2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

已知函数f(x)(2xax2)ln(x1)2x

（1） 若a0，证明：当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0； （2） 若x0是f(x)的极大值点，求a. 考点分析

综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。

具体而言，第1问，给定参数a的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中x20这一隐藏特点，把ln(x1)前面的系数化为1，判断ln(x1)与2x/(x2)之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。

理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，x0是

f(x)的极大值点的充要条件是存在10和20使得对于任意x(1,0)都满足f(x)f(0)=0( 或者f(x)单调递增)，对于任意x(0,2)都满足f(x)f(0)=0( 或者f(x)单调递减)，因此解答本题的关键是

讨论函数f(x)在x0附近的单调性或者判断f(x)与f(0)的大小关系。题目中并没有限定参数a的取值范围，所以要对实数范围内不同a取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断a0以及a0时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断a0时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数h(x)ln(x1)/(2xx)在x0点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。

下面就a值变化对函数f(x)本身在x0附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

2解：（1）当a0时，f(x)(2x)ln(x1)2x，f(x)ln(x1)x22，x1f(x)x，定义域为(1,)；当1x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x02(x1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以在区间(1,)内f(x)f(0)0( 从而f(x)在

(1,)内单调递增;

故当1x0时，f(x)f(0)0；当x0时，f(x)f(0)=0，得证.

（2）若a0，当x0时，f(x)(2x)ln(x1)2x0，此时x0不是f(x)的极大值点，不合题意；

下面考虑a0时函数f(x)在x0附近的单调性.

2xax2f(x)(12ax)ln(x1)+2，x1，f(0)0；

x13ax2(4a1)x，x1，f(0)0； f(x)=2aln(x1)2(x1)2ax2(6a1)x6a1，x1，f(0)6a1； f(x)3(x1)令g(x)2ax2(6a1)x6a1，显然g(x)与f(x)在(1,)有着相同的正负号；

g(x)是以x6a14a1为对称轴且开口向下的抛物线，所以对于任意a0，g(x)4a4a在(1,)单调递减.

1若a，当1x0时，g(x)g(0)0即f(x)0；当0x时，g(x)g(0)06即f(x)0；所以f(x)在(1,0)上单调递增，在(0,)单调递减；所以f(x)f(0)0；所以f(x)在(1,)上单调递减，所以当x(1,0)时，f(x)f(0)0，f(x)单调递增，当x(0,+)时f(x)f(0)0，f(x)单调递减，此时x0恰好是f(x)的极大值点，满足题意；

1若a0，因为g(0)6a10，所以必然存在一点x10使得g(x1)0；在区间

6(0,x1)内，g(x)0成立，f(x)单调递增，f(x)f(0)=0，f(x)递增，f(x)f(0)=0，

f(x)单调递增，此时x0不是f(x)的极大值点，不合题意；

1若a，因为g(0)6a10，所以必然存在一点x2(1,0)使得g(x)在(x2,0)内

6恒小于0，从而在区间(x2,0)内，f(x)单调递减，f(x)f(0)=0，f(x)单调递增，

f(x)f(0)=0，所以f(x)在(x1,0)单调递减，此时x0不是f(x)的极大值点，不合题意；

1综上所述，a.

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