探析数学问题中的物理技巧与方法

探析数学问题中的物理技巧与方法　（浙江省绍兴鲁迅中学　３１２０００）　虞关寿　宋新华　数学是一门基础性学科，它广泛应用于自然　学科、计算机、经济学等学科之中，它是一门工具　性较强的学科，我们常常可以感悟到把数学的思　想方法嫁接到其他学科之后，产生累累硕果的例　得出结论，但用力的平衡原理去思考，此点一定存　在，且这一点到三顶点连线的夹角均为１２０。（即对　每个边的视角均为１２０。）．因为作用在这一点的三　个相等的力要平衡的话，它们的合力为０，三个力　各指向这一点和三角形三顶点连线的方向，且三　者之间夹角为１２０。．有了这个答案，我们用数学方　法证明之就不难了（略）．　子．如用函数方程的思想探求化学方程式；用概率　思想解决生物学中的遗传问题；把博弈论运用于　经济学；把矩阵运用于量子力学，……．反过来，有　好多数学问题用纯的数学手段和方法解决难以奏　效，而用物理学知识和其他学科方法却能较为简　捷地解答．本文拟想通过具体的例子，运用物理学　中的有关概念、公式、定理、原理、方法、性质去解　决．供参考．　１　巧用力的平衡原理　问题２：某粮店用一杆不准确的天平（其两边　臂不等长）称大米．某顾客要购买２Ｏ　ｋｇ大米，售　货员先将１Ｏ　ｋｇ的砝码放入左盘，置大米于右盘使　之平衡后给顾客，然后又将１Ｏ　ｋｇ砝码放入右盘，　置大米于左盘，平衡后再给顾客．请问：是顾客吃　亏还是粮店吃亏？　分析：若顾客所得的大米多于２Ｏ　ｋｇ，则粮店　吃亏．因此解此题的关键是求顾客称得大米的实　际重量，再与２Ｏ　ｋｇ进行比较，从而达到求解的目　的．由天平很自然地联想物理中的杠杆原理即动　力×动力臂＝＝＝阻力×阻力臂．由此可建立数学模　型一不等式．设天平的支点为０，左盘Ａ的臂长为　ｚ　，右盘Ｂ的臂长为ｚ　，两次称得的实际重量为　ＧＡ，ＧＢ．则有ＧＡ・ｚＡ＝１０ｘＢ，ＧＢ・ｚＢ＝１０ｘＡ，因　为ＸＡ≠ＸＢ，所以Ｇ　＋Ｇ。：　力的平衡原理的数学模型是：“同一平面上的　—　众合力为０，即　：Ｆ　＝０”与“力×力臂相等，即，　ｆ＝ｌ　×ｚ　＝，２×ｚ　”．运用力的平衡原理可以解决、解释　某些数学问题、数学现象．大数学家庞加莱说过：　“物理学不仅给我们一个解题的机会，而且也帮助　我们发现解题方法，引导我们预测解答并提出必　要的论证方法．”　问题１：（费马问题）在锐角三角形ＡＡＢＣ内　耐．　蜀　删　－　ｏｏ西年１２月上半月　ＺＡ　ＺＢ　＋　＞２．故　是否存在一点Ｐ，使其到三顶点的距离之和为最　短？　顾客所得的大米实际质量超过２Ｏ　ｋｇ，因此粮店吃　亏．　分析：考虑此点是否存在，用纯数学方法不好　第　（１≤　≤１０）个区间的棋子对应第　个班级学　生的名额，因此名额分配方案的种数与隔板插入　方法数相等，因隔板插入方法数为　配方案共有　＝２４３１０种．　集合Ｂ中有５个元素，则集合Ａ到集合Ｂ的映射个　数一样，共有５　个，故４封不同的信投到５个邮箱，　共有５　种不同的投法．　排列组合问题的解法，既有一般的规律，又有　很多的技巧．它要求我们首先要认真审题，弄清是　排列问题还是组合问题，其次要抓住问题的本质　特征，采用合理恰当的方法来处理．　，故名额分　（２）构造映射模型　例１４　４封不同的信投到５个邮箱，共有多少　种不同的投法？　解析：此问题就相当于集合Ａ中有４个元素，　维普资讯 http://www.cqvip.com

