高斯信道下LDPC编译码及误码率的仿真
一． 摘要
低密度校验码( LDPC) 是由Gallager在上世纪六十年代初提出的一种信道纠错码, 但是在很长的一段时间中, 这种码字受到人们的忽视, 直到Turbo码的出现, LDPC码才重新受到了人们的重视。随着概率迭代译码方法的出现, LDPC码的性能得到了极大的提高。在1/2码率、码长超过10000时, 非正则LDPC码的性能已经超过了Turbo码, 成为迄今发现性能最接近于香农限的纠错码。
二．背景
自信道编码理论提出以来，如何构造一个逼近信道容量限的实用好码成了众多学者竞相研究的课题，并逐渐形成信息论的一个重要分支。五十多年来，人们构造实用好码的探索基本上是按照香农所提出的基本条件的后两条为主线展开的。
1962年，Gallager在他的博士论文中提出了二元正则LDPC码，也被称为Gallager码。Gallager证明了这类码具有很好的汉明距离特性，是满足GV限的渐进好码，经过迭代译码可以获得依码字长度指数降低的比特错误概率，但限于当时的计算能力，LDPC码被认为不是实用码，在很长一段时间没有受到人们的重视。需要指出的是，在LDPC码被遗忘的这30多年中，Zyablov和Pinsker以及Tanner却在不同的领域直接或间接地对LDPC码做着研究，这些研究成果，对于LDPC码的研究发展，起着举足轻重的作用。
Turbo码的发现引发了众多学者对LDPC码的研究兴趣。Mackay和Neal利用随机构造的Tanner图研究了LDPC码的性能，发现采用和积译码算法的正则LDPC
码具有和Turbo码相似的译码性能，在长码上甚至超过了Turbo码，这一结果引起了信道编码界的极大关注。
LDPC码的优异性能吸引人们不断探讨它在各个领域的应用:在宽带接入网中的应用方面，基于二元LDPC码的多电平编码方案，并验证了采用此种编码的传输性能。在磁记录系统方面，用于磁记录的两类具有高的吞吐率和低的计算复杂度的LDPC码的译码方案和相应的串行结构。
纠错码从构造方法上可分为分组码和卷积码两大类。信道编码的发展历程如下图：
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三、基本原理
1.编码
LDPC码目前几种主要的编码方法为高斯消元法、基于近似三角化的编码方法及特殊码字的编码方法。
本文使用的是高斯消元法：
LDPC 码传统编码算法和一般的线性分组码十分类似,需要求出生成矩阵。若己知长度为k的输入信息向量K，以及k*n的生成矩阵G，码字C就可以容易的得到:C=K*G。
这样利用高斯消元法得到的生成矩阵G 不是稀疏的,则在编码(即计算C二 K*G ) 的时候其复杂度与码长的二次方成正比，不是线性复杂度。在性能方面,高斯消元法在变换的时候不会损失性能。
因此, 当码长很大时, 编码的复杂度很快变得无法忍受。为了克服这个问题, 很多的研究人员做出了不懈的努力, 近年来有人提出了近似三角化的方法。
2.译码
LDPC码有很多种译码方法。根据消息迭代过程中传送消息的不同形式，可以将LDPC的译码方法分为硬判决译码和软判决译码。硬判决译码计算比较简单，但性能稍差，主要包括：MLG算法、WMLG算法、BF算法、WBF算法等；软判决译码计算比较复杂，但性能较好，主要包括：BP算法、min-sum算法、Normalized BP-based算法、LP算法。BP译码可以分为概率BP算法和LLR BP算法。概率BP算法的消息是用概率形式表示,是BP算法的通用形式,可以适用非二进制的LDPC码的译码。对二进制LDPC码, 消息可以表示为对数似然比形式,相应的译码算法称为LLR BP译码。
本文使用概率BP算法：
对于LDPC码通过BP译码算法进行译码时, 其性能很大程度上依赖于存在于二分图中的这些环路的长度。那些周长很小的环路, 尤其是周长为4的小环, 会使得连续进行交换的译码信息高度相关, 由此严重了译码性能。所以当采用置信传播的译码算法时, 必须尽量消除这些小环, 尤其是周长为4的小环。
