2020新课标高考数学二轮习题：小题强化练(四)

小题强化练(四)

一、单项选择题

1．设集合A＝{y|y＝log2x，01}，则A∩B＝( ) A．(0，2) C．(－∞，2)

B．(0，2] D．R

2．若i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝|1－i|＋i，则z的虚部为( ) A.

2－1

2

B.2－1 1－2D.

2

－2＋1C.i

2

3．设随机变量X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )

注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA．6 038 C．7 028

B．6 587 D．7 539

4．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为( )

13

A.升 319

C.升 9

17

B.升 625D.升 12

5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcos B＝acos C＋ccos A，b＝2，则△ABC面积的最大值是( )

A．1 C．4

1

6．设3x＝2，y＝ln 2，z＝5－，则( )

2A．xB．y2π

7．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，AB＝23，Q是BC上的

3

π

一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为

3( )

A．45π C．63π

B．57π D．84π

8．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)＝ex(2x＋3)＋f(x)(e是自然对数的底数)，f(0)＝1，若不等式f(x)－k<0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是( )

1

－，0 A.e1

－2，0 C.e二、多项选择题

9．若直线3x－y＋c＝0向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度，平移后与圆x2＋y2＝10相切，则c的值为( )

A．14 C．－12

B．12 D．－6 1

－2，0 B.e1

－2，0 D.e

→→→→→

10．已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|AB|，下列结论正确的是( )

→→

A.CA在CB方向上的投影长为－3 →→→→B.OA·AB＝OA·AC

→→

C.CA在CB方向上的投影长为3 →→→→D.OB·AB＝OC·AC

11．(2020·山东省高三上学期期末教学质量检测)如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则下列结论正确的有( )

A．PD∥平面OMN B．平面PCD∥平面OMN

C．直线PD与直线MN所成角的大小为90° D．ON⊥PB

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则( ) A．a8＞0

B．a9＜0

S1S2S15S9C.，，…，中最大的项为 a1a2a15a9S1S2S15S8D.，，…，中最大的项为 a1a2a15a8三、填空题

13．已知平面向量a，b满足b·(a＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝________． 14．已知奇函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，1E是最高点，且△MNE是边长为1的正三角形，则f3＝________．

1

15．(2019·湖北仙桃、天门、潜江期末改编)已知函数f(x)＝asin 2x－(a＋2)cos x－(a＋1)x

2ππππ

在－，上无极值，则a＝________，f(x)在－，上的最小值是________． 2222→→

16．已知抛物线y2＝4x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝－4(其中O为坐标原点)，则△ABO的面积的最小值是________．

小题强化练(四)

1．解析：选B.A＝(－∞，2]，B＝(0，＋∞)，则A∩B＝(0，2]． 2．解析：选D.由题意得z＝1－2. 2

11

3．解析：选B.由正态分布的概率分布特点可得P(1220.341 35.又正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为0.658 65，所以向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，落入阴影部分的点估计有6 587个．

4．解析：选B.设该竹子自上而下各节的容积构成等差数列{an}，公差为d，则a1＋a2＋137

a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，解得a1＝，d＝，则第1，3，9节的容积

2266397017

之和为a1＋a3＋a9＝3a1＋10d＝＋＝(升)．

22666

5．解析：选B.由2bcos B＝acos C＋ccos A和正弦定理可得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin 1

Ccos A，则2sin Bcos B＝sin(A＋C)＝sin B．因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos B＝，2

2＋i（2＋i）（1－i）2＋11－2

＝＝＋i，则z的虚部为

2221＋i

π

故B＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，则4＝a2＋c2－ac≥ac，当且仅当a＝c＝2时

31

取等号．则△ABC的面积S＝acsin B≤3，即△ABC面积的最大值是3.

2

11115

6．解析：选C.由3x＝2得x＝log32，则2>＝log3则log2e＝>1，xy2251

<，则z7.解析：选B.设直线PQ与平面ABC所成的角为θ，三棱锥P-ABCPA33外接球的球心为O，半径为R，如图所示，则0PQPQ2所以PQ≥23，则PQ的最小值为23，AQ的最小值是3，即点A

π2ππ

到BC的距离为3，所以∠BAQ＝.因为∠BAC＝，所以∠CAQ＝，所以AB＝AC＝23，

3332π1

－＝36.所以BC所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos＝(23)2＋(23)2－2×23×23×2316

＝6.取△ABC的外接圆的圆心为O′，则圆O′的半径r＝×＝23.连接OO′，作OM⊥PA

22πsin

3于点M，则点M为PA的中点，所以外接球O的表面积S＝4πR2＝57π.

