x)在[a,t]上(R)可积，则f(x)在[a,＋∞]上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,＋∞]上广义(R)可积，且

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(L)

[a,)fdx＝(广义R)

[a,)fdx

证明 1)若f(x)在[a,＋∞]上的非负函数，则

f(x) 当xEn[a,an]fn(x)当x[a,)En0 令

则Levi定理知：(L)

[a,)fdx＝n(L)∫

limlim[a,) fndx

＝n(R) [a,an]fndx＝(广义R)

[a,)fdx

从而f(x)在[a,＋∞)上(L)可积<＝>f(x)在[a,＋∞)上广义(R) 可积

2)若f(x)在[a,＋∞)上的一般函数，则因为当t∈(a,＋∞)时，f(x)在

[a,t]上(R)可积，则f(x)在[a,t]上可测，即f(x)在[a,＋∞)＝n1[a,a+n]上可测，而f(x)在[a,＋∞)上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,＋∞)上(L)可积，又由1]知：|f(x)|在[a,＋∞)上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,＋∞)上广义(R)可积，而|fn(x)|≤|f(x)|由控制收敛定理知：

 (L)

[a,)fd＝n(L)

xlim[a,)fndx

lim ＝n(R)[a,an]fdx＝(广义R) [a,)fdx

证毕

对于瑕积分，同理可证类似的下述结果：

定理５.３.４ 设f(x)在[a,b)上定义的函数，b为f的暇点，当t∈(a,b) 时，f(x)在[a,t]上(R)可积，则f(x)在[a,b)上(L)可积<＝>|f(x)|在[a,b)上(R)瑕积分有限，且

(L)

[a,b)fdx＝(R瑕)

[a,b)fdx

例５．３．３设求

1 x为(01]中无理数时x1 x为（1，）中无理数x2arctgx2 x为(0,1]中有理数时x2f(x)＝sin[eln(1x)] x为(1,)中有理数，

(0,)f（x）dx＝？

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1 x(0,1]x1 x（1，）2解 设g(x)＝x ，则 f(x)＝g(x)a.e于（０，＋），所以

(0,)f（x）dx＝

(0,)g（x）dx＝

lim[1n11xndxn11dx]2x＝３。

由此可见例５．３．１的方法与定理３．３．１相结合是威力无穷的．

定理５.３.５ 设f(x)定义在[a,b]上的有界函数，则f(x)在[a,b]上(R) 可积<

＝>f(x)在[a,b]上几乎处处连续。

证明 此处凡未加申明的记号均与定理５.３.２证明过程中相应记号意义相同。 “＝>”，由定理５.３.２知：令E＝[a,b]，mE[h≠g]＝0，记Tn的分点全体为En，

n， i0，则mEn＝0，对x∈E－E[h≠g]－n0En，对ε＞0，|hn－gn|＜ε，x∈(x令δ＝min(x-x

ni01ni01,x)，

ni0,x-x)，

ni0当|x－x'|＜δ时，|f(x)－f(x')|≤|hn(x)－gn(x)|＜ε，故f在x处连续，从而f(x)在[a,b]上几乎处处连续。

“<＝”令E0＝｛x｜x∈[a,b]，且f在x处间断｝，则mE0＝0，对

任意x∈E－n1En，对任意ε＞0，存在δ＞0，|x－x'|＜δ时， |f(x)－f(x')|＜ε，对此δ＞0，ョN，∥TN∥＜δ，存在i0，x∈(x意x'∈(x

Ni01Ni01,x)，所以对任

Ni0,x)有|f(x)－f(x')|＜ε，即

Ni0f(x)－ε＜f(x')＜f(x)＋ε，|hN(x)－gN(x)|≤ε，当n＞N时，更有 |hn(x)－gn(x)|≤ε，则h(x)＝f(x)=g(x)， 即h＝f=g a.e与E，由有界控制收敛定理知：

limns(f,T)＝n(L) Egndx＝(L) Egdx

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＝(L) Ehdx＝

limn(L) Ehdx＝nSn(f,Tn)

nlim故f(x)在[a,b]上(R)可积。

证毕

在此我们欣慰地看到我们成功地应用Lebesgue测度与积分这块他山之石，攻破了Ｒieman积分本身无法回答的“函数Ｒieman可积的本质特征是什么？”这块玉。

§５.４ Fubini定理

我们定义Lebesgue积分的初衷之一是求函数下方图形G(f,E)(以非负函数为例)的测度，然而到目前为止，我们只定义了可测函数的积分，是否有下方图形G(f,E)是可测集，因本身不是可测函数的f而未定义积分值呢？下述截面定理将让我们打消此顾虑。为此，我们先引入截面概念。

定义５.４.１ 设E是R

qqpq中一点集，x0∈R，y0∈R， 则将

pppq｛y｜y∈R，(x0,y)∈E｝R，｛x｜x∈R，(x,y0)∈E｝R，分别称为E关于x0的截面和E关于y0的截面。并分别用Ex0，Ey0记之。

容易验证：截面具有下列简单性质： (1) 如果A1A2，则(A1)x(A2)x (2) 如果A1∩A2＝φ，则(A1)x∩(A2)x＝φ (3) (∪Ai)x＝∪(Ai)x，则(∩Ai)x＝∩(Ai)x (4) (A1－A2)x＝(A1)x－(A2)x 定理５.４.１(截面定理)设E是R

ppq中一可测点集，则

q (1) 对于R中几乎所有点x，Ex是R中可测集；

(2) mEx作为x的函数，是在R上几乎处处有定义的可测函数； (3) mE＝RpmExdx

证明 (一)当E为有界可测集时。

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(1) E为R

pqpq中左开右闭(开、闭)区间的情形：设E＝△1×△2，其中△1，△2分

别为R，R中相应的左开右闭(开、闭)区间，则

Ex＝

2 x1x1 p ，故Ex是R中可测集；mEx＝

qx1|2 |  x10

故mEx是R上定义的简单函数；且mE＝|△1|×|△2|＝RpmExdx。

(2) 设E为开集的情形：设E＝i1Ii，其中Ii是R

pq中互不相交的左开右闭区间，

则E＝i1(Ii)x，由(1)知(Ii)x是R中可测集，所以Ex也可测。又因(Ii)x互不相交，所以

xqmE＝

xi1m(Ii)x。由(1)知各m(Ii)x是R上的可测函数，所以mEx也是

pR上的可测函数，且mE＝

pi1mI

iR＝

i1pm(I)d

ixx＝Rpi1m(Ii)xdx＝RpmExdx。

(3) E为G集的情形：设E＝

i1nGi，其中Gi是R

pq中的开集，且可要求

G1G2,...,Gn,... (若不然，令On＝i1Gi即可)