设调制后每一个码字c=(c1,c2,…cn)映射为传输序列x=(x1,x2,…,xn), 通过信道传输后,接收到的序列为y=(y1,y2,…,yn)根据y译码得到译码序列为。
BP译码步骤如下(为表示方便, 消息符号中的上标表示迭代次数): 初始化
计算信道传递给变量节点的初始概率Pi(1)，Pi(0)=1-Pi（i=l,2,…,n）然后对每一个变量节点i和与其相邻的校验节点jC(i), 设定变量节点传向校验节点的初始消息为:
q(0)ij(0)=Pi(0) q(0)ij(1)=Pi(1) 迭代处理
Step1 校验节点消息处理
对所有的校验节点了和与其相邻的变量节点iR(j)计算第l次迭代时,计算第j个效验节点传向第i个变量节点的消息。
Step2 变量节点消息处理
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对所有的变量节点i和与其相邻的校验节点jC(i),计算第i个变量节点传向第j个校验节点的消息。
Step3 译码判决
对所有变量节点计算硬判决消息若HT=0或者达到最大迭代次数,则结束运算,否则从Step1继续迭代，如果矩阵H中不包括循环,则迭代次数趋于无穷时, Qi(0) 和Qi(l) 收敛于ci的后验概率；对于好的LDPC码,算法可以检测不正确的码字。
3.信道
AWGN信道
四、系统分析
1.建模 信源 LDPC编码 误码率计算 LDPC编码 信宿
2.仿真
在码率R=2/3时，仿真结果为
BPSK调制 AWGN 信道 BPSK解调 4 / 8
在码率R=0.5时，仿真结果为
在码率R=0.5时，仿真结果为
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在码率R=0.75时，仿真结果为
3.误码率分析
这是在不同码率，不同码长时的对比图。
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LDPC码的误码性能短码劣于长码，LDPC码的码率越高性能越低，LDPC译码增加迭代次数后，性能提升该算法对应用越来越广泛的LDPC编码技术研究有一定的参考价值。
五、结论
1.价值
LDPC 码是一种接近香农限的码,其定义的校验矩阵为稀疏矩阵,译码具有线性复杂度,而通常的编码复杂度很高,故通常采用快速编码方法来获得系统码,使得编码也具有线性复杂度。
和积译码算法是一种置信传播迭代概率译码算法,其译码性能与译码过程中的迭代次数和LDPC 妈字长度成正比,在码长很长时可接近香农极限；硬件实现译码时,迭代过程中比特节点与校验节点之间的消息传播可以并行执行大大提
高了译码速度,在误码率要求不高的情况下可以减少迭代次数换取更快的译码速度
2.未来作用
目前LDPC码研究领域的主要工作集中在译码算法的性能分析、编码方法、码的优化算法等方面，经研究人员的努力，LDPC编码领域取得了很大进展。
LDPC码编码的OFDM系统是下一代移动通信领域中最富吸引力的解决方案，不少专家正在致力于这一研究。实验表明，LDPC-COFDM系统在多径衰落信道等移动信道下具有惊人的抗衰落性能。系统在硬件实现上比Turbo码系统更为简单，译码器在线性时间内完成实现完全的并行操作，吞吐量惊人。因此，可以预料, LDPC-COFDM技术将在数字语音广播（DAB）、数字视频广播（DVB）、无线局域网（Wireless LAN）和下一代移动通信系统中具有极好的应用前景。
优化构造的非规则LDPC 码在相关或非相关瑞利衰落信道中均具有优越的纠错能力，LDPC 码采用的迭代译码算法具有译码算法简单、运算速度快、能
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并行译码等特点,在未来的高速率，多媒体移动通信中将得到广泛的应用。LDPC码在移动通信环境下的应用目前还有不少技术问题需要解决，如均衡技术、多用户检测、空时编码相结合等等, 这些都有待于进一步研究。
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