２　活用重心原理　物理学上的重心是指多个物体达到平衡时的　支撑点．把它运用于数学问题之中，去解决一些几　何问题可以简化复杂的运算与推理．　问题３：已知三角形ＡＢＣ，ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别　为边ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ的中线．求证：ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ三线　交于一点．　分析：此题用纯几何方法或用坐标法、向量法　证不太好证明．若用重心原理解答，简洁明快，令　人耳目一新．　如图１，在三角形ＡＢＣ的三个顶点处各放一　个单位质量的物体，分别用Ａ（１）、Ｂ（１）、Ｃ（１）表　示，根据杠杆原理知，Ｂ、Ｃ两点的重心在Ｄ点，即　ＢＣ的中点，它的质量应为２，可用Ｄ（２）表示，这样　Ａ（１）和Ｄ（２）的重心应在离Ａ与Ｄ距离之比为２　的位置，设为Ｇ；同理可得Ｂ（１）和Ｅ（２）的重心也　在Ｇ点；Ｃ（１）和Ｆ（２）的重心也在Ｇ点．由于重心　的唯一性，所以ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ三线交于一点．　Ｂ　Ｄ　Ｃ　图１　图２　问题４：已知四面体ＡＢＣＤ，设Ｇ　为ＡＡＣＤ　的重心，Ｇ２为△ＢＣＤ的重心，Ｇ３为ＡＡＢＣ的重　心，Ｇ４为ＡＡＢＤ的重心，如图２．求证：ＡＧ：，ＢＧ　，　ＤＧ　，ａＧ　四线交于一点Ｇ．　证明：在四面体ＡＢＣＤ的四个顶点处各放一　个单位质量的物体，分别用Ａ（１）、Ｂ（１）Ｃ（１）、　Ｄ（１）表示．　因为Ｇ２是三角形ＢＣＤ的重心，所以Ｇ２处的　质量为３，即Ｇｚ（３）．根据杠杆原理知，Ｇｚ（３）与　Ａ（１）的重心应在离Ａ与Ｇｚ距离之比为３的位置，　设为Ｇ；则Ｇ为四面体ＡＢＣＤ的重心．由重心的唯　一性同理可证得，Ｇ在ＢＧ。，ＤＧ。，ａＧ　上．所以　ＡＧ２，ＢＧｌ，ＤＧ　，ａＧ　四线交于一点Ｇ．　３　借用光学原理、光学性质　在自然界中，光的传播具有直线性与可逆性　等特征．当光线照射到一平面镜子上时，入射光线　与反射光线关于平面镜子的法线对称；当光线从　椭圆镜的一个焦点发出，射到椭圆镜面上，经反射　光线必经过另一个焦点……．把物理学中这些光　学性质运用于数学问题中，可以提高解题质量，避　免繁杂的推理与运算．　问题５：已知长方形的四个顶点Ａ（Ｏ，０），　Ｂ（２，Ｏ），Ｃ（２，１）和Ｄ（Ｏ，１），一质点从ＡＢ的中点　Ｐ。沿与舳夹角为　的方向射到ＢＣ上的点Ｐ　后，　依次反射到ＣＤ、ＤＡ和ＡＢ上的点Ｐ　、Ｐ。和Ｐ　（入　射角等于反射角）．设Ｐ４的坐标为（ｚ　，Ｏ）．若１＜　ｚ４＜２，则ｔａｎＯ的取值范围是（　）　１　１　９　（Ａ）（÷，１）．　（Ｂ）（÷，÷）．　０　０　０　９　１　９　９　（ｃ）（÷，Ｊ＿　－去厶　－）．　（Ｄ）（詈，Ｊ＿　÷）．０　　分析：本题的难点在于如何找出　的变化而引　起的入射点位置的变化，这二者之间的关系若通　过列出ｚ　与　的关系式，经过运算去解决，不但时　间花费大，而且又得不到正确的解答．　如图３，画出示意图，取ＢＣ中点Ｅ，ＣＤ中点　Ｆ，ＡＤ中点Ｇ．由物理学中的光学原理，若从Ｐ。发　出的光线射到Ｅ，由入射角等于反射角，容易得到　光线的路线为：Ｐ。一Ｅ—Ｆ—Ｇ—Ｐ。；若从Ｐ。发　光的光线射到ＢＥ之间，按题意要求可画出线路　图，Ｊ得ｚ　在（Ｏ，１）之间；若从Ｐ。发出的光线射到　ＥＣ之间，用同样的思考方式，得ｚ　在（１，２）之间．　１　这样，通过适当的计算得ｔａｎ０￣　１，结合选择支可　厶　知（Ｃ）正确．　ｒ　Ｉ　ｏ　＼～　图３　图４　维普资讯 http://www.cqvip.com