则E＝i1(Gi)x，由(2)知(Gi)x是R中可测集，所以Ex也可测。又因为m(G1)x＜＋∞，

xq且(G)(G2)x,...,(Gn)x ,...由内极限定理知mEx＝nm(Gn)x。由(2)知各

1xlimm(Gn)x是R上的可测函数，所以mEx也是R上的可测函数。且

mE＝nmGn (由内极限定理) ＝n＝RplimpplimRpm(Gn)xdx (由(2)) m(Gn)xdx (由控制收敛定理)

limn精品资料 欢迎下载

＝RpmExdx。 (由内极限定理) (4) E为零测度情形：设E是R

pq中零测度集，ョG型集GE满足mE＝mG＝0，由(3)知0

＝mG＝RpmGxdx，据积分唯一性定理得

ppmGx＝0 a.e 于R，又GxEx从而更有mEx＝0 a.e 于R，所以

mEx在R上可测，且mE＝RpmExdx。

p (5) E为一般有界可测集的情形：设E＝G－N，其中G为G型集，N为零测度集(可测集的构造定理)。由于Ex＝Gx－Nx。所以由(4)得

mEx＝mGx－mNx＝mGx a.e于R，从而mEx在R上可测，且 mE＝mG＝RpmGxdx＝RpmExdx (二) 当E为无界可测集时

pp设E＝i1Ei，其中mEi＜＋∞，且Ei彼此互不相交，则

E＝i1(Ei)x，由(一)知(Ei)x是R中可测集，所以Ex也可测。又因(Ei)x互不相交，所

xq以mE＝

xi1m(Ei)x。由(一)知各m(Ei)x是R上的可测函数，所以mEx也是R上的可测函数，

pp且

mE＝＝i1mE

iR＝

i1pm(Ei)xdx

Rpi1m(Ei)x＝RpmExdx。

证毕

推论５.４.１ 设f是定义在E上的非负函数，且下方图形G(f,E)是可测集，则f在E上可测。

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证明 显然m(G(f,E)) x＝f(x)，由定理５.４.１ 2)知结论成立。

证毕

对(R)积分而言重积分可以化为累次积分来计算，对(L)重积分可以化为累次积分来计算吗？Fubini不仅对此作出了肯定的回答，而且还去掉了许多繁琐的条件。

定理５.４.２ (Fubini) (1)设f(P)＝f(x,y)为A×BR

pq(其中AR，BR

pq且均为可测集)上的非负可测函数，则对几乎所有的x∈A，f(x,y)作为y的函数在B上可测，

Bf(x,y)dy作为x的函数在A上可测，且 ABf(p)dp＝AdxBf(x,y)dy (2) 设f(P)＝f(x,y)为A×BR

pq(其中AR，BR且均为可测集)上的可积函

pq数，则对几乎所有的x∈A，f(x,y)作为y的函数在B上可积，Bf(x,y)dy作为x的函数在A上

可积，且

ABf(p)dp＝AdxBf(x,y)dy

pq1 证明 (1) 由第四章定理知：G(f,AB) 是R中的可测集，则几乎对所有的x，

（G(f,AB)）x为可测集，函数m（G(f,AB)）x 是a.e于A×B有定义的非负可测函数， 又由积分值定义得

mG(f,AB)＝ABf(p)dp (积分定义)

＝RpmG(f,AB)xdx (由定理５.４.１知)

由于 R

q1 xA{(y,z)|yB,0zf(x,y)}  xA (f,AB)（G）x＝ 所以对于x∈A，这截面实际上是将x固定后，f(x,y)看成是y的函数时在B 上的下方图形,即f(x,y) ＝m

(G(f,B))(x,y)，于是这截面可测，且由前述定理５.４.１有：m（G(f,AB)）x＝

Bf(x,y)dy，故

ABf(p)dp＝AdxBf(x,y)dy。

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(2) 设f(p)在A×B上可积，则f(p)、f(p)均在A×B上可积，且

ABf(p)dp＝ABf(p)dp－ABf(p)dp (积分定义)

 ＝AdxBf(x,y)dy－AdxBf(x,y)dy (由(1)得)

 ＝Adx[Bf(x,y)dy－Bf(x,y)dy] (积分的线性) ＝AdxBf(x,y)dy。 (积分定义)

证毕

注５.４.１ 同理ABf(p)dp＝Bdy程中某些字母要作相应的对调，此处不赘述。

Af(x,y)dx成立，当然定理叙述及证明过

注５.４.２ 从Fubini定理可以看出，只要重积分有限， 则两个累次积分应相等，这是否定可积性的一个重要方法。

x2y2222[xy]定义在E＝(0,1)×(0,1)，则 例５.４.１ 设 f(x,y)＝ AdxBf(x,y)dy＝[0,1]dx[0,1]x2y2[x2y2]2dy

12[1x]dx＝4

＝[0,1]f(x,y)dx＝[0,1]dy BdyA[0,1]x2y2[x2y2]2dx

12[1y]dy＝-4

＝[0,1]故f(x,y)在E上不可积。

第六章 积分与微分 本章先介绍单调函数、有界变差函数的定义、相互联系、基本性质；然后引入 了绝对连续概念，讨论了绝对连续函数与单调函数、有界变差函数的关系；最 后研究了牛顿莱布尼兹公式成立的充要条件是f(x)绝对连续。

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§６.１ 单调函数与有界变差函数

定理６.１.１ 设F(x)是[a,b]上定义的单调函数，则

(1) f在[a,b]上间断点至多可数，从而F在[a,b]上(R)可积， (2) F在[a,b]上几乎处处可微. (3) f=F'在[a,b]上(L)可积，并有

[a,x]fdt=[a,x]F'dt≤F(x)－F(a) ( 对 x[a,b])

证明 (1)不妨假定f(x)在[a,b]上单调增，由数学分析知：f(x)只有第一类间断

11点。令S(x)＝f(x)－f(x)并称之为f在x处的跃度，则对任意n＞0，满足En＝{x|S(x)≥n }

为有限集。（事实上，En≤n[F(b)－F(a)]），从而间断点

全体E＝n1En至多可数，由(R)可积的充分必要条件知f在[a,b]上(R)可积。

(2)关于F(x)几乎处处可微的证明，涉及维他利覆盖和导出数概念，已超出本 教材范围，故此处省去其严格的证明过程，但附录予本教材末供读者自学。 (3)为了叙述方便，我们补充规定：当x>b时，F(x)≡b。此时，F(x)在 [a，+∞)几乎处处可微，所以对于任意极限为0的数列{hn}，有

