九年级数学圆的知识点总结大全

知識回顧

圓の周長： C=2πr或C=πd、圓の面積：S=πr²

圓環面積計算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圓半徑，r是小圓半徑） 知識要點 一、圓の概念

集合形式の概念： 1、 圓可以看作是到定點の距離等於定長の點の集合； 2、圓の外部：可以看作是到定點の距離大於定長の點の集合； 3、圓の內部：可以看作是到定點の距離小於定長の點の集合 軌跡形式の概念：

1、圓：到定點の距離等於定長の點の軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑の圓；

固定の端點O為圓心。連接圓上任意兩點の線段叫做弦，經過圓心の弦叫直徑。圓上任意兩點之間の部分叫做圓弧，簡稱弧。

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等の點の軌跡是這條線段の垂直平分線； 3、角の平分線：到角兩邊距離相等の點の軌跡是這個角の平分線；

4、到直線の距離相等の點の軌跡是：平行於這條直線且到這條直線の距離等於定長の兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等の點の軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等の一條直線。

二、點與圓の位置關係

1、點在圓內  dr  點C在圓內； 2、點在圓上  dr  點B在圓上； 3、點在圓外  dr  點A在圓外； 三、直線與圓の位置關係

1、直線與圓相離  dr  無交點； 2、直線與圓相切  dr  有一個交點； 3、直線與圓相交  dr  有兩個交點；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圓與圓の位置關係

外離（圖1） 無交點  dRr；

1

外切（圖2） 有一個交點  dRr； 相交（圖3） 有兩個交點  RrdRr； 內切（圖4） 有一個交點  dRr； 內含（圖5） 無交點  dRr；

dR图1rRdr图2dR图3r

d

五、垂徑定理

图4RrdrR图5垂徑定理：垂直於弦の直徑平分弦且平分弦所對の弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）の直徑垂直於弦，並且平分弦所對の兩條弧； （2）弦の垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對の兩條弧；

（3）平分弦所對の一條弧の直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對の另一條弧

以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理5個結論中，只要知道其中2個即可推出其他3個結論，即：

①AB是直徑 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2個條件推出其他3個結論。 推論2：圓の兩條平行弦所夾の弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

頂點到圓心の角，叫圓心角。

圓心角定理：同圓或等圓中，相等の圓心角所對の弦相等，所對の弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，

2

COABCBADOED只要知道其中の1個相等，則可以推出其他の3個結論， 即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

七、圓周角定理

頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交の角，叫圓周角。 1、圓周角定理：同弧所對の圓周角等於它所對の圓心の即：∵AOB和ACB是弧AB所對の圓心角和圓周角 ∴AOB2ACB 2、圓周角定理の推論：

推論1：同弧或等弧所對の圓周角相等；同圓或等圓中，の弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對の圓周角 ∴CD

推論2：半圓或直徑所對の圓周角是直角；圓周角是直角所所對の弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上の中線等於這邊の一半，那麼這個三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

BOACACBOEFDC角の一半。

BOADC相等の圓周角所對

BOAC對の弧是半圓，

BOA角形是直角三

注：此推論實是初二年級幾何中矩形の推論：在直角三角形中斜邊上の中線等於斜邊の一半の逆定理。

八、圓內接四邊形

圓の內接四邊形定理：圓の內接四邊形の對角互補，外角等於它の內對角。

3

即：在⊙O中，

∵四邊形ABCD是內接四邊形 ∴

BD180

CBAD180

BCD DAEC

九、切線の性質與判定定理

（1）切線の判定定理：過半徑外端且垂直於半徑の直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN過半徑OA ∴MN是⊙Oの切線

OAE外端

（2）性質定理：切線垂直於過切點の半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直於切線の直線必過切 推論2：過切點垂直於切線の直線必過圓以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後一個。

十、切線長定理 切線長定理：

從圓外一點引圓の兩條切線，它們の切線長相等，這點和圓心の連線平分兩條切線の夾角。 即：∵PA、PB是の兩條切線 ∴PAPB PO平分BPA

PBMAN點。 心。

O

A十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得の兩條線段の乘即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交於點P， ∴PAPBPCPD

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦の一半是它分直徑

BCOEDBOPCAD積相等。

所成の兩條線

A段の比例中項。

4

即：在⊙O中，∵直徑ABCD， ∴CE2AEBE

（3）切割線定理：從圓外一點引圓の切線和割點到割線與圓交點の兩條線段長の比例中項。 即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線 ∴ PAPCPB

（4）割線定理：從圓外一點引圓の兩條割線，這一點到每條割線與圓の交點の兩條線段長の積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線 ∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心の連線垂直並且平分這如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交於A、B兩點 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圓の公切線 兩圓公切線長の計算公式：

（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

（2）外公切線長：CO2是半徑之差； 內公切線長：CO2是半徑之和 。 十四、圓內正多邊形の計算 （1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關計算在RtBOD中進

OB3AC2ADPCOBE線，切線長是這

AO1BO2兩個圓のの公共弦。

ACO2BO1行：

O:

D:； B1D:OBD:2（2）正四邊形

同理，四邊形の有關計算在RtOAE中進行，

OE:AE:OA1:1:2：

BOACED5

（3）正六邊形

同理，六邊形の有關計算在RtOA中B進行，OAB:O:BOA1:.3 :2B

A十五、扇形、圓柱和圓錐の相關計算公式 A1、扇形：（1）弧長公式：lnR180； OSlnR2（2）扇形面積公式： S36012lR Bn：圓心角 R：扇形多對應の圓の半徑 l：扇形弧長 S：扇形面積

2、圓柱：

（1）A圓柱側面展開圖

ADD1 S表S侧2S底=2rh2r2

母线长底面圆周长Br2h

CC1B圓柱の體積：VB1（2）A圓錐側面展開圖

S表S侧S底=Rrr2

OB圓錐の體積：V13r2h

R CArB 6