f（x）f′（x）－f（x）

8．解析：选C.令g(x)＝x，则g′(x)＝＝2x＋3，则g(x)＝x2＋3x＋c，x

eec∈R，所以f(x)＝ex(x2＋3x＋c)，则f(0)＝c＝1，所以f(x)＝ex(x2＋3x＋1)，f′(x)＝ex(x2＋5x＋4)＝ex(x＋4)·(x＋1)．当x<－4或x>－1时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－4)，(－1，＋∞)上单调递增；当－43x＋1)＝0，得x2＋3x＋1＝0，由Δ>0，可知f(x)只有2个零点．由f(－4)＝4>0，f(－3)＝3>0，

ee11＋

f(－2)＝－2<0，f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，且x→－∞时，f(x)→0，则可作出函数f(x)的大

ee致图象如图．若不等式f(x)，则－2R2＝OA2＝OP2＝(2

3)2＋

3＝57，故三棱锥P-ABC的24

2

9．解析：选AD.圆x2＋y2＝10的圆心坐标为(0，0)，半径r＝10，直线3x－y＋c＝0，变形为y＝3x＋c，根据平移规律得到平移后直线的解析式为y＝3(x－1)＋c－1，即3x－y＋c|c－4|

－4＝0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝10，解得c＝14或－

106.

→→→→→→

10.解析：选BCD.由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，所以四边→→

形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|OB|＝|OA|，→→

又|OA|＝|AB|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝

π6

→→

，所以CA在CB上

π3→→→→→→→→→

的投影为|CA|cos ＝2×＝3，故C正确．因为OA·AB＝OA·AC＝－2，OB·AB＝OC·AC

62

＝2，故B，D正确．

11．解析：选ABD.选项A，连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON，由线面平行的判定定理可得PD∥平面OMN；选项B，由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，得MN∥AB，又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得CD∥平面OMN，由选项A得PD∥平面OMN，由面面平行的判定定理可得平面PCD∥平面OMN；选项C，因为MN∥CD，所以∠PDC(或其补角)为直线PD与直线MN所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC＝60°，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°；选项D，因为底面为正方形，所以AB2＋AD2＝BD2，又所有棱长都相等，所以PB2＋PD2＝BD2，故PB⊥PD，又PD∥ON，所以ON⊥PB.故ABD均正确．

15（a1＋a15）15（a1＋a16）

12．解析：选ABD.由S15＝＝15a8＞0，得a8＞0.A正确．由S16＝

22

＝

15（a9＋a8）

＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜0.B正确．所以数列{an}为递减的数列．所

2

S9S10

以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15＞0，S16，…，Sn＜0，则＜0，＜0，…，

a9a10S8S8S1S1S2S15S8

＞0，又S8＞S1，a1＞a8，所以＞＞0，所以，，…，中最大的项为，C错误，Da8a8a1a1a2a15a8正确．

13．解析：b·(a＋b)＝a·b＋|b|2＝3，又|b|＝2，则a·b＝－1，所以|a＋b|＝（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3. 答案：3

ππ

14．解析：由f(x)＝Acos(ωx＋φ)(0<φ<π)是奇函数得φ＝，则f(x)＝Acosωx＋＝－

22Asin ωx，f′(x)＝－Aωcos ωx，由题知E是最高点，且△MNE是边长为1的正三角形，则Aω＝

2π13333

，最小正周期T＝2，则ω＝＝π，A＝，则f(x)＝－·sin πx，所以f＝－32T2π2π2π

π3sin＝－. 34π

3答案：－ 4π

15．解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝acos 2x＋(a＋2)sin x－a－1＝a(1－2sin2x)＋(a＋2)sin xπ1

－a－1＝－2asin2x＋(a＋2)sin x－1＝－(2sin x－1)(asin x－1)．当sin x＝，即x＝∈

26

－π，π时，f′(x)＝0.所以要使f(x)在－π，π上无极值，则a＝2，此时f′(x)＝－(2sin x

22223ππππ

－1)2≤0恒成立，即f(x)单调递减，故在区间－，上f(x)的最小值为f＝－. 22223

答案：2 －π

2

16．解析：由题意可设直线AB：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点

x＝ty＋m，

为M(m，0)．因为点A，B在抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2<0，联立2得

y＝4x，

y2－4ty－4m＝0，则

（y1y2）2→→

y1y2＝－4m，x1x2＝＝m2，则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝m2－4m＝－4，

16

81

y1＋解得m＝2，则直线AB恒过点(2，0)，y1y2＝－8，则△ABO的面积S＝×2|y1－y2|＝y12≥28＝42，当且仅当y1＝±22时取等号，故△ABO面积的最小值是42.

答案：42