1 hn[F(t+hn)－F(t)]─→F'(t) a.e于[a,b]

则

[a,x]1limhtF'(t)d≤nn[a,x] [F(t+hn)－F(t)]dt (Fatou引理)

1＝h0hlim[a,x][F(t+h)－F(t)]d

t (海涅极限定

理)

1＝h0h[[ah,xh]F(t)dt－[a,x]F(t)dt] (R积分的变量替换) lim精品资料 欢迎下载

1＝h0h[[ah,x]F(t)dt+[x,xh]F(t)dt－[a,x]F(t)dt] lim1＝h0h[[x,xh]F(t)dt－[a,ah]F(t)dt] lim1≤h0h[F(x+h)×h－F(a)×h] (由F(x)的单调性及R积分的性质得,这里 h>0) lim＝F(x)－F(a)

证毕

定义６.１.１ f在[a,b]上有定义，对任意分划T:a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn＝

b，称

Vab(f,T)＝

i1n|f(x)－f(x

ii1)|为f关于分划T的变差，称

Vab(f)＝

supVTba(f,T)为f在[a,b]

上的全变差，若

Vab(f)＜＋∞，则称f是[a,b]上的有界变差函数。

显然，有界变差函数是有界函数。事实上，|f(x)－f(a)|≤

Vab(f)，对任意x∈[a,b]

有 |f(x)|≤

Vab(f)＋|f(a)|＝M＜＋∞

根据全变差定义求全变差较麻烦，对于单调函数而言确相当简单。

例６.１.１ [a,b]上定义的任一单调函数f(x)都是有界变差函数，且

Vab(f)＝｜f(b) －f(a)|

证明 不妨假定f单调增，因为对任意的分划T:a＝x＜x＜x＜,...,x＝b有

012nVab(f,T)

＝

i1n|f(xi)－f(xi1)|＝f(b)－f(a)，故

baV(f)＝f(b)－f(a)＜＋∞，即f(x)是有界变差函数。

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证毕

既然对于单调函数而言求全变差是如此简单，那么是否对于较复杂的函数可以 分成若干个单调区间各个击破呢？答案是肯定的，有下述定理作为保证。 定理６.１.２ 若f是[a,b]上的有界变差函数，则对任意c∈(a,b)有

Vbca(f)＝

Va(f)＋

Vbc(f)

证明 对任意ε＞0，存在分划T:a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn＝b满足

nVba(f,T)＝

i1|f(xi)－f(x

i1)|≥

Vba(f)-ε，如果此分划中没有分点c就添上它，假定有分点c，从而存在n1，n2满足

T1:a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn1＝c，T2:c＝x0＜x1＜x2＜,...,xn2＝b

Vbcbba(f,T)＝

Va(f,T1)＋

Vc(f,T2)≥

Va(f)-ε，

cbb故

Va(f)＋

Vc(f)≥

Va(f) (1)

反过来， 对任意ε＞0，存在分划T1:a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn1＝c， T2:c＝x0＜x1＜x2＜,...,xn2＝b满足

n1Vcca(f,T1)＝

i1|f(xi)－f(xi1)|≥Va(f)-2

Vbc(f,T2)＝

n2i1|f(yi)－f(yi1)|≥V(f)- 2, 取T1与T2的“合并”

T:a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn1＝c=y0＜y1＜y2＜,...,yn2＝b则

cbc

Vba(f,T)＝

Va(f,T1)＋

Vc(f,T2)≥

Va(f)＋

Vbc(f)-ε,

因始终

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故

Vab(f)Vac(f)＋

Vcb(f) (2)

综合(1)、(2)即得

Vab(f)＝

Vac(f)＋

Vcb(f)

证毕

例６.１.２

xsin1 x(0,1] f(x)＝x0 x0

不是[0,1]上的有界变差函数，但

x2sin1x x(0,1]g(x)＝0 x0

是[0,1]上的有界变差函数。

11,

1 事实上，f(x)、g(x)的局部极大值、极小值点交替为

2，

2

2

32，1n2，...，...

11V11

V0(f)≥

n2(f) ＝|sin1－2|＋in11|

i2＋

(i1)2|

n＋∞

xsin1 x(0,1]故

f(x)＝x0 x0

不是[0,1]上的有界变差函数。

1[12[1]2

V0(g)＝|sin1－(2)2|＋i1|

i]2－(i1)2|

＜＋∞,

21xsinx x(0,1] 故g(x)＝0 x0 是[0,1]上的有界变差函数。

...，

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证毕

注：将g(x)中x处换为x (α＞1)同样可证是[0,1]上的有界变差函数。 定理６.１.３ 设f(x)，g(x)是[a,b]上的有界变差函数，则f(x)±g(x)、 f(x)g(x)是[a,b]上的有界变差函数；如果存在δ＞0满足|g(x)|≥δ，也是[a,b]上的有界变差函数。

证明 对任意的分划划T:a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn＝b,xn＝b有

f(x)g(x)2

Vab[(f±g),T]＝

i1n|[f(xi)±g(xi)]－[f(xi1)±g(xi1)]|

≤

i1n|[f(x)－[f(x

ii1)|＋

bai1n|g(xi)－g(xi1)|

≤

Vab(f,T)＋

Vab(g,T)≤

V(f)＋

Vab(g)，故

Vab[(f±g),T]≤

Vab(f,T)＋

Vab(g,T)＜＋∞

即f(x)±g(x)是[a,b]上的有界变差函数。

Vab[(fg),T]＝

i1n|[f(xi)g(xi)]－[f(xi1)g(xi1)]|

≤

i1n|[f(x)－f(x

ii1)]g(x)|＋

ii1n|[g(xi)－g(xi1)]f(xi1)|

≤M

fVab(f,T)＋M

gVab(g,T)≤M

fVab(f)＋M

gVab(g)，

故

Vab(fg)≤MfVab(f)＋MgVab(g)＜＋∞,其中Mf，Mg分别为函数f,g在[a,b]上的界，即

f(x)g(x)是[a,b]上的有界变差函数。

如果存在δ＞0满足|g(x)|≥δ，

nn111|||g(xi)g(xi1)|Vga(2)＝i1g(xi)g(xi1)≤i1

bV(g)11aV2即 a(g)≤＜＋∞，即g(x)也是[a,b]上的有界变差函数，从而

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f(x)g(x)也是[a,b]上的有界变差函数。

证毕

定理６.１.４ f(x)是[a,b]上的有界变差函数的充分必要条件是f可以表成两个单调函数之差。

证明

“＝>”事实上，f(x)＝

Vax(f)－[

Vax(f)－f(x)]，其中

Vax(f)显然是单调增函数，g(x)

