高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数2课时训练含解析

课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．

1．三角函数的定义域

正弦函数y＝sin x的定义域是______；余弦函数y＝cos x的定义域是______；正切函数y＝tan x的定义域是_____________________________________________________________． 2．三角函数线

如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段______、______、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.

一、选择题

1. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

A．正弦线PM，正切线A′T′ B．正弦线MP，正切线A′T′ C．正弦线MP，正切线AT D．正弦线PM，正切线AT

2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) π3π7π3π7πA. B. C. D.或 44444

3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1 C．sin α＋cos α<1 D．不能确定

4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5

1

5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>1

2

，则角α的取值范围是( ) A.ππ－3，3 B.

0，π3

C.5π3，2π D.0，π∪5π33，2π

6．如果π4<α<π

2

，那么下列不等式成立的是( )

A．cos α二、填空题

7．在[0,2π]上满足sin x≥1

2

的x的取值范围为________．

8．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α9．不等式tan α＋3

3

>0的解集是______________．

10．求函数f(x)＝lg(3－4sin2

x)的定义域为________．

三、解答题

11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－1

2

.

12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ

2

的大小．

能力提升

13．求函数f(x)＝1－2cos x＋ln

2

sin x－2的定义域．

2

14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？

π当α∈0，时，求证：sin α<α2

1．三角函数线的意义

三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数的画法

定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.

注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．

1．2.1 任意角的三角函数(二)

答案

知识梳理

π

1．R R {x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}

2

2．MP OM AT MP OM AT 作业设计 1．C

2．D [角α终边落在第二、四象限角平分线上．] 3．A [设α终边与单位圆交于点P， sin α＝MP，cos α＝OM，

则|OM|＋|MP|>|OP|＝1，即sin α＋cos α>1.]

ππ4．C [∵1,1.2,1.5均在0，内，正弦线在0，内随α的增大而逐渐增大，

22

∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.]

5．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D正确．] 6．A [

3

如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM66

π58.0，∪π，2π

44ππ9.α|kπ－<α62

解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，

ππ

∴α|kπ－<α62ππ10.kπ－，kπ＋，k∈Z 33

解析 如图所示．

33322

∵3－4sinx>0，∴sinx<，∴－422

ππ2π4π∴x∈2kπ－，2kπ＋∪2kπ＋，2kπ＋ (k∈Z)．即x∈

3333

kπ－π，kπ＋π (k∈Z)． 33

11．解 (1)

图1

3

交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即2

为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 作直线y＝

4

π2π

{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．

33

(2)

图2

1

作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即

2

为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为

2π4π

{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．

33

ππθπ

12．解 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，故kπ＋<∈Z)．

θ

作出所在范围如图所示．

2

πθπθθθ

当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos 4222225πθ3θθθ

当2kπ＋<<2kπ＋π (k∈Z)时，sin 13．解 由题意，自变量x应满足不等式组 1－2cos x≥0，2sin x－>0.2

2

sin x>，2 即

1

cos x≤.2

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

π3

∴x|2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z.

34

14．证明

5

如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.

因为S11

△AOP＝2OA·MP＝2sin α，

S12111

扇形AOP＝2αOA＝2α，S△AOT＝2OA·AT＝2

tan α，

又S△AOP所以12sin α<12α<1

2

tan α，即sin α<α6