最小二乘法圆拟合

1.最小二乘法圆拟合原理 1.1理论

最小二乘法(Least Square Method )是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

1.2最小二乘圆拟合模型公式推导

在二维平面坐标系中，圆方程一般可表示为:

xx02(yy0)2r2 （1） 对于最小二乘法的圆拟合，其误差平方的优化目标函数为：

S(xix0)2(yiy0)2r

i1n2xi,yii1,2,...,n为圆弧上特征点坐标；式中： n为参与拟合的特征点数。

在保持这优化目标函数特征的前提上，我们需要对其用一种稍微不同的改进方法来定义误差平方，且其避免了平方根，同时可得到一个最小化问题的直接解，定义如下:

E(xix0)2(yiy0)2r2 （2）

i1n2 则（2）式可改写为：

Ex2x0xixy2y0yiyr2i202i20i1n2（3）

2 令,B2y0,A2x0Cx02y02r2 即（3）式可表示为：

Exi2yi2AxiByiC

i0n2 由最小二乘法原理，参数A,B,C应使E取得极小值。根据极小值的求法，A,B和C应满足

nE2xi2yi2AxiByiCxi0 (4) Ai0nE2xi2yi2AxiByiCyi0 (5) Bi0nE2xi2yi2AxiByiC0 (6) Ci0 求解方程组，先消去参数C,则 式4n6xi得

i0nnnnnnnn2nn32nxixixiAnxiyixiyiBnxinxiyixi2yi2i0i0i0i0i0i0i0i0i0x0ii0n（7）

式5n6yi得

i0nnnnnnnnn2n32nxiyixiyiAnyiyiyiBnyinxiyixi2yi2i0i0i0i0i0i0i0i0i0yi0ni0（8） 令

nn2nM11nxixixi（9）

i0i0i0nnnM12M21nxiyixiyi（10）

i0i0i0nn2nM22nyiyiyi（11）

i0i0i0H1nxnxiyxy3i2i2ii0ni0ni0n3i2innn2ixi0ni0ni（12）

H2nynxyixy2ii0i0i02iy（13）

i将（7），（8）式写成矩阵形式

M11M21M12AH1 （14） M22BH2根据式（14）和式（6）可得：

AH2M12H1M22

M11M22M12M21H2M11H1M21

M12M21M11M22n2iBCxi0yi2AxiByin

从而求得最佳拟合圆心坐标x0,y0，半径r的拟合值:

x0AB1,y0,rA2B24C 2222.仿真数据分析

首先设置仿真圆心(x0,y0),半径R0，在根据实际数据任意选取一段圆弧，产生N组随机数据。考虑实际测量的点云数据中伴随有一定

2高斯躁白声，因此在每个点添加服从高斯分布N0,的随机数作为

噪声，其中为高斯分布的方差(单位：

2

mm2)，在噪声标准差()

下产生N组随机噪声数据。最后利用最小二乘法原理对仿真得到的N组随机噪声数据进行拟合，并分析其半径误差与圆心误差。下面任取圆上pi*35/180到6*pi/7圆弧段，以仿真圆心（8.116mm，2.695mm），半径0.875mm作实例分析。在matlab软件中得到的仿真数据效果图

图2所示：

图2

利用仿真的得来的数据（选取某一截面）用最小二乘法进行拟合，得到其拟合效果图如图3所示:

图3