＝[

Vax(f)－f(x)]也可以证明是单调增函数。事实上，当x1＜x2时,

x2ax1ag(x)－ g(x)＝│

21V(f)－f(x)│－│

2V(f)－f(x1)│

＝

Vx1x2(f)－[f(x2)－ f(x1)]≥0，故g(x)是单调增函数。

“<＝” 设f(x)＝f1(x)－f2(x)，其中f1(x)与f2(x)都是单调增函数。 从而f1(x)与f2(x)都是有界变差函数，故f(x)是有界变差函数。

证毕

§６.２ 绝对连续函数

定义６.２.１ f在[a,b]上有定义，对任意ε＞0,ョδ＞0，对任意有限数n，当互不相交区间(αi,βi)满足：

i1n|β-α|＜δ时，有

iii1n|f(βi)-f(αi)|＜ε，则称f(x)为E上的

绝对连续函数。

定理６.２.１ 若f是在[a,b]上定义的绝对连续函数，f是连续的有界变差函数。

证明 对任意ε＞0,ョδ＞0，对n=1，当|β-α|＜δ时，|f(β)-f(α)|＜ε，

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即f在[a,b]上一致连续。

对任意ε＞0,ョδ＞0，取a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn＝b满足 xi－xi1＜δ，对任意有限数ni，当互不相交区间(α

ij,β

ij)(xi1,xi)时有

Vxi

j1ni|β

nij-α

Vxiij|＜δ,从而有

j1ni|f(β

ij)-f(α

ij)|＜ε，

xi1(f)≤ε＜＋∞，

Vab(f)＝

i1xi1(f) ≤nε＜＋∞ 即f是有界变差函数。

证毕

推论 若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f可以表成两个单调函数之差。 定理６.２.２ 设f(x)，g(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x)±g(x)、

f(x)f(x)g(x)是[a,b]上的绝对连续函数；如果g(x)≠0，g(x)也是[a,b] 上的绝对

连续函数。

证明 f在[a,b]上有定义，对任意ε＞0,ョδ＞0，对任意有限数n，当互不相交区间

n(αi,βi)满足：

i1|βi-αi|＜δ时，

ni1n|f(βi)-f(αi)|＜2，i1|g(βi)-g(αi)|＜2，

i1n|[f(βi)±g(βi)]－[f(α

i1)±g(α

i1)]|＜ε，

故f(x)±g(x)是[a,b] 上的绝对连续函数。 其余证明留给读者。

(思考为什么此处未明文要求“存在δ＞0满足|g(x)|≥δ”？)

定理６.２.３ 设f(x)是定义在[a,b]上的Lipschtz函数，则f是绝对连续函数。

证明 因为f(x)是定义在[a,b]上的Lipschtz函数，所以，存在M＞0， 对任意x1，

x2∈[a,b]有|f(x1)－f(x2)|≤M|x1－x2|，故对任意ε＞0,ョδ＝M， 对任意有限数n，当

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互不相交区间(αi,βi)满足：

i1n|βi-αi|＜δ时，

i1n|f(βi)-f(αi)|＜MM＝ε

即f是绝对连续函数。

定理６.２.４ 设f(x)是定义在[a,b]上Lebesgue可积函数，则f(x)的不定积分F(x)＝∫[a,x]fdt是绝对连续函数。

证明 由积分绝对连续性知:对任意ε＞0,ョδ＞0，当A[a,b]，mA＜δ时|Afdt|≤A|f|dt＜ε，于是对任意有限数n，当互不相交区间(α

i,β

i)满足： 令A＝

i1n[α,β]，则mA＝

iii1n|βi-αi|＜δ时，有

ni1nn|F(β)-F(α

ii)|＝|

i1[i,i]fdt|

≤

i1[ii]|f|dt≤A|f|dt＜ε，

故F(x)＝[a,x]fdt是绝对连续函数。

证毕

§６.３ 微分与积分

引理６.３.１ 若f(x)是定义在[a,b]上Lebesgue可积函数，且 F(x)＝[a,x]fdt＝0，则f(x)＝0 a.e于[a,b]。 证明 1)对任意开区间(α，β) [a,b]有

(,)fdt＝

[a,)fdt－[a, ]fdt＝0

2) 对任意开集G＝

i(αi，βi)[a,b]有

Gfd

t＝

i(i,i)fdt＝0

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3) 对任意闭集F[a,b]，则G＝[a,b]－F开，故

Ffdt＝[a,b]fdt－Gfdt＝0

4) 若f(x)＝0 a.e于[a,b]不真，不妨假定mE[f＞0]＞0，则存在n满足

11mE[f＞n]＝δ＞0，由可测集的性质知：存在闭集F0E[f＞n ]满足

mF0＞δ/2，故

F01fdt≥n mF0＞0，矛盾。

定理６.３.１ 若f(x)是定义在[a,b]上的Lebesgue可积函数，且 F(x)＝[a,x]fdt，则F'(x)＝f(x) a.e于[a,b]。 证明 (分三步证明之)

(1) 设f是有界函数，即|f(x)|≤K，x∈[a,b]，令F(x)＝[a,x]fdt， 若h≠0，则有

11 │h[F(x+h)－F(x)]│＝│h[x,xh]fdt│≤K

因为G(x)绝对连续，几乎处处可微，所以对于任意极限为0的数列{hn}，有

1hn [F(x+hn)－F(x)]─→F'(x) a.e于[a,b]

则

[a,x]1limF'(t)fdt＝n0hn[a,x][F(t+hn)－F(t)]dt (有界控制收敛定理)

＝

limh01h[a,x][F(t+h)－F(t)]dt (海涅极限定

理)

1lim＝h0h [[ah,xh]F(t)dt－[a,x]F(t)dt] ( R积分的变量替换)

＝h0lim1h[[x,xh]F(t)dt－[a,ah]F(t)dt]

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1lim＝h0h{F[x+θ1(h)h]h－F[a+θ

2(h)h]h} (0<θ1(h)<1,0<θ

2(h)<1)