问题６：已知Ｐ为椭圆　４－　一１（　＞ｂ＞　Ｏ）上不为椭圆顶点的任一点，Ｆ　、Ｆ２为椭圆的两　焦点，过Ｐ作椭圆的一条切线ｚ交椭圆长轴于Ｔ　０有　一　朋ＰＴ为　ＰＦｚ　ｔＯ　外角平分线．　分析：如图４，该题可用有关数学知识和工具　经运算解决．但用物理学方法进行，就显得简捷明　了．　由光学原理，光线从Ｆ　发出射到Ｐ点经切线　ＰＴ反射后，必经过另一焦点Ｆｚ：，则有　ＦｚＰＡ一　Ｆ。ＰＴ，因为　Ｆ２ＰＡ一／ＴＰＢ，所以　Ｆ－ＰＴ　＝　ＢＰＴ，即ＰＴ为　Ｆ　ＰＦ　的外角平分线，所　ｌ　ｌ！　！一Ｉ　Ｉ　　ｌＰＦ　ｌ—ｆ『Ｆ　ｆ’　问题７：已知三角形ＡＢＣ为锐角三角形，问：　是否存在其一个内接三角形ＤＥＦ，且△ＤＥＦ的　周长最小．　分析：此问题用纯数学方法很难猜测出这样　的三角形是否存在，但若用“光路最短原理”可知，　这样的三角形是存在的，且正好是它的垂足三角　形．　证明：如图５，若在ＢＣ边（平面镜）上放一光　源，经平面镜ＡＣ、ＡＢ反射若能回到Ｄ点，根据光　线反射定理，可知入射角等于反射角，此时三角形　的高线为法线，即　１一／２，　３一　４，／５一　６，则Ｄ、Ｅ、Ｆ三点正好是三角形ＡＢＣ三高线的　垂足．按“光路最短原理”知，光线按垂足三角形　走，非但跑得快，也是走捷径，故△ＤＥＦ为周长最　短的内接三角形（光路三角形）．　Ｂ　Ｄ　Ｃ　图５　图６　４　妙用电磁场、电路图等有关电学知识　问题８：求证：ｔａｎ昙一＿Ｉ－ＣＯＳ￣．　分析：该命题用纯三角公式不难可以证得．现　采用物理学方法解决，先设计一个物理问题：如图　６，在匀强电场Ｅ中，一质量为ｍ，带电量为ｇ的小　球，用一长为Ｌ的绝缘细线系住，将细线拉至水平　无初速度释放，当细线摆至与水平成口角时球静　止．则小球在摆动过程中的最大速率是多少？　证明：小球从开始运动到静止，由动能定理　ＥｑＬ（１一ＣＯＳ￣）一ｍｇＬｓｉｎａ＝０，即ｍ　ｇ　一　！　二竺　２　　。ｓｉｎａ　。　根据对称性可知，小球最大速率的位置应在ａ　角的平分线上，　ｔａｎ　一ｍｇ一　一．　…一　Ｅｑ一—　二竺旦　’　到　ｎ号：　．　问题９：证明ｃ　（Ａ　ｎ　Ｂ）一ｃ　Ａ　ｕ　ｃ　Ｂ；　ｃ　（Ａ　Ｕ　Ｂ）一ｃ　ｕＡ　ｎ　ｃ　ｕＢ．是ｒ　分析：德摩根定理是集合论里一个非常重要　釜　的定理，特别是在随机事件的概率计算中，可以起　到“事半功倍”的作用，但它的直观图示不太好懂，删　若构思两个直流电路图，则既直观又浅显易懂．　１圭　证明：如图７（口）所示，用Ａ既表示用电器Ａ　１月　正常工作，也表示随机事件Ａ发生，用Ｂ表示用电　器Ｂ正常工作，也表示随机事件Ｂ发生，则Ａ　ｎ　Ｂ　表示串联电路通电，ｃ　（Ａ　ｎ　Ｂ）表示串联电路断　电，它等价于Ａ断电或Ｂ断电，即ｃ　Ａ　Ｕ　ｃ　Ｂ发　毕．　（ｂ）　图７　同理，如图７（６）所示，Ａ　Ｕ　Ｂ表示并联电路通　电，ｃ　（Ａ　Ｕ　Ｂ）表示并联电路断电，它等价于Ａ　断电，且同时Ｂ断电，即ｃ　Ａ　ｎ　ｃ　ｕＢ发生．