＝F(x)－F(a) ＝F(x) (因为F连续，且F（a）＝0) 即[a,x](F’-f)dt＝０,由引理6.3.1知F’=f a.e于[0，1]

(2) 设f是非负可积函数，则存在有界非负简单函数列满足 fn(t)≤fn1(t)≤f(t)，fn(t)→f(t) (n→＋∞)，于是 Fn(x)＝[a,x]fndt，则F'n(x)＝fn(x) a.e于[a,b]。

F(x)＝[a,x]fndt＋[a,x][f(t)－fn(t)]dt ，其中[a,x] [f(t)－fn(t) ]dt 关于x单调增，几乎处处存在非负导数，所以F'(x)≥fn(x)，令n→＋∞得 F'(x)≥f(x)，从而[a,x]F'(t)dt≥[a,x]f(t)dt。另一方面，

[a,x]F'(t)dt≤F(x)－F(a)＝[a,x]f(t)dt，

即[a,x]F'(t)dt＝[a,x]f(t)dt，由引理6.3.1知：F'(x)＝f(x) a.e于[a,b]。 (3) 设f是一般可积函数，则F(x)＝[a,x]fdt－[a,x]fdt

由(2)知：F'(x)＝f(x)－f(x) a.e于[a,b]。

证毕

引理６.３.２ 设F(x)是[a,b]上的绝对连续函数，且F'(x)＝0 a.e于[a,b]， 则F(x)为常值函数。

证明 我们把证明分成两步：

0 1 先证F(b)＝F(a)，对任意ε＞0，由假设：F(x)是[a,b] 上的绝对连续函数，所以ョ δ＞0，对任意有限数n，当互不相交区间(αi,βi)满足：

i1n|β-α|＜δ时，有

iii1n|F(βi)-f(αi)|＜ε (1)

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记E0＝｛x｜F'(x)＝0 ，x∈[a,b]｝，从而m([a,b]－E0)＝0，所以对上述δ＞0，存在开集G[a,b]－E0且mG＜δ.设｛(αi,βi)｝为G的构成区间族，则

m

i(αi，,βi)＝

i(βi-αi)＝mG＜δ

对任意ε＞0，y0∈[a,b]－E0存在h＝h(ε，y0)＞0，使得y∈(y0－h，y0＋h)时

F(y)F(y0)yy0||＜ε (2)，

这时开区间族｛(αi，,βi)｝∪｛(y0－h，y0＋h)｜y0∈[a,b]－G ｝是[a,b]－G。的一个开覆盖，根据有限覆盖定理存在有限个开区间覆盖有界闭集[a,b]－G。设它们是｛ (αi，,βi)｜i=1,2,...,n｝∪｛(yj－h，yj＋h)｜j=1,2,...,m｝

对有限点集｛αi,βi,yj｜i=1,2,...,n,j=1,2,...,m｝作适当的增删处理，然后按大小顺序排列，使之成为[a,b]的一个分划。

T:a＝x0＜x1＜x2＜,...,xn＝b 并且使得任何(xk1 ，xk)必属于以下两种情形之一 (i)包含在某个(αi，,βi)之中

(ii)包含在某个(yj－h，yj＋h)之中，且有一端点刚好是yj

由此， |F(b)-F(a)|≤

i1n|F(xk)-F(xk1)|

＝∑'|F(xk)-F(xk1)|＋∑''|F(xk)-F(xk1)|

其中∑'|F(xk)-F(xk1)|和∑''|F(xk)-F(xk1)|分别表示具有形式(i)和(ii)的 (xk1 ，xk)求和，根据(1)有 ∑'|F(xk)-F(xk1)|＜ε

根据(2)有 ∑''|F(xk)-F(xk1)|＜ε∑''|xk-xk1|≤ε(b－a)由ε

的任意性,即得

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F(b)=F(a).

2 对任意的x∈[a,b]，用[a,x]代替[a,b]重复1的讨论，便得到F(x)＝F(b). 证毕

定理６.３.２ F(x)－F(a)＝[a,x]F'(t)dt <＝> F(x)为绝对连续函数 证明 “＝>”由定理6.2.4即得。

“<＝”因为F(x)为绝对连续函数，所以F'(x) Lebesgues可积， 令φ(x)＝[a,x]F'(t)dt，则φ(x)为绝对连续函数，再令ψ(x)＝F(x)－φ(x) 则ψ(x)也是绝对连续函数，且ψ'(x)＝F'(x)－φ'(x)＝F'(x)－F'(x)＝0 a.e于 [a,b]，由引理6.3.2知，ψ(x)为常值函数。而ψ(a)＝F(a)－φ(a)＝F(a)，即 F(x)－φ(x)≡F(a)，故F(x)－F(a)＝[a,x]F'(t)dt。

证毕

定理６.３.３ (分部积分公式)设f(x)、g(x)为[a,b]上的绝对连续函数，则

[a,b]00f(t)g'(t)d＝f(t)g(t)│－[a,b]g(t)f '(t)dt

tba 证明 因为(f(t)g(t))'＝f'(t)g(t)＋f(t)g'(t) 所以f(t)g'(t)＝(f(t)g(t))'－f'(t)g(t) 于是[a,b]f(t)g'(t)dt＝[a,b](f(t)g(t))'dt－[a,b]f'(t)g(t)dt 由定理6.3.2知：[a,b](f(t)g(t))'dt＝f(b)g(b)－f(a)g(a) 即[a,b]f(t)g'(t)d＝(f(t)g(t))|－[a,b]f'(t)g(t)dt

tba 证毕

附 录 1. 不可测集

为了证明并非所有集合都可测，我们先引入平移变换，并讨论其外测度和可测性的平移不变性。

定义1 设α=(a1,a2,...,an)∈R，称τ

n：x─→x＋α为R上的α平

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移变换，τ

E＝｛x＋α｜x∈E｝为E的α平移集。

3 对R、R的情形，解析几何已证平移变换保持线段长短，角度大小，图形面积、体积不变，今在一般的R中证平移变换保持集合的可测性、外测度、测度不变。

定理1 对任意ER，有mE＝m(τ 证明 1) 显然，对任何区间I，τ集G，ττ

n**2nE)，且E可测<＝>τ

E可测。 I|， 对任何开

I仍为区间，且|I|＝|τ

G仍为开集，且|G|＝|τ

*G|，对一般集合E，当开集GE，

GτE，于是有 mE＝inf｛|G|｜G开，且G E｝

 ＝inf｛|τ同理m(τ

**G|｜G开，且τ

*Gτ

E｝≥m(τ

*E)

*E)≥m[τ

*(τE)]≥mE，[其中－α=(-a1,-a2,...,-an)]

故mE＝m(τE)。

***c 2) 若E可测，则对任意T有mT＝m(T∩E)＋m(T∩E)，从而 对任意T有m(ττ

*T)＝m[τ

*(T∩E)]＋m[τ(T∩Ec)＝τT∩τ

*(T∩E)]，又因为

c(T∩E)＝τ

*T∩τ

E，τ

*T∩(τ

*E)，故

c对任意T有m(τ由于这里τ

T)＝m[τ

E]]＋m[τ

T∩τE]

cT可以取到任意集合，所以τ

E是可测集。

 3) 若τE可测，则由2)知τ

[τE]＝E可测。

证毕

定理2 R任何一个外测度为正的集合E内都存在不可测子集E0 证明 为了叙述方便，只证n＝1，E＝[0,1]的特殊情形。

1) 将[0,1]中所有数按下述标准进行分类，两数x，y当且仅当其差x－y是有理数时

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归为同一类，记为x∈[y]或y∈[x]，即[x]＝｛y｜x-y为有理数｝。

2)若[x]∩[y]≠ф，则[x]＝[y](事实上，因为[x]∩[y]≠ф，则ョ z∈[x]∩ [y]，则(x－z)，(y-z)均为有理数，对任意w∈[x]，x－w为有理数，则y－w＝(y－z)＋(z－x)＋(x－w)为有理数，即w∈[y]，所以[x]∩[y]，同理[y]∩[x]，故[ x]

＝[y]).

3) 在每一类集中取一个数且只取一个数作为代表组成一个集合E0，则E0不可测。现反证如下：

设[-1,1]中有理数全体为：r1，r2，...，rn，...，如果E0是可测集，则 a) En＝τ

rnE0(n=1,2,...)可测，且互不相交。(事实上，由定理３.１. １４知En可

测，当n≠m时，若ョz∈En∩Em，则ョx，y∈E0满足z＝x＋rn＝y＋rm，故x－y＝rn－rm≠0，即x∈[y]与En构造相矛盾.

b) [0,1]

n1En[-1,2] (后一个包含关系显然， 只须证前一个包含关系,对任意

z∈[0,1]，ョx∈E0，z∈[x]，即ョ rn z－x＝rn，即

z＝x＋r∈E 故[0,1]n1En)。

nn c) 由b)得 1≤n1mEn≤3，由定理1知：对任意n有mEn＝mE0.

如果mE＝0，则n1mEn＝0，与第一个不等式相矛盾。若mE0＞0，则

0n1mEn＝＋∞，与第二个不等式相矛盾。故E0为不可测集。

2． 一般集合的抽象测度和抽象积分

这里的“一般”二字主要体现在：定义对象更具普遍性，不一定是n 维空间的 点集可以是一般集合。这里的“抽象”二字主要体现在：定义对象即使是n 维空间 的点集其测度值也不一定具有象Lebesgues测度那样的刚好是区间的长度， 矩形的

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面积，长方体的体积。我们之所以仍称之为测度，是因为它仍具有测度的非负性， 空集零值性，可列可加性，其具体定义如下：

定义2 设μ是定义在集合族R 上的广义（即允许函数值为＋∞）集函 数，如果f满足

1) μ(φ)＝0 2) μ(E)≥0

3) 当E互不相交时，μ (

nn1E)＝n1μEn

n则称μ是定义在集合族R上的测度。 例1 对任一集合族R，令

 当A为R的无限子集时A 当A为R的有限子集时 (A)＝ μ一种测度。

则μ是R上的测度，即传统的对集合元素个数计数也是

例２ 设Ω是概率论中的样本空间，P(A)表示Ω中的任一事件A的概率， 则P为定义Ω上的测度。

概率作为测度有一重要特征，就是P(Ω)＝1，我们将类似的全集测度值为1 的 测度称为标准测度（或规范测度）。

例３ 设g(x)为R上的右连续的广义单调增函数，则令 μ{(a,b)}＝g(b)－g(a) （同理μ{[a,b]}＝g(b)－g(a)， μ{a,b

1}＝g(b)－g(a)，μ

{a,b}＝g(b )－g(a)，

对任意的开集规定G＝

i1(a，b)，|G|＝

iii1[g(bi-)－g(ai+)]，对直线上任

一集合E，我们规定称μE＝inf｛|G|｜G开，且GE｝为E关于分布函数g(x)的Lebesgue

*＿Stiejes 外测度， 并同理可证Lebesgue＿Stiejes外测度的单调性、非负性、可列可加性。如果对任意T有μT ＝μ(T∩E)＋μ(T∩E)，则称E为Lebesgue＿Stiejes可测集，简称E为L-S可测。并称μE为E的L-S测度，简记为μE。仿照第三章第二节可以证明Lebesgue＿Stiejes可测集全体组成的集族R是一个对至多可数次交、并、余、差运算封闭的系统，且满足可列可加性，Lebesgue＿Stiejes测度是R上满足定义２的测度， Lebesgue＿Stiejes外测度，也可以类似地构造出Lebesgue＿Stiejes不可测集。其实，第三章第二节中介绍的Lebesgue测度

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是g(x)＝x时特殊的Lebesgue＿Stiejes测度。

值得注意的是例３不仅给出了Lebesgue＿Stiejes测度的例子，也以解剖“肝胆俱全的小麻雀”方式展出了对一般集合族规定测度的方法。

无论何种测度，我们都可以在它的基础上完全平行地建立相当于Lebesgue测度和Lebesgue积分的测度和积分的概念和相关理论。设μ为Rn某子集族上的测度，f是定义在μ可测集E上的函数，若对 a,E[f≥a]为μ可测集，则称f为在E上的μ可测函数。且同理可证，f在E上μ可测的充要条件是G(f,E)为μ可测集，

（μ）Efdxx＝μG(f,E)，（μ）Efdx＝μG(f存在μ积分值，并规定μ积分值为

,E)至少有一个有限，则称f(x)在E上

（μ）Efdx＝（μ）Efdx－（μ）Efdx＝μG(f,E)－μG(f,E)；

如果－∞＜（μ）Efdx＜＋∞，则称f在E上μ可积。

特别地，对于R上的右连续的广义单调增函数g(x)导出的Lebesgue＿Stiejes测度，我们可以定义相应的Lebesgue＿Stiejes可测函数，f(x)关于g(x)在Ｅ上的Lebesgue＿Stiejes积分

1f(x)d(L-S)

Eg(x)，并讨论相应的一系列积分性质。对有界变差函数(x)，根据Jordan分解定理(x)＝g1(x)-g2(x),其中g1(x)、g2(x)单调增，从而可以规定

f(x)d(L-S)

E(x)f(x)d＝(L-S)

Eg1(x)f(x)d－(L-S)

Eg2(x)

并也称此极限为f(x)在[a,b]上关于(x)的Lebesgue＿Stiejes积分。 不难证明本教材的外测度与其它大部分教材规定的外测度

mE＝inf{

*i1|Ii||i1IiE, Ii为开区间}

是完全等价的，值得注意的是基于Lebesgue测度的Lebesgue积分之所以范围比Riemann积分范围广泛，就在于Lebesgue测度成功地将Riemann积分的几何基础Jordan外测度 （mE）J*＝inf{

i1s|Ii||i1IsiE, Ii为开区间}中的有限数s改成了+。事实上，如用P，Q分别表示

***［０，１］中的有理数集和无理数集，则（mE）JP＝（mE）JQ＝１，从而不满足（mE）JP+（mE）JQ＝（mE）J[0,1],可加性受到破坏。即［０，１］中的有理数集和无理数集中至少有一个不是Jordan外测度导出的Jordan可测集。也就是说，Jordan可测比Lebesgue可测范围狭

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窄得多。

对于［a,b］上定义的有限函数f(x)、g(x)，我们既可仿Riemann积分定义对任意一分划 T：a＝x0f()[g(x)g(xiii1ni1)]，其中

i[xi1,xi]，

如果当(T)0时，这和数总趋于一确定的有限极限（不论T如何取法，也不论界点取法如何），则称f(x)在[a,b]上关于g(x)为Riemann＿Stiejes可积的，并称此极限为f(x)在[a,b]上关于g(x)的Riemann＿Stiejes积分，并记为(R-S)上关于g(x)的Riemann＿Stiejes积分(R-S)ag1(x)-g2(x)有

(R-S)abbbaf(x)dg(x)。

不难仿照Riemann积分证明，当f(x)、g(x)分别为［a,b］上连续、单调增函数时，f(x)在[a,b]

f(x)dg(x)存在，进而对有界变差函数(x)＝

f(x)d(x)＝(R-S)abf(x)dg1(x)－(R-S)abf(x)dg2(x)存在。

当然也可以利用单调增函数g(x)直接导出平面上的Rordan测度，并相应规定图象与X轴所夹图形的Riemann＿Stiejes测度的代数和为Riemann＿Stiejes积分。

3．单调函数的可微性

定义3 设若f(x)是定义在[a,b]上的有限函数，x0∈[a,b]， 若ョhn→0(hn≠0，x0＋hn∈[a,b])使得

f(xhn)f(x)limhnn ＝λ，(这里λ既可以是有限数，又可以是±∞)

则称λ为f(x)在x0处相应于{hn}的列导数(或称λ为f(x)在x0点的一个列导数，有时又称λ为f(x)在x0点的一个导出数)，记成λ＝D{hn}f(x0)(或简记为Df(x0))，若f(x)在x0点的一切列导数相等（不排除），则称f(x)在x0点可微(广义可微)，并称这个列导数的共同值为f(x)在x0点的导数，记作f'(x0)

注１ 函数在一点的列导数可以多个值。

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例4 考查函数

x0sin x0 x0 f(x)＝ 在x＝0处的列导数情况。

1 对任意λ∈(,)取hn＝

f(hn)f(0)hn[2n2n2n，

则＝

]2nsin2n

lim[2n

f(hn)f(0)limhnn＝n

]2nsin2n

lim＝n 2n

1[2n]2n＝λ

f(hn)f(0)11[2n]2nlimlimhn2sin2＝＋∞ 2有 n对 hn＝＝n

f(hn)f(0)11[2n]2nlimlimhnnn2sin(-2)＝－∞ 2对h＝有 ＝n

1因此，f(x)在x＝0处可以取广义实数集[－∞,＋∞]中的任何值为列导数。 注２ 如果f(x)在x0处广义可微，则函数既可能在x0处连续，也可能在x0处不连续。

例5

x x0x x0 f(x)＝

对任意hn→0(hn≠0，x0＋hn∈[a,b])使得

f(xhn)f(x)limhnn

＝＋∞，即f'(0)＝＋

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所以f(x)在x＝0处广义可微，显然f(x)在x＝0处连续。 例6

x01  x00 1 x0 f(x)＝

对任意hn→0(hn≠0，x0＋hn∈[a,b])使得

f(xhn)f(x)limhn n＝＋∞，即f'(0)＝＋∞

所以f(x)在x＝0处广义可微，但f(x)在x＝0处间断。

1 定义4 设ER，μ＝｛I｜I为闭区间，且|I|＞0｝，且任意x∈E，ョ In∈μ

使得x∈In，|In|→0(n→+∞)，则称μ依Vitali意义覆盖E.

引理1 设ER为有界集，μ依Vitali意义覆盖E，则可从μ中选出至

1多可数个互不相交的闭区间列I，I，... 使得 m(E－

12nIn)＝0

证明 设E△＝(a,b)，由于μ依Vitali意义覆盖E，则μ中去掉所有不含于(a,b)内的那些闭区间I后剩下的集族μ0仍然依Vitali意义覆盖E，以下用归纳法证明： 设

0α0＝sup｛|I|｜I∈μ0｝，则α0＞0，先从μ0中任取一个闭区间I1，满足|I1|＞2，如果

m(E－I1)＝0，则引理得证。

如果m(E－I1)≠0，则令G1＝(a,b)－I1为开集，α1＝sup｛|I|｜I∈μ0，IG1｝，先从μ0中任取一个闭区间I2，满足I2G1

212212|I|＞，则闭区间I、I互不相交，如果m(E－k1Ik)＝0，则引理得证。

如果m(E－k1Ik)≠0，则按上述办法继续进行。 一般地，设I1、I2、...、In是已经从μ0中选出的互不相交的闭区间，

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如果m(E－

nk1I)＝0，则引理得证。如果m(E－k1Ik)≠0，则0

kn令G＝(a,b)－k1Ik为开集，α

nnn＝sup｛|I|｜I∈μ0，IGn｝，先从μ0

an1中任取一个闭区间In，满足InGn，|In|＞2，...

如果上述过程至有限步而终止，则引理得证。否则，就得到一列互不相交的闭 区间I1、I2、...、In、...现证

m(E－k1Ik)＝0，

作Dk满足与Ik相同的中点且|Dk|＝5|Ik|，如果能证明对任意i有

 E－k1IkkiDk （＊）

则 0≤m(E－

k1I)≤m(

kkiD)≤

kki|D|＝ki5|Ik|─→0(i→∞)，从而引理得证。

k 事实上，对 x∈E－k1Ik及对 i ョI∈μ0，且x∈I，IGi， 则ョn＞i， IGn，否则，对 n 有GnI，0≤|I|≤α

n＜2|In|→0，从而|I|＝0，矛

盾。用n0表示满足IGn且n≥i的最小n，即当n＝n0－1时，GnI，

IGn0，于是I∩In0≠φ且0≤|I|≤αx∈IDn0，故（＊）式成立。

证毕

推论1 设ER为有界集，μ依Vitali意义覆盖E，则对任意ε＞0

1n01＜2|In0|，从而IDn0，即

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可从μ中选出有限个互不相交的闭区间I，I，... 使得 m(E－k1Ik)＜ε

12n 证明 由引理１知ki|Ik|─→0(i→∞)，对ε＞0，

ョi0, mki0Ik≤mki0|Ik|＜ε，

即m(E－k1I)≤m(E－k1I)＋ m(

kki0ki01Ik)＜ε。

证毕

引理2 设f(x)在[a,b]上严格单调增，对任意p≥0,令

E＝｛x｜x∈[a,b]，且ョ一个列导数D {hn}f(x0)≤p｝，则 mf(E)≤pmE， 其中f(E)＝｛f(x)｜x∈E｝

证明 对ε＞0，ョ开集G E，mG＜mE＋ε，任取常数 p0＞p及任意 x0∈E，由列导数定义知：ョhn→0( hn≠0，x0＋hn∈[a,b])使得

f(xhn)f(x)limhnn*** ＝D{hn}f(x0)≤p＜p0

当hn＞0时，记 In(x0)＝[x0,x0+hn]，△n(x0)＝[f(x0),f(x0+hn)] 当hn＜0时，记 In(x0)＝[x0+hn,x0]，△n(x0)＝[f(x0+hn),f(x0)] 由于f(x)在[a,b]上严格单调增，故m(△n(x0))＞0，且f(In(x0))△n(x0) 既然m(In(x0))→0(n→∞)，且G为开集，故ョNx0，当n＞Nx0时

f(x0hn)f(x0)hn In(x0)G ，

＜p0，即m(△n(x0))＜p0m(In(x0))

又因为m(In(x0))→0(n→∞)，故闭区间集族μ0＝｛△n(x0)｜x0∈E，n＞Nx0｝依Vitali

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意义覆盖f(E)，由引理1知：存在互不相交的区间△ni(xi)，使得

m[f(E)－

i△ni(xi)]＝0，从而有

mf(E)≤

*kim(△(x))＜p

nii0kim(I(x))＝pm(

nii0iIni(xi))

iIni(xi)G，故mf(E)＜p0mG＜p0(mE＋ε)

****令ε→0，p0→p，得mf(E)≤pmE

证毕

引理３ 设f(x)在[a,b]上严格单调增，对任意q≥0,令

E＝｛x｜x∈[a,b]，且ョ一个列导数D{hn}f(x0)≥q｝，则mf(E)≥qmE， 证明 对 ε＞0，ョ开集Gf(E)，mG＜mf(E)＋ε， 记S＝｛x0｜x0∈E,f(x)在x0处连续｝，则E－S至多可数。

当q＝0时，定理显然成立。不妨假定q＞0任取常数0＜q0＜q及任意x0∈E， 由列导数定义知：ョhn→0(hn≠0，x0＋hn∈[a,b])使得

f(xhn)f(x)limhnn*** ＝D{hn}f(x0)≥q＞q0

当hn＞0时，记 In(x0)＝[x0,x0+hn]，△n(x0)＝[f(x0),f(x0+hn)] 当hn＜0时，记 In(x0)＝[x0+hn,x0]，△n(x0)＝[f(x0+hn),f(x0)] 如果x0∈S，则f(x0+hn)→f(x0)∈G (n→∞)，因此，ョNx0，当n＞Nx0时

f(x0hn)f(x0)hn△n(x0)G ，

＞q0，即

m(△n(x0))＞q0m(In(x0))又因为m(In(x0))→0(n→∞)，故闭区间集族μ0＝｛△n(x0)｜

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x0∈S，n＞Nx0｝依Vitali意义覆盖f(E)，由引理1知：存在互不相交的区间Ini(xi)，使得m(S－

iiIni(xi)＝0，由f(x)严格单调增知：各△ni(xi)也互不相交，又因

△(x)G，E(E－S)∪(S－

niiiI(x))∪(

niiiIni(xi))，

故mE≤

*i1m(Ini(xi))＜q0i1qnii0m(△(x))＝m(i△ni(xi))

11* ＜q0mG＜q0(mf(E)＋ε)

1q令ε→0，q0→q，得mE≤

*mf(E)，即mf(E)≥qmE

*** 证毕

定理4 设f(x)是[a,b]上的单调函数，则f在[a,b] 上几乎存在有限导 数。

证明 只证f(x)在[a,b]上单调增的情形，不妨设f(x)严格单调增，否则考虑 与f(x)有相同有限可微点的函数f(x)＋x即可。

(1) 记E1＝{x｜x∈[a,b]，f在x处至少有两个不同的列导数}， 则对任意二正有理数p＜q，令Ep,q＝｛x｜x∈[a,b]，ョD{hn}f(x0)≤pE1＝p,qEp,q，而由引理２和引理３知：qmEp,q≤mf(Ep,q)≤pmEp,q 故mEp,q＝0，即mE1＝0。

(2) 记E2＝{x｜x∈[a,b]，Df(x0)＝＋∞}，则对Mョ{h'n}有 D{h'n}f(x0)＝＋∞＞M，于是f(b)－f(a)≥mf(E2)≥MmE2，故mE2＝0. 故f在[a,b]－E1－E2上处处可微，即f在[a,b]上几乎存在有限导数。 证毕。

推论1 设f(x)是[a,b]上的可以分解成有限个或至多可数个单调区间，则f在[a,b] 上几乎存在有限导数。

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